Материал: Уравнения и неравенства с двумя переменными

х + у). Зная, что абсолютная масса меди в новом сплаве составляет 0,67х + 0,87у, составим уравнение с двумя неизвестными:0,79 (х + у) = 0,67х + 0,87у;0,79х – 0,67х = 0,87у – 0,79у;0,12х = 0,08у; ;.О т в е т: 2 : 3.П р и м е ч а н и е. При решении этой задачи система уравнений не составляется, так как требуется установить только соотношение сплавов. Можно предложить учащимся самостоятельно дополнить условие задачи, чтобы она сводилась к решению системы уравнений, имеющей единственное решение.№ 982.Р е ш е н и еПусть х и у (см) – катеты прямоугольного треугольника, тогда его площадь равна   · х · у (см²) и составляет 44 (см²). Если один из катетов уменьшить на 1 см, а другой увеличить на 2 см, то его площадь будет равна  (х – 1)(у + 2). Зная, что эта площадь равна 50 см², составим систему уравнений:О т в е т: 11; 8.№ 989.Р е ш е н и еА н а л и з:      (а_п) – арифметическая прогрессия.                                                а₂₅ – ?Пусть а – первый член арифметической прогрессии, d – ее разность, тогда а₆ = а + 5d, а₁₀ = а + 9d и а₆ + а₁₀ = 2а + 14d; а₁₂ = а + 11d; а₄ = а ++ 3d и а₁₂ – а₄ = 8d. Зная, что а₆ + а₁₀ = 5,9 и а₁₂ – а₄ = 2, составим систему уравнений:а₂₅ = а + 24d; а₂₅ = 1,2 + 24 · 0,25 = 7,2.О т в е т: 7,2.№ 996.А н а л и з:      (b_n

) – геометрическая прогрессия.

                            

                        S₇ – ?

Пусть b₁ > 0 – первый член геометрической прогрессии, q > 0 – ее знаменатель, тогда b₃ = b₁ · q² и b₅ = b₁ · q⁴. Зная, что b₃ = 20 и b₅ = 80, составим систему уравнений:

П р и м е ч а н и е. Решение q = –2 – не удовлетворяет условию задачи.



О т в е т: 635.

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– Каковы этапы решения задач на составление систем уравнений?

– В чем состоит способ сложения и способ подстановки при решении систем уравнений?

Домашнее задание: № 967, № 980, № 984, № 997.

У р о к  10 (94).
ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ
С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Цели: систематизировать знания учащихся по теме; актуализировать умения и навыки решения неравенств и систем неравенств с одной переменной.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Повторение учебного материала.

1. Свойства числовых неравенств.

2. Неравенство первой степени kx + b > 0, где х – переменная, k, b – числа, k ≠ 0.

3. Решение  неравенства  с  одной  переменной, число  х₀ – такое,  что   k · x₀ + b > 0 – верное.

4. Решить неравенство – найти все его решения или доказать, что их нет.

5. Два неравенства называются равносильными, если любое решение первого неравенства является решением второго и наоборот.

6. Свойства неравенств с одной переменной:

– Члены неравенства можно переносить с противоположными знаками из одной части неравенства в другую.

– В неравенстве можно приводить подобные члены.

– При умножении (или делении) неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется.

– При умножении (или делении) неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

III. Математический диктант.В а р и а н т  1  [В а р и а н т  2]1. Запишите числовой промежуток, служащий множеством решений неравенства х ≤ 3 [у > –8].2. Запишите неравенство, множеством решений которого служит промежуток (–3; +∞) [(–∞; 7)].3. Изобразите на координатной прямой промежуток (–2; 3] [[–1; 4)] и запишите неравенство, множеством решений которого он служит.4. Решите неравенство: 2х – 1 ≤ 2 (х – 1) [3(х – 1) ≥ 3х + 1].5. Решите неравенство: 5у – 10 > 10у – 5 [3x – 6 < 6x – 3].6. Решите неравенство:  .О т в е т ы:В а р и а н т  1  [В а р и а н т  2]1. (–∞; 3] [(–8; +∞)].2. х > –3 [x < 7].3. –2 < х ≤ 3 [–1 ≤ х < 4].4. Нет решений [х – любое].5. (–∞; –1) [(–1; +∞)].6. х – любое [нет решений].IV. Формирование умений и навыков.Особое внимание обращаем на верное использование свойств неравенства, а также на возможность графической интерпретации полученных решений.Упражнения:№ 1000.Р е ш е н и е

а) 2,6 <   < 2,7;     2,2 <   < 2,3;     4,8 <  +   < 5.

