Материал: Теоретическая механика. Ч. 3. Динамика. учебное пособие. Переславцева Н.С., Бестужева Н.П

Если координаты движущейся точки относительно подвижной системы координат в момент времени есть , то в проекциях на подвижные оси координат (53) примет форму:

. (53')

Это дифференциальные уравнения движения точки относительно подвижной системы координат в проекциях на декартовы подвижные оси координат. Они отличаются от дифференциальных уравнений абсолютного движения относительно инерциальной системы отсчета только наличием поправок на неинерциальность системы отсчета.

2.2. Частные случаи Относительное движение по инерции

Если материальная точка движется относительно подвижной системы отсчета прямолинейно и равномерно, то такое движение называют относительным движением по инерции. В этом случае относительная скорость постоянна по модулю и направлению, а потому относительное ускорение . Из (53) следует в этом случае

. (54)

Это условие для сил при относительном движении точки по инерции.

Относительное равновесие

При покое материальной точки относительно подвижной системы отсчета ее относительные скорость и ускорение равны нулю, т.е. и . Ускорение Кориолиса тоже равно нулю, так как

.

Из (53) получаем условие относительного равновесия для сил:

. (55)

При абсолютном движении по инерции или абсолютном равновесии относительно инерциальной системы отсчета имеем для сил одно и то же условие . Условие относительного равновесия для сил отличается от условия относительного движения по инерции.

Инерциальные системы отсчета

Переносное ускорение в общем случае вычисляется по формуле

,

где – ускорение точки, принятой за полюс, например начало координат подвижной системы координат; – угловая скорость вращения подвижной системы координат вокруг выбранного полюса; – угловое ускорение этого вращения; – радиус-вектор движущейся точки относительно выбранного полюса.

Пусть подвижная система отсчета все время движется относительно основной инерциальной системы поступательно, равномерно и прямолинейно. В этом случае переносная и кориолисова силы инерции равны нулю, т. е.

и ,

так как при поступательном движении и . При равномерном и прямолинейном движении . Таким образом, в этом случае из (53) получаем уравнение относительного движения:

, (56)

которое совпадает с уравнением движения относительно инерциальной системы отсчета (51).

Все подвижные системы отсчета, которые движутся поступательно, равномерно и прямолинейно относительно основной инерциальной системы отсчета, называются тоже инерциальными. Относительно всех инерциальных систем отсчета получаются одинаковые уравнения движения материальной точки. Ускорения материальной точки относительно всех инерциальных систем отсчета одинаковы.

Отсутствие принципиальной возможности каким-либо механическим опытом, основанным на наблюдении за движением материальных тел, отличить одну инерциальную систему отсчета от другой находится в основе принципа относительности классической механики – принципа Галилея-Ньютона, который утверждает: все механические явления в различных инерциальных системах отсчета протекают одинаково, или никаким механическим опытом нельзя обнаружить инерциальное движение системы отсчета, участвуя вместе с ней в этом движении. Наоборот, неинерциальную систему отсчета можно обнаружить и отличить одну от другой по поправкам на неинерциальность.

Скорости материальной точки относительно различных инерциальных систем отсчета разные, но нет возможности из наблюдений за движением материальной точки в различных системах отсчета сделать утверждение, какая из инерциальных систем отсчета является основной, неподвижной, а какая – подвижной.

В специальной теории относительности имеет место принцип относительности Эйнштейна, который утверждает: все физические явления во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково. Физические явления кроме механических включают также электромагнитные процессы.

В

Рис. 11

озьмем две инерциальные системы отсчета: и (рис. 11). Примем, что система отсчета движется относительно с постоянной по модулю и направлению скоростью параллельно оси , причем в начальный момент времени при начала координат и соответствующие оси координат совпадают. В соответствии с концепцией классической механики время для обеих систем координат одно и то же. Нетрудно видеть, что координаты какой-либо точки в двух инерциальных системах отсчета связаны соотношениями параллельного переноса. Имеем:

, , , . (57)

Эти соотношения называются преобразованиями Галилея в частном случае движения двух инерциальных систем отсчета друг относительно друга.

Преобразования Галилея не изменяют формы уравнения движения точки (51), т.е. оно инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея.

2.3. Движение точки относительно Земли

Для неинерциальной системы отсчета уравнение движения материальной точки под действием силы отличается от уравнения движения относительно инерциальных систем отсчета. Согласно (53), оно имеет форму

. (58)

Наличие поправок на неинерциальность систем отсчета в виде сил инерции и позволяет установить неинерциальность системы отсчета и отличить эти системы отсчета одну от другой.

Система отсчета, скрепленная с земным шаром, не является инерциальной. Земной шар движется относительно гелиоцентрической инерциальной системы отсчета. При рассмотрении движения материальных тел относительно Земли должны проявлять себя эффекты, связанные с неинерциальностью системы отсчета. Земной шар движется относительно гелиоцентрической системы отсчета как свободное твердое тело. Его центр перемещается по эллиптической орбите, близкой к окружности. Кроме того, он вращается вокруг оси, проходящей через его центр, с почти постоянной по модулю и направлению угловой скоростью, совершая один оборот за сутки. Угловая скорость вращения Земли

,

т. е. величина малая по сравнению с единицей. В общем случае переносная сила инерции

,

где – ускорение центра земного шара относительно гелиоцентрической системы отсчета; – радиус-вектор движущейся точки, проведенный из центра Земли. Ускорение с очень большой степенью точности можно считать равным нулю, так как центр Земли движется по эллиптической орбите очень больших размеров. Угловое ускорение можно тоже считать равным нулю, так как считаем постоянным вектором. Оставшаяся часть переносного ускорения пропорциональна , т.е. величина малая по сравнению с величинами порядка для не очень больших расстояний . Величиной порядка является сила инерции Кориолиса

,

где – скорость материальной точки относительно Земли. Таким образом, неинерциальность системы отсчета, скрепленной с Землей, проявляется главным образом через влияние силы инерции Кориолиса, если рассматривается движение материальной точки вблизи Земли, при котором не очень велико. Рассмотрим несколько примеров этого влияния кориолисовой силы инерции.

Маятник Фуко

Е

Рис. 12

сли подвесить на длинной нити груз достаточно малых размеров, то действующая на него сила будет состоять из силы притяжения к Земле, направленной к центру Земли, и силы реакции натяжения нити (рис. 12). Эти силы расположены в вертикальной плоскости (рис. 13). Если начальные отклонения и скорость груза тоже находятся в плоскости , то маятник при колебаниях должен все время находиться в плоскости , неподвижной относительно гелиоцентрической системы отсчета. Земной шар поворачивается относительно этой системы отсчета с угловой скоростью . Следовательно, плоскость

Рис. 13

по отношению к Земле должна поворачиваться в сторону, противоположную Земле, с угловой скоростью , если маятник подвесить на северном полюсе. Для маятника на широте угловая скорость вращения плоскости колебаний маятника равна . На экваторе эта скорость равна нулю.

Е сли тело маятника имеет выступ, который при колебаниях может оставлять след, например на песке, то этот след при движении маятника и одну сторону будет отличаться от следа при движении в противоположную сторону из-за вращения Земли. Это отличие тем больше, чем длиннее нить маятника. Фуко в 1857 г. использовал маятник длиной 67 м. В СССР маятник Фуко имеется в Исаакиевском соборе в Санкт-Петербурге. Маятник Фуко наглядно демонстрирует вращение Земли относительно инерциальной системы отсчета.