Материал: Теоретическая механика. Ч. 3. Динамика. учебное пособие. Переславцева Н.С., Бестужева Н.П

Тождество (226) доказано.

Другое тождество Лагранжа заключается в перестановке порядка дифференцирования по времени и обобщенной координате вектора , т. е.

. (228)

Для доказательства этого тождества вычислим , используя (228) и учитывая, что обобщенные скорости не зависят от обобщенных координат. Получим

. (229)

С другой стороны, есть сложная функция времени, которая зависит от него не только явно, но и через обобщенные координаты. По правилу дифференцирования сложных функций имеем

. (230)

Порядок частного дифференцирования в смешанных производных можно изменять. С учетом этого (229) и (230) совпадают. Таким образом, второе тождество Лагранжа доказано.

Вывод уравнений Лагранжа. Для получения из (224) уравнений Лагранжа для обобщенной силы инерции необходимо доказать справедливость следующей формулы:

, (231)

где

– кинетическая энергия системы при ее движении относительно инерциальной системы отсчета.

Для доказательства (231) вычислим , используя ее определение через силу инерции . Имеем:

. (232)

Преобразуем выражение

.

В соответствии с тождеством (225):

Применим тождества Лагранжа:

, .

После этого

.

Подставим это в (232), внесем постоянную массу под знак производных, а производные вынесем за знак сумм:

.

Формула (231) доказана.

Подставляя выражение (231) для в (224), получим следующую систему уравнений Лагранжа:

, . (233)

Число уравнений Лагранжа равно числу степеней свободы системы.

Структура уравнений Лагранжа и их составление. Уравнения Лагранжа для обобщенных координат являются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, как и дифференциальные уравнения движения точки в декартовых координатах. Число уравнений Лагранжа совпадает с числом обобщенных координат. Действительно, для кинетической энергии системы, используя ее определение и формулу (227) для , имеем

,

где введены обозначения:

, ,

,

которые могут зависеть от обобщенных координат и временит, но не зависят от обобщенных скоростей. С учетом этого

,

.

Это выражение содержит , т.е. производную от обобщенной координаты только второго порядка. Другие слагаемые уравнения Лагранжа содержат производные от обобщенных координат не выше первого порядка. Активные силы , если они зависят от ускорений точек, не могут дать зависимости от обобщенных ускорений.

Интегрируя уравнения Лагранжа для случая заданных активных сил, получим все обобщенные координаты как функции времени и постоянных интегрирования. Для определения этих постоянных следует дополнительно задать начальные условия, т.е., например, при задать начальные значения обобщенных координат и обобщенных скоростей:

, .

При составлении уравнений Лагранжа можно рекомендовать следующий порядок операций.

1. Вычислить кинетическую энергию системы в ее движении относительно инерциальной системы отсчета.

2. Выбрав обобщенные координаты, число которых равно числу степеней свободы системы, преобразовать кинетическую энергию к обобщенным координатам.

3. Выполнить операции дифференцирования кинетической энергии, предусмотренные уравнениями Лагранжа.

4. Вычислить одним из способов, указанных в пункте 6.7. обобщенные силы системы.

5. Приравнять величины левой и правой частей, входящих в уравнения Лагранжа.

Уравнения Лагранжа для потенциальных сил. Если силы, действующие на точки системы, являются потенциальными, то для обобщенных сил справедлива формула . Силовая функция не зависит от обобщенных скоростей, поэтому производную от нее по обобщенной скорости можно добавить к . С учетом этого после переноса всех слагаемых в левую часть получим следующую систему уравнений Лагранжа:

, .

Если ввести функцию Лагранжа, или лагранжиан, по формуле

, (234)

то уравнения Лагранжа для случая потенциальных сил примут форму

, . (235)

Функция Лагранжа отличается от полной механической энергии системы

.

Из уравнений Лагранжа для стационарных потенциальных сил и случая стационарности связей системы можно получить ранее установленный закон сохранения полной механической энергии

.

