Материал: Уравнения и неравенства с двумя переменными

Выразим из второго уравнения переменную у и подставим в первое уравнение:2у = –3х – 1;у =  ;х² + х ∙    + 3 ∙    = 9;2х² – 3х² – х + 9х + 3 = 18;–х² + 8х – 15 = 0;х² – 8х + 15 = 0;x₁ = 3        y₁ =   = 5;x₂ = 5        y₂ =   = –8.О т в е т: (3; –5), (5; –8).Сильным в учебе учащимся можно дополнительно дать карточки.К а р т о ч к а  № 11. Решите систему уравнений:2. При каких значениях а система уравнений   имеет единственное решение?К а р т о ч к а  № 21. Решите систему уравнений:2. При каких значениях р система уравнений   не имеет решений?Р е ш е н и е  заданий карточки № 11. При  решении  этой  системы  можно  воспользоваться  методом  замены.Пусть   = n  и   = m. Получим систему: п = 5 – т;(5 – т)² + т² = 13;25 – 10т + т² + т² = 13;2т² – 10т + 12 = 0;т² – 5т + 6 = 0;т₁ = 2       п₁ = 3;т₂ = 3       п₂ = 2.В е р н е м с я   к   з а м е н е: = 3, то есть х =  ;      = 2, то есть у =  ; = 2, то есть х =  ;      = 3, то есть у =  .О т в е т:  .2. Выразим из второго уравнения системы переменную х и подставим в первое уравнение:х = а – у;(а – у)² + у² = 9;а² – 2ау + у² + у² = 9;2у² – 2ау + а² – 9 = 0.Чтобы система имела единственное решение, это уравнение должно иметь  единственный  корень,  то  есть  дискриминант  должен  быть  равен нулю.D₁ = а² – 2 (а² – 9) = 18 – а²;18 – а² = 0;а² = 18;а = ± .О т в е т: ± .Р е ш е н и е  заданий карточки № 21. Из первого уравнения выразим переменную х и подставим во второе уравнение системы:

x =  ;  = 2.Пусть   = t, тогда получим уравнение:t +   = 2;t² – 2t + 1 = 0;t = 1.В е р н е м с я   к   з а м е н е:  = 1;10 – 3у = 2у;5у = 10;у = 2         х =   = 2.О т в е т: (2; 2).2. Выразим из первого уравнения переменную у и подставим во второе уравнение системы:у = р – х;4 (р – х) = х²;х² + 4х – 4р = 0.Чтобы система не имела решений, это уравнение не должно иметь корней, то есть дискриминант должен быть меньше нуля:D₁ = 4 + 4р;4 + 4р < 0;4р < –4;р < –1.О т в е т: (–∞; –1).IV. Итоги урока.В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:– Что называется решением системы уравнений?– Сколько решений может иметь система уравнений второй степени?– В чем состоит способ подстановки решения систем уравнений второй степени?Домашнее  задание:  № 434  (б, г),  № 435  (б),  № 437  (б),   № 439,№ 442 (а).                                   У р о к   44                                                                        Дата:
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СПОСОБА СЛОЖЕНИЯ
ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИЦели: изучить способ сложения решения систем уравнений второй степени; формировать умение применять этот способ.Ход урокаI. Организационный момент.II. Проверочная работа.В а р и а н т  11. Является ли пара чисел х = 6, у = –8 решением системы уравнений 2. Решите систему уравнений:а)                   б) 

В а р и а н т  21. Является ли пара чисел х = 7, у = –6 решением системы уравнений: 2. Решите систему уравнений:а)                    б) III. Объяснение нового материала.Сначала необходимо актуализировать знания учащихся о способе сложения при решении систем линейных уравнений. Предложить им решить данным способом систему, проговаривая все действия, которые они при этом совершают.Умножим  правую  и  левую  части  первого  уравнения на –3. Получим систему:Сложим  почленно  левые  и  правые  части  уравнений  полученной системы:–14у = –14;у = 1.Подставим найденное значение переменной у в одно из уравнений исходной системы, например, в первое:2х + 3 · 1 = 1;2х = –2;х = –1.О т в е т: (–1; –1).Затем сообщить учащимся, что способ сложения иногда можно применять и при решении систем уравнений второй степени. Показать это на конкретном примере:Умножим  правую  и  левую  части  первого  уравнения на –2. Получим систему:Сложим  почленно  левые  и  правые  части  уравнений  полученной системы:–8х² + 3х = –5;8х² – 3х – 5 = 0;х₁ = 1,  х₂ =  .Подставим найденные значения переменной х во второе уравнение исходной системы:

3 · 1 – 2у = –1; 2у = 4; у = 2.

О т в е т: (1; 2),  .IV. Формирование умений и навыков.1. Решите систему уравнений сначала способом подстановки, а затем способом сложения, сравните результаты.

Какой способ в данном случае рациональнее?2. Решите систему уравнений, используя способ сложения:а)                б) Можно ли решить эти системы способом подстановки?3. № 449 (а).4. Решите систему уравнений:Р е ш е н и еСложим почленно левые и правые части уравнений данной системы. Получим уравнение:2х + 2у = –12;х + у = –6.Данная система уравнений будет равносильна системе, составленной из полученного уравнения и любого уравнения исходной системы:Эту систему уравнений можно решить способом подстановки:– 6 – у² – 6у = 2;у² + 6у +8 = 0;у₁ = –2      х₁ = 2 – 6 = –4;у₂ = –4      х₂ = 4 – 6 = –2.О т в е т: (–4; –2), (–2; –4).Сильным в учебе  учащимся  можно  предложить  дополнительно  решить № 534.Р е ш е н и еЧтобы данная система уравнений имела решение, нужно, чтобы решения системы, составленной из первых двух уравнений, являлись решениями третьего уравнения.Сложим почленно левые и правые части уравнений данной системы. Получим уравнение:у² + 4у – 12 = 0;у₁ = 2,  у₂ = –6.Подставим найденные значения переменной у в первое уравнение системы. Получим:

3х – 4 · 2 = –2; 3х = 6; х = 2.

3х + 24 = –2; 3х = –26; х =  .

Подставляя полученное решение (2; 2) в третье уравнение исходной системы, убеждаемся, что она не имеет решений.

V. Итоги урока.В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:– Опишите алгоритм решения систем уравнений второй степени способом сложения.– Любую ли систему уравнений второй степени можно решить способом сложения?Домашнее задание: № 445, № 448, № 449 (б).                                       У р ок 45                                                                  Дата:
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
РАЗЛИЧНЫМИ СПОСОБАМИЦели: обобщить и систематизировать знания учащихся о способах решения систем уравнений второй степени.Ход урокаI. Организационный момент.II. Устная работа.Решите систему уравнений способом сложения:а)                         б) III. Формирование умений и навыков.Все задания можно разбить на две группы. В классе с невысоким уровнем подготовки задания второй группы решать не обязательно.Упражнения:1-я  г р у п п а.1. № 443 (а, в).2. № 444.3. № 447 (а).Р е ш е н и еИз второго уравнения выразим переменную х и подставим в первое уравнение системы:Пусть у² = а, тогда получим уравнение: + а – 12 = 0;а² – 12а + 36 = 0;(а – 6)² = 0;а = 6, то есть        у² = 6;                              у = ± .Тогда соответствующие значения х будут равны  .О т в е т: ( ; – ), (– ;  ).После решения этой системы предложить учащимся найти другой способ. Если они не догадаются, то помочь им.Умножим обе части второго уравнения на 2 и сложим почленно левые и правые части уравнений полученной системы:х² + 2ху + у² = 0;(х