Материал: Уравнения и неравенства с двумя переменными

 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИУ р о к  38                                                                                Дата:
ПОНЯТИЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИЦели: ввести понятие уравнения с двумя переменными, его степени, корней и графика; формировать умение использовать данные понятияХод урокаI. Организационный момент.II. Устная работа.1. Назовите степень многочлена:а) 3х⁷ + 2х³ – х + 1;             в) ab³ – a²b + a³b⁴;б) 3х⁵ + 2х³у³ – у²;               г) 2m⁴n²+ 3m³n⁴ – 6n⁵.2. Подберите три пары чисел a и b таких, чтобы выполнялось равенство 2a – b = 5.III. Объяснение нового материала.Объяснение проводить согласно пункту учебника, включая устные задания, проверяющие степень усвоения материала.1. В в е д е н и е   п о н я т и я  уравнения с двумя переменными.З а д а н и е. Какие из следующих уравнений являются уравнениями с двумя переменными:а) 2х³ +   = 5х²;                 г) х² + 2у + 7 = z;б) 2х + 3у³ = 7;                   д)   + 5 = х – у;

в) ab + 3а = b4;

е) 2n + 4m2 =  ?

2. Р е ш е н и е   у р а в н е н и я  с двумя переменными.З а д а н и е. Проверить, какие из следующих пар являются решениями уравнения х + 2у = 1.а)  ;           б) (2; –1);           в) (3; –1);           г)  .3. С т е п е н ь   у р а в н е н и я  с двумя переменными.З а д а н и е  № 397.4. Г р а ф и к   у р а в н е н и я  с двумя переменными.Необходимо актуализировать знания учащихся о графиках известных им элементарных функций. Рассмотреть вопрос о том, как может быть построен график уравнения с двумя переменными.Вопрос о графике уравнения х² + 

у² = r² целесообразно рассмотреть на следующем уроке.IV. Формирование умений и навыков.Основное внимание на этом уроке следует уделить понятию уравнения с двумя переменными и нахождению его корней подбором. На формирование этого умения направлена первая группа заданий. Во вторую группу войдут задания, связанные с графиком уравнений с двумя переменными. Более сложные задания на построение графиков лучше рассмотреть на следующем уроке.Упражнения:1-я  г р у п п а.1. № 395.2. Найдите несколько решений уравнения:а) 2х + у = 5;                      в) х² – ху = 1;б) х – у =  ;                       г) (х + 1) (у – 3) = 12.2-я  г р у п п а.1. № 399 (а, в, д, ж), № 402 (а, б).2. № 400.В классе с высоким уровнем подготовки можно дополнительно выполнить № 411.Р е ш е н и еа) ху = 2.Выразим переменную х через у: х =  .Чтобы х было целым числом, выражение   должно принимать целые значения, то есть число 2 должно нацело делиться на у. Это условие будет выполнено, если у = ±1 и у = ±2. В этом случае х = ±2 и х = ±1 соответственно.О т в е т: (2; 1), (–2; –1), (1; 2), (–1; –2).б) х² – у² = 3.Преобразуем  выражение  х² – у²  по  формуле  разности  квадратов:(х – у) (х + у) = 3.Если х и у – целые числа, то х – у и х + у – целые числа. Целые числа дают в произведении 3 в четырех случаях: 1 · 3; 3 · 1; –1 · (–3); –3 · (–1). Получим четыре системы уравнений:Решая эти системы, находим нужные пары чисел.О т в е т: (2; 1), (2; –1), (–2; –1), (–2; 1).V. Итоги урока.В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:– Какое уравнение называется уравнением с двумя переменными?– Что называется степенью уравнения с двумя переменными?– Что называется решением уравнения с двумя переменными?– Сколько может иметь решений уравнение с двумя переменными?– Графики каких уравнений с двумя переменными вы умеете строить?Домашнее задание: № 396, № 399 (б, г, е, з), № 401. У р о к  39                                                                                       Дата:
УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ

