Материал: Теоретическая механика. Ч. 3. Динамика. учебное пособие. Переславцева Н.С., Бестужева Н.П

где кинетическая энергия системы , элементарная работа внешних и внутренних сил соответственно и .

Формула (146) и выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме: дифференциал от кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему.

Если обе части (146) проинтегрировать между двумя положениями системы – начальным и конечным, в которых соответственно кинетическая энергия и , то, изменяя порядок суммирования и интегрирования, имеем

,

или

, (147)

где – работа внешней силы для точки системы при ее перемещении из начального положения в конечное положение , соответственно работа внутренней силы, действующей на точку .

Формула (147) выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в конечной или интегральной форме: изменение кинетической энергии системы при ее перемещении из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему, на соответствующих перемещениях точек системы при том же перемещении системы.

Частный случай. Для абсолютно твердого тела сумма работ всех внутренних сил системы равна нулю:

.

Следовательно, теорему об изменении кинетической энергии, например, в конечной форме можно представить в виде

, (148)

Изменение кинетической энергии твердого тела при каком-либо перемещении равно сумме работ всех внешних сил, действующих ни тело, на соответствующих перемещениях точек тела при том же перемещении твердого тела.

Таким образом, в отличие от рассмотренных других общих теорем динамики системы в теорему об изменении кинетической энергии могут входить внутренние силы. Они не входят в эту теорему в случае абсолютно твердого тела.

Теорема об изменении кинетической энергии в относительном движении

Т

Рис. 54

еорема об изменении кинетической энергии материальной точки. Пусть точка совершает переносное движение вместе с подвижной системой координат относительно основной системы координат и относительное движение по отношению к системе координат (рис. 54). Абсолютным движением точки является ее сложное движение относительно системы координат . Дифференциальное уравнение относительного движения точки в векторной форме можно представить в виде

, (149)

где сила инерции переносного движения точки; – сила инерции Кориолиса.

Вывод теоремы об изменении кинетической энергии для точки в относительном движении произведем так же, как и вывод аналогичной теоремы в абсолютном движении, умножив обе части (149) скалярно на вектор элементарного относительного перемещения , и преобразуем левую часть полученного выражения. Значок ~ над дифференциалом радиуса-вектора и других векторов указывает, что при дифференцировании надо брать изменение соответствующего вектора относительно подвижной системы координат . Таким образом

.

В правую часть входят элементарные работы сил на относительном перемещении . Оказывается, что элементарная работа силы инерции Кориолиса на относительном элементарном перемещении всегда равна нулю, так как эта сила перпендикулярна относительной скорости и, следовательно, перпендикулярна относительному перемещению . В выражение силы инерции Кориолиса входит векторное произведение , а оно всегда перпендикулярно каждому из векторов сомножителей, в частности .

Итак, теорема об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной форме имеет вид

. (150)

Теорема об изменении кинетической энергии в относительном движении точки выражается так же, как и в абсолютном движении, только к элементарной работе приложенной силы добавляют элементарную работу силы инерции переносного движения на относительном перемещении.

Теорема об изменении кинетической энергии системы. Для системы рассмотрим наиболее важный случай, когда в качестве переносного движения берется поступательное движение системы вместе с центром масс и, следовательно, кинетическую энергию системы в абсолютном движении можно вычислить на основании теоремы Кёнига (150):

.

Теорему об изменении кинетической энергии системы для абсолютного движения (см. рис. 41) можно записать в виде

, (151)

так как .

Следовательно,

,

то, заменяя в (151) и их значениями, получаем

. (152)

По свойству внутренних сил .

Если теорему об изменении кинетической энергии для центра масс выразить так же, как и для точки, у которой масса равна массе всей системы, и эта точка находится под действием всех внешних сил, действующих на систему, то

.

Отбросив в (152) эти члены, получим следующую теорему об изменении кинетической энергии системы в относительном движении по отношению к системе координат, движущейся поступательно вместе с центром масс:

. (153)

Сравнивая (153) с (151), видим, что теорема об изменении кинетической энергии в относительном движении системы по отношению к системе координат, движущейся поступательно вместе с центром масс системы, формулируется так же, как и для абсолютного движения системы.

4.6. Потенциальное силовое поле

Для вычисления работы силы на каком-либо перемещении в общем случае необходимо знать закон движения точки на этом перемещении. Есть класс сил, для которых работа не зависит от характера движения точки на рассматриваемом перемещении. Эти силы называют потенциальными, и они имеют важное значение в различных областях механики и физики.

Потенциальное силовое поле и силовая функция

С иловым полем называют часть пространства, в каждой точке которого на материальную точку действует определенная сила, зависящая от координат точки и времени. Силовое поле считают стационарным, если действующие силы не зависят от времени. Если же силы зависят от времени, то силовое поле является нестационарным.

С

Рис. 55

иловое поле называют потенциальным, если имеется силовая функция , зависящая от координат точки и времени для нестационарного силового поля. Через силовую функцию проекции силы на координатные оси в каждой точке поля (рис. 55) определяются по формулам

, , . (154)

Функцию называют силовой функцией.

Рассмотрим основные свойства силовой функции стационарного силового поля. Из (154) следует, что силовая функция определяется с точностью до постоянной, так как для проекций силы на координатные оси требуются только частные производные по координатам от этой функции и добавление постоянной к функции не влияет на значения . Элементарная работа

,

т.е. . (155)

Таким образом, элементарная работа силы в потенциальном силовом поле равна полному дифференциалу от силовой функции. Иногда это свойство силовой функции принимают за ее определение, тогда (154) получают из (155).

Полная работа силы на участке от точки до точки

.(156)

Следовательно, полная работа силы на каком-либо перемещении точки равна разности значений силовой функции в конечной и начальной точках перемещения и не зависит от формы траектории, по которой оно совершается, если силовая функция является однозначной.

Из (156) следует, что работа силы в потенциальном силовом поле по любому замкнутому пути равна нулю, так как значение силовой функции в начальной и конечной точках перемещения одинаково, если силовая функция не принимает других значений после возвращения в первоначальную точку.

Силовая функция может принимать другие значения после возвращения в первоначальную точку в зависимости от количества обходов, если область, ограниченная замкнутым путем обхода, содержит в себе специальные особые точки силовой функции.

Если применить понятие вектор-градиента от скалярной функции

,

то силу можно выразить как градиент силовой функции :

Определим условия, которые позволяют по силам силового поля устанавливать, будет ли силовое поле потенциальным.

Если силовая функция существует, то

, .

Т.к. , то

или .

Таким образом, полученные условия имеют вид

, , . (157)

В векторном исчислении доказывается, что условия (157) не только необходимы, но и достаточны для существования силовой функции. Если использовать вектор вихря от вектора силы

,

условия (127) можно выразить более кратко

. (157')

Таким образом, для того чтобы силовое поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым.

Непотенциальными силами являются силы сопротивления, зависящие от скорости, и силы трения. Силы сухого трения не будут потенциальными, так как хотя сила трения постоянна и не зависит от скорости, но направление силы трения от скорости зависит.