Материал: Теоретическая механика. Ч. 3. Динамика. учебное пособие. Переславцева Н.С., Бестужева Н.П

Отклонение движущихся тел вправо в Северном полушарии

В Северном полушарии из-за дополнительного действия силы инерции Кориолиса, вызванной вращением Земли, все движущиеся тела должны смещаться в правую сторону, если смотреть в направлении движения. Пусть материальная точка д вижется со скоростью относительно Земли по касательной к меридиану с севера на юг (рис. 14). Определим проекцию этой скорости на плоскость, перпендикулярную оси вращения Земли. Повернув вектор вокруг оси, параллельной оси вращения земного шара, на 90° в направлении его вращения, п

Рис. 14

олучим, согласно правилу Жуковского, направление ускорения Кориолиса по касательной к параллели с запада на восток. Сила инерции Кориолиса соответственно направлена с востока на запад, т.е. вправо от направления движения. Действие такой силы вызовет у движущейся точки дополнительное ускорение относительно Земли в направлении этой силы, а следовательно, и ее перемещение, если точка движется в течение некоторого времени. Движение точки может иметь направление, отличное от касательной к меридиану. Важно, чтобы оно имело отличную от нуля проекцию скорости , на плоскость, перпендикулярную оси вращения земного шара.

Если рассмотреть поступательное движение железнодорожного вагона, то для него сила инерции Кориолиса пройдет через центр его тяжести слева направо, если смотреть по движению вагона. Это приведет к увеличению давления на правый рельс и к его уменьшению на левый. На двухколейных железных дорогах правый рельс изнашивается быстрее левого.

Для частички воды в реке действие силы Кориолиса слева направо, если смотреть по течению реки, приведет к прижиманию этой частички к правому берегу, способствуя большему его подмыванию. Правый берег рек в Северном полушарии более подмыт, чем левый на прямолинейных участках реки. Этот эффект известен в географии как закон Бэра. На закруглениях реки вследствие центробежных сил инерции может оказаться подмытым и левый берег.

Д

Рис. 15

ействие силы инерции Кориолиса на летящие самолеты, ракеты, снаряды, движущийся воздух, морские течения приводит к их отклонению в правую сторону в Северном полушарии. В Южном полушарии отклонение будет в левую сторону. Сила инерции Кориолиса способствует образованию циклонов, антициклонов, вихрей, смерчей и т. д. Если в каком-то месте образовалось пониженное давление, например вследствие местного нагревания воздуха, то к этому месту начнет двигаться воздух из мест с повышенным давлением. Сила инерции Кориолиса отклонит движущиеся частички воздуха вправо, создав местный вихрь (рис. 15), а для больших масс воздуха – циклон. Аналогично, в местах с повышенным давлением образуются антициклоны.

Отклонение падающих тел к востоку

Р

Рис. 16

ассмотрим в Северном полушарии тело, падающее вертикально вниз под действием силы тяжести без начальной скорости (рис.16). Действие силы инерции Кориолиса в этом случае в первом приближении сведется к отклонению падающего тела к востоку. Действительно, если скорость тела направлена по вертикали к центру Земли, то ее проекция на плоскость параллельного круга направлена к центру этого круга (рис. 16). Ускорение Кориолиса соответственно направлено по касательной к параллели на запад, а сила инерции Кориолиса – по касательной к параллели на восток. Она вызовет отклонение падающего тела к востоку. Как показывают расчеты, это отклонение при падении с высоты 160 м составляет приблизительно 2,8 см при , что хорошо согласуется с результатами опытов.

2.4. Невесомость

Динамическая теорема Кориолиса позволяет рассмотреть состояние невесомости, которое, в частности, возникает при движении космических кораблей как искусственных спутников Земли. При рассмотрении невесомости материальной точки целесообразно ее представлять как твердое тело, имеющее поверхность, которой оно может соприкасаться с другими телами. Будем предполагать, что скорости и ускорения всех точек тела одинаковы, а реакции соприкасающихся тел приводятся к равнодействующей.

Под невесомостью такой материальной точки понимают отсутствие давления этой точки на каждое из тел, с которым она может соприкасаться. В частности, невесомая материальная точка не давит на площадку весов (не имеет веса), находящихся в покое по отношению к той системе отсчета, относительно которой покоится материальная точка.

Систему отсчета, относительно которой материальная точка находится в покое и, следовательно, имеет относительно нее скорость и ускорение, равные нулю, назовем собственной системой отсчета материальной точки. Все величины относительно этой системы отсчета условимся обозначать специальным индексом *. Естественно, что и равны нулю.

Невесомая материальная точка (тело), прикрепленная на пружине к любому телу, покоящемуся относительно ее собственной системы отсчета, не деформирует эту пружину. Учитывая, что давление точки на какое-либо тело по модулю совпадает с силой реакции тела на эту точку, невесомость наблюдается при равенстве нулю силы реакции от любого тела, соприкасающегося с рассматриваемой невесомой материальной точкой.

Если в общем случае рассматривать невесомость материального тела, а не точки, то реакции окружающих его тел сведутся к распределенным силам по поверхности его соприкосновения с этими телами. Сила реакции, отнесенная к единице площади поверхности соприкосновения (напряжение силы реакции), должна при невесомости тела быть равна нулю в каждой точке его поверхности. Это является условием невесомости для любого тела, не обязательно твердого.

Для абсолютно твердого тела при его невесомости вместо равенства нулю напряжения поверхностной силы в каждой точке его поверхности соприкосновения достаточно равенства нулю главного вектора и главного момента этих сил относительно любого центра приведения.