б) 2,2 <   < 2,3;     –2,3 < –  < –2,2;     2,6 <  < 2,7;     0,3 <  –   < 0,5.

в) 2,6 <   < 2,7;    2,2 <   < 2,3;    5,72 <   < 6,21.№ 1001 (а, в, з).Р е ш е н и еа) 0,3 (2т – 3) < 3 (0,6т + 1,3);    0,6т – 0,9 < 1,8т + 3,9;    –1,2т < 4,8;    т > –4.    (–4; +∞).в) 10 – 5 (0,3а – 0,2) ≥ 5 – 10 (0,1а + 0,2);    10 – 1,5а + 1 ≥ 5 – а – 2;    –0,5а ≥ –8;    а ≤ 16.(–∞; 16].з) (1 –3,6а) (0,2а+ 3) + (4+ 0,9а) (0,8а + 10) ≤ 42,2;    0,2а + 3 – 0,72а² – 10,8а + 3,2а + 40 + 0,72а² + 9а ≤ 42,2;    1,6а ≤ –0,8;    а ≤ –0,5.    (–∞; –0,5].О т в е т: а) (–4; +∞); в) (–∞; 16]; з) (–∞; –0,5].№ 1002 (в, е).Р е ш е н и ев)  ;    2 (0,5 – 5у) ≥ 3 (0,6 – 5у);    1 – 10у ≥ 1,8 – 15у;    5у ≥ 0,8;    у ≥ 0,16.е) 

 < –4,05у;

    5 (1,6 – 0,3у) + 2 (4,4 + 1,5у) + 10 · 4,05 · у < 0;

    8 – 1,5у + 8,8 + 3у + 40,5у < 0;

    42у < –16,8;

    у < –0,4.

О т в е т: в) у ≥ 0,16; е) у < –0,4.

№ 1004 (а, в).

Р е ш е н и е

а) (5 – 2х) (  – 3) < 0;

    2,4 <   < 2,5;

    –0,6 <   – 3 < –0,5, значит,   – 3 < 0.

Разделим обе части неравенства на (  – 3), получим:

5 – 2х > 0; –2х > –5; х < 2,5.

в)   < 0;                1,4 <   < 1,5;

                                          –1,5< –  < 1,4;

                                          1,7 <   < 1,8;

                                          0,2 <   –   < 0,4, значит,   –   > 0.

Разделим обе части неравенства на (  –  ):   < 0. Дробь меньше нуля, если знаменатель меньше нуля:

2 + 7х < 0;

7х < –2;

х < – .

О т в е т: а) (–∞; 2,5); в) (–∞; – ).

№ 1005 (в, г).

Р е ш е н и е

в) 

г) 

О т в е т: в) (–∞;  ); г) нет решений.

№ 1008 (б).

Р е ш е н и е







В этот интервал входят целые числа 2; 3; 4; 5; 6; 7.

О т в е т: 2; 3; 4; 5; 6; 7.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– Что называется линейным неравенством с одним неизвестным?

– Какие есть утверждения о равносильности неравенств?

– Каким способом можно решить систему линейных неравенств?

Домашнее задание: № 1001 (б, г, е), № 1003, № 1004 (б), № 1007 (б).

У р о к  11 (95).
НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ
С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ

Цели: систематизировать знания учащихся по теме; актуализировать умения и навыки решения неравенств и систем неравенств с одной переменной второй степени.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Математический диктант.

В а р и а н т  1  [В а р и а н т  2]

1. Является ли число –3 решением системы неравенств?             2. Запишите решение системы неравенств:                   3. Запишите решение системы неравенств:                       4. Запишите решение системы неравенств:                   5. Решите систему неравенств:             О т в е т ы:В а р и а н т  1  [В а р и а н т  2]1. Нет [нет].2. (5; 6] [(5;9]].3. (20;+∞) [{2}].4. Нет решений [(–∞;1)].5. [2;+∞) [[7;+∞)].