Цели: изучить уравнение окружности; формировать умение составлять это уравнение.Ход урокаI. Организационный момент.II. Устная работа.Является ли пара чисел (2; –1) решением уравнения:а) х + 3у = 1;                      в) х² – у² =  ;б)   – 2у = 3;                    г) 2ху + у = –3.III. Проверочная работа.В а р и а н т  11. Найдите два каких-нибудь решения уравнения:а) 2х – у = 3;                       б)  (у + 2) = 0.2. Постройте график уравнения:а)   – у = 1;                      б) (х + 1) (у – 3) = 0.В а р и а н т  21. Найдите два каких-нибудь решения уравнения:а) х² + у = 7;                       б) (х – 1)  = 0.2. Постройте график уравнения:а) 2х + у =  ;                     б) (х – 2) (у + 1) = 0.IV. Объяснение нового материала.Сначала следует актуализировать знания учащихся об известных им графиках уравнений с двумя переменными. Затем разобрать, что является графиком уравнения х² + у² = r², и вывести общее уравнение окружности с центром в точке (a; b) и радиусом r:(х – а)² + (у – b)² = r².V. Формирование умений и навыков.Задания можно разбить на две группы. Сначала учащиеся по данному уравнению окружности строят ее, а затем выполняют задания на составление уравнения окружности.Упражнения:1-я  г р у п п а.1. № 403 (устно).2. Постройте график уравнения:а) х² + у² = 4;б) (х – 1)² + у² = 9;в) (х + 2)² + (у – 3)² = 1.2-я  г р у п п а.1. № 404 (а, б), № 405 (а, б).2. № 407.3. № 410.В классе с высоким уровнем подготовки можно выполнить несколько дополнительных заданий.1. № 406.Р е ш е н и ех² + у² – 6 (х – у) = 7.Для того чтобы доказать, что графиком этого уравнения является окружность, его нужно привести к виду(х – а)² + (у – b)² = r².Выполним ряд преобразований:х² + у² – 6х + 6у = 7;х² – 6

х + 9 – 9 + у² + 6у + 9 – 9 = 7;(х – 3)² – 9 + (у + 3)² – 9 = 7;(х – 3)² + (у + 3)² = 25.Таким образом, графиком данного уравнения является окружность с центром в точке (3; –3) и радиусом 5.2. № 409.Р е ш е н и еЦентром окружности (х – 5)² + (у – 7)² = r² является точка с координатами (5; 7), то есть центр этой окружности находится в первой координатной четверти на расстоянии 5 от оси у и 7 – от оси х.Чтобы данная окружность касалась оси х, ее радиус должен совпадать с расстоянием между центром и осью х, то есть r = 7. А чтобы окружность касалась оси у, ее радиус должен совпадать с расстоянием между центром и осью у, то есть r = 5.VI. Итоги урока.В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:– Что называется решением уравнения с двумя переменными?– Сколько решений имеет уравнение с двумя переменными?– Что является графиком уравнения х² + у² = r²?– Назовите координаты центра окружности и ее радиус, если она задана уравнением (х + 1)² + (у – 5)² = 49.Домашнее задание: № 402 (в, г), № 404 (в), № 405 (в).Д о п о л н и т е л ь н о: № 408.  У р о к  40                                                                                                     Дата:
СУТЬ ГРАФИЧЕСКОГО СПОСОБА РЕШЕНИЯ
СИСТЕМ УРАВНЕНИЙЦели: познакомить учащихся с системами уравнений, в которых хотя бы одно из них является уравнением второй степени; формировать умение решать такие системы графически.Ход урокаI. Организационный момент.II. Устная работа.1. Является ли пара чисел (–1; 3) решением системы уравнений:

2. На рисунке изображены графики функций у = 2х + 4 и у = –х + 1. Решите систему уравнений:

III. Объяснение нового материала.1. Сначала необходимо актуализировать знания учащихся по следующим вопросам:

– понятие системы уравнений;– решение системы уравнений;– способы решения систем линейных уравнений.2. Показать учащимся, что в некоторых ситуациях необходимо уметь решать не только системы линейных уравнений, но и системы, в которых хотя бы одно из уравнений имеет вторую степень.3. Продемонстрировать графический способ решения систем уравнений (пример из учебника).IV. Формирование умений и навыков.Задания лучше разбить на две группы. Первая группа подготавливает учащихся к применению графического способа решения систем уравнений. А во вторую группу будут входить задания на непосредственное решение систем уравнений графически.Упражнения:1-я  г р у п п а.1. № 415.

2. На рисунке изображены графики функций у = –х2 + 2 и у =  . Решите систему уравнений:

3. Постройте график функции у = х² – 4. С помощью этого графика решите систему уравнений:а)                     б) 2-я  г р у п п а.№ 416, № 417.V. Итоги урока.В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:– Что называется решением системы уравнений?– В чем состоит суть графического способа решения системы уравнений?– Сколько решений имели системы уравнений, которые были рассмотрены на этом уроке?– Может ли система уравнений не иметь решений?Домашнее задание: № 417, № 523 (а, г, е).                     У р о к  41                                                      Дата:
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ГРАФИЧЕСКИЦели: продолжить формирование умения решать графически системы уравнений; дать наглядные представления о возможном количестве решений систем уравнений.