Материал: Теоретическая механика. Ч. 3. Динамика. учебное пособие. Переславцева Н.С., Бестужева Н.П

В задачах в качестве механической системы часто рассматривают систему сочлененных твердых тел. При вычислении работы всех сил, приложенных к такой системе тел, очевидно, достаточно учесть работу внутренних сил в местах сочленения твердых тел. Если твердые тела сочленяются с помощью шарниров без трения, сумма работ таких двух внутренних сил равна нулю, так как внутренние силы в точке сочленения, как действие и противодействие, равны по модулю, но противоположны по направлению, а перемещение у точек приложения сил общее.

Таким образом, сочленение твердых тел с помощью шарниров без трения при вычислении работы внутренних сил не нарушает жесткости системы тел, так как сумма работ внутренних сил в этих шарнирах равна нулю при любых перемещениях системы сочлененных твердых тел. Систему сочлененных с помощью таких шарниров твердых тел при вычислении работы всех внутренних сил можно считать одним твердым телом. Это характерно и для случая сочленения системы твердых тел с помощью нерастяжимых нитей, канатов и т.п. В этом случае работа внутренних сил натяжений также равна нулю.

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия точки и системы. Кинетической энергией материальной точки называют половину произведения массы точки на квадрат ее скорости, т.е. или , так как скалярный квадрат любого вектора равен квадрату модуля этого вектора. Кинетическая энергия является скалярной положительной величиной.

Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех точек механической системы, т. е.

. (138)

Кинетическая энергия как точки, так и системы не зависит от направления скоростей точек. Кинетическая энергия может быть равна нулю для системы только при условии, если все точки системы находятся в покое.

Вычисление кинетической энергии системы (теорема Кёнига). Разложим движение механической системы на переносное поступательное вместе с центром масс системы и относительное по отношению к системе координат, движущейся поступательно вместе с центром масс. Аналогично тому, как это производилось при выводе формулы для кинетического момента при таком разложении абсолютного движения, для каждой точки системы (см. рис. 52) имеем

Рис. 52

и соответственно

,

где – является относительной скоростью точки, так как подвижная система координат движется поступательно ( ) и, следовательно, полная производная по времени от совпадает с локальной производной, равной относительной скорости точки.

Подставляя значение скорости в выражение кинетической энергии абсолютного движения системы, т. е. ее движения относительно системы координат после очевидных преобразований получаем

. (139)

Но

,

т.к.

Учитывая, что – масса системы, и обозначая второе слагаемое в (139), имеем

, (140)

где .

Величина является кинетической энергией относительного движения системы относительно системы координат, движущейся поступательно вместе с ее центром масс, или кинетической энергией системы относительно центра масс.

Формула (140) выражает так называемую теорему Кёнига: кинетическая энергия системы в абсолютном движении складывается из кинетической энергии центра масс, если в нем сосредоточить всю массу системы, и кинетической энергии системы относительно центра масс.

Кинетическая энергия твердого тела. При поступательном движении твердого тела кинетическая энергия

, (141)

так как при поступательном движении твердого тела скорости всех точек тела одинаковы, т. е. , где – общая скорость для всех точек тела.

Таким образом, кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении вычисляется так же, как и для одной точки, у которой масса равна массе всего тела.

При вращении тела вокруг неподвижной оси кинетическую энергию можно вычислить, если учесть, что скорость какой-либо точки тела можно выразить (см. рис. 53) как

,

где – кратчайшее расстояние от точки до оси вращения; – угловая скорость тела. Тогда

, (142)

где – момент инерции тела относительно оси вращения .

Кинетическая энергия тела при вращательном движении вокруг неподвижной оси равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости тела.

И

Рис. 53

При плоском движении твердого тела кинетическую энергию можно вычислить по теореме Кёнига. Так как в этом случае относительное движение относительно центра масс (точнее, относительно системы координат, движущейся поступательно вместе с центром масс) является вращением вокруг центра масс с угловой скоростью , то

,

где – момент инерции тела относительно оси , проходящей через центр масс тела перпендикулярно плоскости движения. Следовательно, на основании (140) для плоского движения тела имеем

. (143)

Таким образом, при плоском движении тела кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного движения тела вместе с центром масс и кинетической энергии от вращения вокруг оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости движения.

Учитывая, что ( – мгновенный центр скоростей), из (143), используя теорему Штейнера, получаем еще одну формулу для кинетической энергии твердого тела при плоском движении:

. (143')

где – момент инерции тела относительно оси , проходящей через мгновенный центр скоростей перпендикулярно плоскости движения,

Если механическая система состоит из нескольких твердых тел, то следует вычислить кинетическую энергию каждого тела, а затем полученные кинетические энергии сложить. Так определяется кинетическая энергия системы тел.

Теорема об изменении кинетической энергии точки

Для материальной точки массой , движущейся под действием силы , основной закон динамики можно представить в виде

.

Умножая обе части этого соотношения скалярно на дифференциал радиуса-вектора точки , имеем

.

Преобразуем левую часть равенства

,

где – скорость точки.

Учитывая, что – элементарная работа, получаем:

. (144)

Формула (144) выражает теорему об изменении кинетической энергии для точки в дифференциальной форме: дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе силы, действующей на точку.

Если обе части (144) разделить на и учесть, что мощность , то теорему можно также выразить в виде

. (144')

Производная по времени от кинетической энергии точки равна мощности, подводимой к этой точке.

Интегрируя обе части (144) от точки до точки (см. рис. 45), получаем теорему об изменении кинетической энергии точки в конечной форме:

, (145)

т. е. изменение кинетической энергии точки на каком-либо перемещении равно работе силы, действующей на точку на том же перемещении.

Теорема об изменении кинетической энергии системы

Приложив к точкам системы все внешние и внутренние силы, для каждой точки системы можно выразить теорему об изменении кинетической энергии (144) в форме

, ( ).

Суммируя правые и левые части этих соотношений но всем точкам системы и вынося знак дифференциала за знак суммы, получаем

,

или

, (146)