Материал: Уравнения и неравенства с двумя переменными

7. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 45 км, выехал велосипедист. Через 30 мин вслед за ним выехал второй велосипедист, который прибыл в п. В на 15 мин раньше первого. Какова скорость первого велосипедиста, если она на 3 км/ч меньше скорости второго?В а р и а н т  III1. Упростите выражение:  .2. Решите систему уравнений: 3. Решите неравенство: 5х – 3 (х – 1,5) < 4х + 1,5.4. Найдите значение выражения   при n =  .5. Постройте график функции у = х² – 2х. Укажите, при каких значениях х функция принимает отрицательные значения.6. В корзине находятся 10 маслят и 3 подосиновика. Из нее наугад берут 5 грибов. Какова вероятность, что среди выбранных грибов окажется 3 масленка и 2 подосиновика?7. В фермерском хозяйстве благодаря применению новых технологий урожайность пшеницы возросла на 3 ц с га. В результате было собрано не 190 ц пшеницы, как в предшествующем году, а 198 ц, хотя под пшеницу отвели на 1 га меньше. Какая площадь была отведена в хозяйстве под пшеницу в эти годы?В а р и а н т  IV1. Упростите выражение:  .2. Решите систему уравнений: 3. Решите неравенство: х – 2,5 (2х – 1) > х – 1,5.4. Найдите значение выражения   при с =  .5. Постройте график функции у = х² + 2х. Укажите, при каких значениях х функция принимает положительные значения.6. На полке находятся 8 приключенческих романов и 4 сборника стихотворений. Из них наугад выбирают 5 книг. Какова вероятность, что среди выбранных книг окажется 3 приключенческих романа и 2 сборника стихотворений?7. Расстояние от пункта А до пункта В автобус должен был проехать со скоростью 60 км/ч. Однако на середине пути он задержался на 30 мин и, чтобы прибыть в пункт 

В без опоздания, увеличил скорость на 15 км/ч. Каково расстояние между пунктами А и В?Р е к о м е н д а ц и и   п о   о ц е н и в а н и ю.Для получения отметки «3» достаточно выполнить верно любые три из первых четырех заданий; для получения отметки «5» – любые шесть заданий.РЕШЕНИЕ ВАРИАНТОВ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫВ а р и а н т  I1.  .О т в е т:  .2. О т в е т: (–2; –8), (8; 2).3. 5х – 1,5 (2х + 3) < 4х + 1,5;5х – 3х – 4,5 < 4х + 1,5;5х – 3х – 4х < 1,5 + 4,5;–2х < 6;х > –3.О т в е т: х > –3.4.  ; ; .О т в е т: 81.5. у = х² – 4. Графиком является парабола, полученная из графика функции у = х² сдвигом вниз на 4 единицы. Значит, вершина параболы находится в точке (0; –4).Точки пересечения параболы с осью х находим из уравнения:

х2 – 4 = 0; х = ± 2. (–2; 0); (2; 0).

Функция  принимает  положительные  значения,  если  х  (–∞; –2)  (2; +∞).6. Общее число певцов 7 + 3 = 10. Исходами опыта являются все возможные сочетания из 4 человек (порядок значения не имеет).Общее число исходов: n = 

 = 210.

Событие А – «из выбранных певцов два мальчика и две девочки». Количество благоприятных исходов:

т_А =   = 63.

Искомая вероятность:  .

О т в е т: 0,3.

7. Пусть х га – площадь I участка, тогда (х + 3) га – площадь второго участка. Урожайность на I участке составляет   ц/га, а на втором   ц/га. Зная, что урожайность на I участке на 2 ц/га больше, чем на втором, составим уравнение:

 –   = 2;

 = 0;

при х ≠ 0, х ≠ –3        105х + 315 – 152х – 2х² – 6х = 0;

                                 2х² + 53х – 315 = 0;

D = (53)² – 4 · 2 · (–315) = 5329;

x₁ =   = 5;

x₂ =   = –31,5 – не удовлетворяет условию (х > 0).

5 (га) – площадь I участка.

5 + 3 = 8 (га) – площадь II участка.

О т в е т: 5 га; 8 га.

В а р и а н т  II

1. 

.

О т в е т:  .

2. 



О т в е т: (5; 3); (–3; –5).

3. 2х – 4,5 > 6х – 0,5 (4х – 3);

    2х – 4,5 > 6х – 2х + 1,5;

    –2х > 6;

    х < –3.

О т в е т: х < –3.

4.  ;

     ;

     .

О т в е т: 0,04.

5. у = –х² + 1.  Графиком  является  парабола,  полученная  из  графика
у = х² отражением относительно оси 

х и сдвигом вверх на 1 единицу. Значит, вершина параболы находится в очке (0; 1).Точки пересечения параболы с осью х находим из уравнения:

–х2 + 1 = 0; х2 = 1; х = ±1. (–1; 0); (1; 0).

Функция  принимает  отрицательные  значения,  если  х  (–∞;  –1)  (1; +∞).6. Общее число конфет 6 + 4 = 10. Исходами опыта являются все возможные сочетания из 4 конфет (порядок значения не имеет).Общее число исходов:  .Событие А – «из выбранных конфет две со сливочной начинкой и две с шоколадной». Количество благоприятных исходов:Искомая вероятность:  .О т в е т:  .7. Пусть х км/ч – скорость 1-го велосипедиста, тогда (х + 3) км/ч – скорость второго велосипедиста. На весь путь 1-й и 2-й велосипедисты затратили соответственно   ч и   ч. Зная, что 1-й велосипедист был в пути на   ч дольше второго, составим уравнение: ;  = 0;при х ≠ 0, х ≠ –3       540 –3х² – 9х = 0;                                 х² + 3х – 180 = 0.D = 9 – 4 · 1 · (–180) = 729;x₁ =   = 12;x₂ =   = –15 – не удовлетворяет условию задачи (х > 0).О т в е т: 12 км/ч.В а р и а н т  III1.  .О т в е т:  .2. 

2у² – 11у + 14 = 0;D = 121 – 4 · 2 · 14 = 9;y₁ =   = 3,5;         х₁ = 11 – 2 · 3,5 = 4;y₂ =   = 2;                  х₂ = 11 – 2 · 2 = 7.О т в е т: (4; 3,5), (7; 2).3. 5х – 3 (х – 1,5) < 4х + 1,5;    5х – 3х + 4,5 < 4х + 1,5;    5х – 3х – 4х < 1,5 – 4,5    –2х < –3;    х > 1,5.О т в е т: х > 1,5.4.  ;           .О т в е т: 36.5. у = х² – 2х. Графиком является парабола, вершина в точке (х₀, у₀), где х₀ =   = 1, у₀ = –1. Точки пересечения с осями координат находим из уравнения х² – 2х = 0; х (х – 2) = 0;

х1 = 0, х2 = 2. (0; 0), (2; 0).

Функция принимает отрицательные значения, если х  (0; 2).6. Общее число грибов 10 + 3 = 13. Исходами опыта являются все возможные сочетания из 5 грибов (порядок значения не имеет).Общее число исходов:  . Событие А – «из выбранных грибов 3 масленка и 2 подосиновика». Количество благоприятных исходов: .Искомая вероятность:  .О т в е т:  .7. Пусть х га было отведено под пшеницу в прошлом году, тогда (х – 1) га отвели под нее в этом году. Урожайность пшеницы в этом и прошлом году составляла соответственно   ц/га и   ц/га. Зная, что урожайность пшеницы повысилась на 3 ц/га, составим уравнение: –   = 3;