Материал: Теоретическая механика. Ч. 3. Динамика. учебное пособие. Переславцева Н.С., Бестужева Н.П

Формула (165) выражает закон сохранения механической энергии для системы: полная механическая энергия при движении системы в стационарном потенциальном силовом поле внешних и внутренних сил является постоянной величиной.

В случае абсолютно твердого тела работа всех внутренних сил равна нулю и, следовательно, потенциальная энергия внутренних сил является постоянной величиной, которую можно считать равной нулю. Тогда в (165) за потенциальную энергию следует принять только потенциальную энергию внешних сил, которая вместе с кинетической энергией является постоянной величиной. При движении изменяемой механической системы сумма кинетической энергии системы и потенциальной энергии внешних сил не является постоянной. Она становится постоянной только вместе с потенциальной энергией внутренних сил. Механические системы, для которых выполняется закон сохранения механической энергии, называют консервативными.

При движении точки или системы в непотенциальном силовом поле, встречающемся в действительности, когда непотенциальность связана с действием сил сопротивления, механическая энергия изменяется, причем она всегда уменьшается на работу сил сопротивления. Потерянная системой часть механической энергии обычно переходит в тепловую энергию. Полная энергия всех видов (механическая, тепловая, химическая и т.д.) не изменяется при движении точки или системы в любом силовом поле. При этом происходит только преобразование одного вида энергии в другой.

5. Принцип даламбера. Динамические реакции при вращении тела вокруг неподвижной оси

5.1. Принцип Даламбера Принцип Даламбера для материальной точки

Законы Ньютона содержат в себе все необходимое для рассмотрения движения любых механических систем. Но первоначально они применялись только для рассмотрения движения свободной материальной точки и свободного твердого тела до тех пор, пока не была дополнительно сформулирована аксиома связей. Для рассмотрения движения несвободных систем Даламбер предложил специальный принцип, получивший название принципа Даламбера. Этот принцип был сформулирован в терминах «потерянных» движений.

В настоящее время, когда считается справедливой аксиома связей, уравнения движения несвободной материальной точки являются такими же, как и для свободной, только к действующим на точку активным или заданным силам добавляют силы реакций связей.

Современное выражение принципа Даламбера не отличается по содержанию от уравнений движения материальной точки, но для многих задач оно более удобно. Принцип Даламбера для свободной материальной точки эквивалентен основному закону динамики. Для несвободной точки он эквивалентен основному закону вместе с аксиомой связей.

Уравнение движения материальной точки массой относительно инерциальной системы отсчета под действием приложенных активных сил и реакций связей имеет вид

. (166)

Сила является равнодействующей активных сил, – равнодействующей реакций связей, – ускорением точки относительно инерциальной системы отсчета. Назовем силой инерции материальной точки произведение массы точки на вектор ускорения, взятое с обратным знаком, т.е. Если использовать понятие силы инерции точки и перенести все слагаемые (166) в правую часть уравнения, то получим

. (167)

Т ак как силы (рис. 59) образуют систему сходящихся сил и удовлетворяют условию (167), то они являются системой сил, эквивалентной нулю, т.е.

. (168)

У

Рис. 59

Из (167) в проекциях на координатные оси получаем три условия равновесия сил:

, , . (169)

Ускорение точки относительно инерциальной системы отсчета можно разложить на составляющие по осям декартовой системы координат, а также на касательное и нормальное ускорения и на переносное, относительное ускорения и ускорение Кориолиса, если движение точки считать сложным, состоящим из переносного и относительного. Соответственно силу инерции можно разложить на такие же составляющие:

. (170)

Касательная сила инерции , где – касательное ускорение; нормальная, или центробежная, сила инерции , где – нормальное ускорение. Переносная и относительная силы инерции, а также сила инерции Кориолиса через ускорения выражаются соответственно так: , , .

Аналогично выражаются через проекции ускорения на прямоугольные оси координат проекции силы инерции . На силы инерции существуем несколько точек зрения. Согласно первой точке зрения, сила инерции условно прикладывается к точке, чтобы уравнению движения (166) придать более удобную форму условия равновесия (167). Поэтому силу инерции называют фиктивной, даламберовой, условной и т.д. С этой точки зрения силы инерции в принципе Даламбера не являются настоящими, реальными силами и отличаются не только от обычных сил, создаваемых действием тел, но даже и от сил инерции в относительном движении.

