Материал: Теоретическая механика. Ч. 3. Динамика. учебное пособие. Переславцева Н.С., Бестужева Н.П

Радиус-вектор и координаты центра масс через статические моменты массы выражаются формулами

, , , .

Если механическая система представляет собой сплошное тело, то его разбивают на элементарные частицы с бесконечно малыми массами и с изменяющимися от частицы к частице радиусом-вектором .

Суммы в пределе переходят в интегралы. Формулы (59) и (59') принимают форму:

, (60)

, , , (60')

где – масса тела.

Для однородных сплошных тел , , где – плотность тела, общая для всех элементарных частиц, – объем элементарной частицы, – объем тела.

Для тел типа тонкого листа, которые можно принять за однородные материальные поверхности, , , где – поверхностная плотность, – площадь поверхности элементарной частицы; – площадь поверхности.

Для тонкой проволоки, которую можно принять за отрезок линии, , , где – линейная плотность, – длина элемента линии; – длина отрезка линии.

В этих случаях определение центра масс тел сводится к вычислению центра масс объемов, площадей и длин линий соответственно.

3.2. Моменты инерции

Для характеристики распределения масс в телах при рассмотрении вращательных движений требуется ввести понятия моментов инерции.

Моменты инерции относительно точки и оси

М оментом инерции механической системы, состоящей из материальных точек, относительно точки называется сумма произведений масс этих точек на квадраты их расстояний до точки (рис. 18), т. е.

. (61)

М

Рис. 18

, (61')

где – масса элементарной частицы тела (в пределе точка); – ее расстояние до точки .

Моментом инерции системы материальных точек относительно оси называется сумма произведений масс этих точек на квадраты их расстояний до оси (рис. 18):

. (62)

В частном случае сплошного тела сумму следует заменить интегралом:

, (62')

Моменты инерции одинаковых по форме однородных тел, изготовленных из разных материалов, отличаются друг от друга. Характеристикой, не зависящей от массы материала, является радиус инерции. Радиус инерции , относительно оси определяется но формуле

, (63)

где – масса тела.

Момент инерции относительно оси через радиус инерции относительно этой оси определяется выражением

, (63')

В справочниках но моментам инерции приводят таблицы значений радиусов инерции различных тел.

Формула (63') позволяет считать радиус инерции тела относительно оси расстоянием от этой оси до такой точки, в которой следует поместить массу тела, чтобы ее момент инерции оказался равным моменту инерции тела относительно рассматриваемой оси.

Моменты инерции относительно оси и точки имею одинаковую размерность – произведение массы на квадрат длины .

Кроме моментов инерции относительно точки и оси используются также моменты инерции относительно плоскостей и центробежные моменты инерции. Эти моменты инерции удобно рассмотреть относительно координатных плоскостей и осей декартовой системы координат.

Моменты инерции относительно осей координат

Моменты инерции относительно декартовых осей координат , и и их начала – точки (рис. 19) – о пределяются выражениями:

,

,

, (64)

Рис. 19

где – координаты материальных точек системы. Для сплошных тел эти формулы примут вид

, ,

, .

Из приведенных формул следует зависимость

. (66)

Если через точку провести другую систему декартовых осей координат . то для них по формуле (36) получим:

. (66')

Из сравнения (66) и (66') следует, что

.

Сумма моментов инерции относительно декартовых осей координат не зависит от ориентации этих осей в рассматриваемой точке, т.е. является величиной, инвариантной по отношению к направлению осей координат.

Для осей координат можно определить следующие три центробежных момента инерции:

, , . (67)

Центробежные моменты инерции часто называют произведениями инерции.

Моменты инерции относительно осей и точек – величины положительные, так как в них входят квадраты координат. Центробежные моменты инерции содержат произведения координат и могут быть как положительными, так и отрицательными.

Центробежные моменты инерции имеют важное значение при рассмотрении давлений на подшипники при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси и в других случаях.

Кроме рассмотренных моментов инерции иногда используются моменты инерции относительно координатных плоскостей , , , которые определяются выражениями:

, , .

3.3. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей (теорема Штейнера))

У

Рис. 20

По определению момента инерции относительно оси имеем:

, ,

где – масса точки , а и – координаты этой точки относительно систем и соответственно.