Материал: Теоретическая механика. Ч. 3. Динамика. учебное пособие. Переславцева Н.С., Бестужева Н.П

Если обозначить – координаты центра масс относительно системы координат , то для взаимно параллельных осей координаты одной и той же точки связаны соотношениями параллельного переноса

, , .

Подставим эти значения координат в выражение момента инерции . После преобразований получим:

.

Здесь – масса системы, и , т.к. и , т.к. по условию центр масс находится в начале координат этой системы координат.

Величина , где – расстояние между осями и . Окончательно

.

Связь моментов инерции относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс, составляет содержание так называемой теоремы Штейнера или Гюйгенса–Штейнера: момент инерции системы относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы системы на квадрат расстояния между этими осями.

Из теоремы Штейнера следует, что для совокупности параллельных осей момент инерции является наименьшим относительно оси, проходящей через центр масс.

Если взять ось параллельной , то для нее

,

где – расстояние между осями и .

Исключая момент инерции из двух последних формул, получим зависимость моментов инерции относительно двух параллельных осей, не проходящих через центр масс:

.

Установим изменение центробежных моментов инерции при параллельном переносе осей координат. Имеем

.

Учитывая, что , , , , получаем

,

где координаты центра масс относительно системы координат . Аналогичные формулы получаются для двух других центробежных моментов инерции:

,

.

'Гак как начало системы координат находится в центре масс, то , , и тогда

,

, (68)

,

т.е. центробежные моменты инерции при параллельном переносе осей координат из любой точки в центре масс изменяются в соответствии с (68).

Если производится параллельный перенос осей из точки , в центр масс, то, согласно (68), имеем:

,

, (68')

.

Исключая из (68) и (68') центробежные моменты инерции , , получим формулы для изменения центробежных моментов инерции при параллельном переносе осей координат из точки в точку :

,

,

,

где и – координаты центра масс в двух системах взаимно параллельных осей координат.

3.4. Моменты инерции простейших однородных тел

Моменты инерции тел сложной формы часто удается вычислить, если их предварительно разбить на тела простой формы. Моменты инерции сложных тел получают, суммируя моменты инерции частей этих тел. Получим формулы для вычисления моментов инерции некоторых однородных простейших тел.

О z' днородный стержень

И

Рис. 21

,

так как , где – -плотность стержня.

Вычисляя интеграл, получаем

. (69)

Момент инерции стержня относительно оси , проходящей через центр масс и параллельной оси , определяется по теореме Штейнера

, где .

Следовательно,

. (70)

Прямоугольная пластина

Прямоугольная тонкая пластина имеет размеры и и массу (рис. 22). Оси и расположим в плоскости пластины, а ось – перпендикулярно ей. Для определения момента инерции пластины относительно оси разобьем пластину на элементарные полоски шириной и массой и проинтегрируем по от 0 до . Получим

y'' y'

т

Рис. 22

Аналогичные вычисления для оси дадут

,

так как эта ось проходит через середину пластины.

Для определения момента инерции пластины относительно оси следует предварительно вычислить момент инерции отдельной заштрихованной полоски относительно параллельной оси по формуле (70) для стержня и применить затем теорему Штейнера. Для элементарной полоски имеем

.

Интегрируя это выражения по от 0 до , получим

.

Для моментов инерции пластины относительно осей координат получено:

, , . (71)

Круглый диск

Имеем тонкий однородный диск радиусом и массой (рис. 23). Вычислим момент его инерции относительно т очки . Этот момент инерции для тонкого диска совпадает с моментом инерции относительно координатной оси , перпендикулярной плоскости диска. Разобьем диск на концентрические полоски шириной , принимаемые в пределе за материальные окружности. Масса полоски равна ее площади , умноженной на плотность , т.е. . Момент одной полоски относительно точки равен . Для всего диска

Рис. 23

Таким образом

. (72)