Согласно другой, наиболее распространенной точке зрения, сила инерции считается приложенной по частям к «ускоряющим» телам. Для обоснования приводят следующие рассуждения. Материальная точка движется с ускорением потому, что на нее действуют какие-то тела с силой, равной (см. рис. 59). По закону о равенстве сил действия и противодействия материальная точка должна оказывать противодействие этим телам с такой же по модулю, но противоположной по направлению силой , которая, согласно (167), равна силе инерции , т.е. .

Это соотношение дает основание считать, что сила инерции приложена к «ускоряющим» телам, т.е. телам, которые сообщают точке ускорение.

Действительно, сила инерции является векторной суммой сил действия точки на «ускоряющие» ее тела. Она служит суммарной оценкой этого действия. Однако при рассмотрении относительного движения точки вводятся переносная и кориолисова силы инерции. Для подвижного наблюдателя их следует считать приложенными к движущейся материальной точке, но для них невозможно указать материальные тела, действием которых на точку можно объяснить эти силы.

Переносная и кориолисова силы инерции являются частью полной силы инерции . Если для части силы невозможно указать тела, которые ее создают, то это же справедливо и для всей силы инерции . Однако в рассматриваемом случае указывается материальный объект, который действует с силой инерции на ускоряющие тела. Этим объектом является движущаяся с ускорением материальная точка.

Согласно третьей точке зрения, силу инерции считают приложенной к движущейся материальной точке, по крайней мере это справедливо для наблюдателя, который находится в собственной системе отсчета этой точки. Собственной системой отсчета материальной точки называют такую систему отсчета, относительно которой точка находится в покое, т.е. относительно которой ее относительные скорость и ускорение равны нулю. В этой системе отсчета справедливо условие относительного равновесия для сил

,

где , переносная сила инерции в собственной системе отсчета. Но в собственной системе отсчета , и кориолисово ускорение и, следовательно, .

Таким образом, принцип Даламбера есть условие относительного равновесия для сил в собственной системе отсчета. Относительно собственного наблюдателя сила инерции приложена к движущейся точке, а следовательно, к ней приложена и совпадающая с переносной силой инерции в собственной системе отсчета , сила инерции абсолютного движения . Силу в этом случае считают дополнительным действием на точку поля Вселенной.

Принцип Даламбера для системы материальных точек

Р

Рис. 60

, , (171)

где – сила инерции для -ой точки (рис. 60). Условия (171) можно представить в эквивалентной форме:

, , (172)

векторных условий (171) или (172) выражают принцип Даламбера для системы: при движении механической системы активная сила и реакция связей вместе с силой инерции составляют равновесную систему сил для каждой точки системы.

Принцип Даламбера для системы по своему содержанию не отличается от уравнений движения точек системы.

Представим равнодействующую силу, приложенную к каждой точке системы, разложенной не на активную силу и реакцию связей, а на внутреннюю и внешнюю силы по отношению ко всей системе:

,

Тогда принцип Даламбера для системы можно представить в другой форме:

, . (173)

Из принципа Даламбера для системы в форме (171) или (173) можно получить следствия в виде шести условии равновесия для сил, действующих на точки системы, и сил инерции.

Если просуммировать левые части по всем точкам системы, то

. (174)

Умножая векторно каждое из соотношений (171) слева на радиус-вектор точки и опять суммируя по точкам системы, получаем

, (175)

или

, (175')

Следствие из принципа Даламбера (175), (175') справедливо как для неподвижной в рассматриваемой инерциальной системе отсчета точки, так и движущейся, так как начало радиусов-векторов можно выбирать в любой точке.

Условия (174) и (175'), если выразить их через проекции на координатные оси, дадут шесть условий равновесия, аналогичных условиям равновесия сил, приложенных к твердому телу, в статике.

Если использовать принцип Даламбера в форме (173), то получим следствия в форме

, (176)