Циклические координаты и циклические интегралы. Функция Лагранжа в общем случае зависит от обобщенных скоростей, обобщенных координат и времени. Пели какая-либо обобщенная координата, например . не входит в выражение функции Лагранжа, то для нее

. (236)

Обобщенная координата, которая удовлетворяет условию (206), называется циклической. Для циклической обобщенной координаты уравнение Лагранжа примет форму

.

Из него получаем циклический интеграл уравнений Лагранжа

. (237)

где – постоянная величина.

В циклический интеграл могут входить производные по времени от обобщенных координат, в том числе и производная по времени от циклической координаты не выше первого порядка. Т.е, (237) в отличие от уравнений Лагранжа в общем случае является обыкновенным дифференциальным уравнением не выше первого порядка. Если все обобщенные координаты циклические, то система уравнений Лагранжа, имеющих второй порядок, заменится циклическими интегралами, имеющими только первый порядок. Интегрировать такую систему уравнений значительно проще. Отыскание обобщенных координат, которые являются циклическими, имеет важное значение. Используя циклические интегралы, можно так называемым методом игнорирования координат уменьшить число уравнений Лагранжа на количество циклических координат, не повышая при этом порядка получаемых дифференциальных уравнений.

Заключение

В данном учебном пособии изложены основные положения, понятия и теоремы динамики. Представленный материал максимально полно отражает основные темы, изучение которых предусмотрено учебной и рабочей программами специальности очной формы обучения. При этом особенно подробно рассмотрены темы для самостоятельного изучения: геометрия масс (раздел 3) и уравнения Лагранжа (раздел 6.9).

Для более тщательного изучения материала в библиографическом списке приведен перечень литературы, к которой может обратиться читатель.

Библиографический список

1. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики: учебник для машиностроит. и приборостроит. спец. вузов / Н.Н. Никитин. – М.: Высш. шк., 1990. 607с.

2. Бутенин Н.В. Курс теоретической механики: в 2х т. / Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р. Меркин. – СПб.: Лань, 2002. 736 с.

3. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики / С.М. Тарг. – М.: Высш. шк., 2008. 416 с.

4. Цывильский В.Л. Теоретическая механика / В.Л. Цывильский. – М.: Высш. шк., 2008. 368 с.

5. Мещерский И.В. Задачи по теоретической механике / И.В. Мещерский. – СПб.: Лань, 2001. 448 с.

6. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: учеб. пособие для техн. вузов / под ред. А.А. Яблонского. – М.: Интеграл-Пресс, 2006. 384 с.

Оглавление

Введение…………………………………………………………. 3

1. Основные положения динамики и уравнения

движения точки………………………………………………. 4

1. Введение…………………………………………………. 4

2. Основные аксиомы классической механики…………... 4

3. Дифференциальные уравнения движения

материальной точки……………………………………... 9

4. Две основные задачи динамики точки………………… 12

5. Основные виды прямолинейного и криволинейного

движения точки…………………………………………. 17

6. Движение несвободной материальной точки………… 18

7. Элементы теории колебаний материальной точки….... 23

2. Относительное движение материальной точки…………… 33

1. Дифференциальные уравнения относительного

движения материальной точки………………………… 33

2. Частные случаи…………………………………………. 35

3. Движение точки относительно Земли………………… 38

4. Невесомость…………………………………………….. 43

3. Геометрия масс……………………………………………… 48

1. Центр масс………………………………………………. 48

2. Моменты инерции……………………………………… 50

3. Теорема о моментах инерции относительно

параллельных осей (теорема Штейнера)……………… 53

4. Моменты инерции простейших однородных тел.……. 56

5. Моменты инерции относительно осей,

проходящих через заданную точку……………………. 62

6. Эллипсоид инерции…………………………………….. 64

7. Свойства главных осей инерции………………………. 66

4. Общие теоремы динамики точки и системы………………. 71

1. Простейшие свойства внутренних сил системы……... 71

2. Дифференциальные уравнения движения системы….. 72

3. Теоремы об изменении количества движения