Ограничимся рассмотрением невесомости материальной точки, т.е. абсолютно твердого тела, для которого все поверхностные силы приводятся только к одной равнодействующей силе – реакции тел, соприкасающихся с ним. Невесомость материальной точки не связана с системой отсчета или с наблюдателем, находящимся в той или иной системе отсчета. Но для выявления сил, действие которых испытывает материальная точка, выберем ее собственную систему отсчета, по отношению к которой ее относительные скорость и ускорение равны нулю, т.е. и . В этом случае сила инерции Кориолиса тоже равна нулю и для сил выполняется условие относительного равновесия

,

где – равнодействующая активных или заданных сил от тел, не соприкасающихся с точкой; – равнодействующая реакция от всех соприкасающихся в точкой тел; – переносная сила инерции в собственной системе отсчета рассматриваемой точки.

Из условия относительного равновесия сил имеем

.

Согласно определению невесомости, и, следовательно, .

Таким образом, условие невесомости через силы можно выразить как или как , т.е. для невесомости материальной точки необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая активных сил от материальных объектов, не соприкасающихся с точкой, вместе с переносной силой инерции в собственной системе отсчета рассматриваемой точки образовывала равновесную систему сил

Согласно теореме о сложении ускорений, абсолютное ускорение в общем случае определяется по формуле:

.

Если абсолютное ускорение рассматривать относительно инерциальной системы отсчета, а в качестве подвижной системы отсчета выбрать собственную систему отсчета, то , , и, следовательно, . Сила инерции в инерциальной системе отсчета , таким образом, совпадает с переносной силой инерции в собственной системе отсчета . Учитывая, что , условие невесомости можно выразить как , т.е. как уравновешивание силой инерции в инерциальной системе отсчета равнодействующей сил от действия тел, не соприкасающихся с невесомой материальной точкой.

Проверим выполнение условия невесомости для материальной точки, находящейся в космическом корабле, который движется поступательно относительно Земли в качестве ее искусственного спутника за пределами атмосферы. За инерциальную систему отсчета можно принять систему отсчета, скрепленную с Землей.

Пусть материальная точка неподвижна относительно космического корабля. Тогда собственной системой отсчета будет система отсчета, скрепленная с кораблем. Силой от действия тел, не соприкасающихся с точкой, является сила тяготения Земли где – масса точки, а – ее ускорение, создаваемое силой тяготения. Сила инерции точки в ее движении относительно Земли совпадает с переносной силой инерции , где – переносное ускорение точки от поступательного движения вместе с собственной системой отсчета, скрепленной с космическим кораблем.

Если корабль не испытывает действия других сил, кроме силы тяготения Земли, то его ускорение от этого тяготения тоже равно , так как ускорения от силы тяготения не зависят от масс тел, а зависят только от расстояния этих тел до центра Земли. Таким образом, и, следовательно, условие невесомости точки выполняется. Материальная точка будет находиться в невесомости и, следовательно, не должна оказывать давления на любое тело, движущееся вместе с космическим кораблем.

В космическом корабле, который кроме поступательного движения имеет также и вращение, каждая из материальных частиц корабля не находится в состоянии невесомости, хотя весь корабль как целое находится в состоянии невесомости. Для него главный вектор и главный момент поверхностных сил равны нулю, так как нет тел, с которыми корабль соприкасается своей поверхностью.

Материальная точка внутри кабины корабля находится в состоянии невесомости, пока она не соприкасается со стенками корабля и с другими телами, скрепленными с кораблем.

Кажется, что для невесомости тела необходима невесомость каждой его точки. Это приводит к требованию отсутствия взаимных давлений между точками тела или к отсутствию внутренних напряжений в теле. Но такие напряжения всегда имеются при невесомости вследствие естественной связи точек тела друг с другом, на которую можно влиять, например, термообработкой, изменением температуры и т.д. При невесомости тела как целого не обязательно отсутствие даже дополнительных напряжений, создаваемых движением тела. Достаточно равенства нулю напряжений в точках поверхности тела, создаваемых другими, соприкасающимися телами (связями), а для абсолютно твердого тела – равенства нулю главного вектора и главного момента поверхностных сил.

В невесомости находятся земной шар и другие планеты Солнечной системы, их спутники, если пренебречь действием на них метеоритов, космического излучения и т.д.

В состоянии невесомости находилось бы свободно падающее тело вблизи Земли, если бы не было действия воздуха. Невесомость можно создать искусственно вблизи Земли в герметизированной кабине летательного аппарата, заставив его с помощью двигателей совершать поступательное движение с ускорением , равным ускорению от силы притяжения Земли.

3. Геометрия масс

3.1. Центр масс

П

Рис. 13

Рис. 17

ри рассмотрении движения твердых тел и других механических систем важное значение имеет точка, называемая центром масс. Если механическая система состоит из конечного числа материальных точек с массами , радиусы-векторы которых , проведенные из одной и той же точки , (рис. 17), то центром масс называется геометрическая точка , радиус-вектор которой определяется выражением

, (59)

где – масса системы. Обозначая декартовы координаты материальных точек ,…, , из (59) проецированием на декартовы оси координат получим следующие формулы для координат центра масс:

, , . (59')

Центр масс является не материальной точкой, а геометрической. Он может не совпадать ни с одной материальной точкой системы, как, например, в случае кольца. Центр масс системы характеризует распределение масс в системе.

Векторная величина называется статическим .моментом массы относительно точки О. Скалярная величина называется статическим моментом массы относительно координатной плоскости . Величины и являются соответственно статическими моментами массы относительно координатных плоскостей и .