Материал: Теоретическая механика. Ч. 3. Динамика. учебное пособие. Переславцева Н.С., Бестужева Н.П

Поверхности уровня. Силовые линии

Если рассматривать точки потенциального силового поля, в которых силовая функция имеет одно и то же значение, например , все эти точки располагаются на поверхности, которую называют поверхностью равного уровня или поверхностью уровня.

Уравнение поверхности уровня имеет вид

Отметим некоторые свойства поверхностей уровня.

1. Работа силы равна нулю, если начальная и конечная точки перемещения лежат на одной поверхности уровня. Действительно,

.

Е

Рис. 56

сли начальная и конечная точки лежат на одной поверхности уровня, то и, следовательно, . Работа силы на перемещении между точками и не зависит от положения этих точек на своих поверхностях уровня. На любом перемещении между двумя точками этих поверхностей уровня она одинакова (рис. 56).

2. Сила в потенциальном силовом поле всегда перпендикулярна поверхности уровня или, точнее, касательной плоскости поверхности уровня. Действительно, пусть имеем поверхность уровня . Возьмем на ней две бесконечно близкие точки и и вычислим элементарную работу на перемещении между этими точками:

.

С другой стороны,

.

Так как и , не равны нулю, то и, следовательно, угол между силой и перемещением , лежащим в касательной плоскости к поверхности уровня, является прямым.

3. Сила в потенциальном силовом поле всегда направлена в сторону возрастающих значений силовой функции. Для доказательства этого свойства силы возьмем точку на перпендикуляре к поверхности уровня, восставленном в точку в направлении возрастающих значений силовой функции. Тогда элементарная работа на элементарном перемещении , равном , вычисляется по формуле

, т.к. .

Следовательно, , поэтому угол, равный 180, исключается и получается, что сила направлена по в сторону возрастающих значений силовой функции.

4. Если все силовое поле разбить поверхностями уровня на равных значений так, что для первой поверхности уровня , для второй и последней , то там, где соседние поверхности уровня ближе друг к другу, модуль силы больше, чем в местах, где поверхности уровня дальше отстоят друг от друга. Это свойство можно проверить, если заметить, что работа между точками любых двух соседних поверхностей в этом случае одна и та же. Следовательно, там, г де расстояние между поверхностями меньше, сила по числовому значению больше, и наоборот.

Н

Рис. 57

аряду с поверхностями уровня в силовом поле вводят понятие силовой линии, т.е. такой линии, в каждой точке которой сила направлена по касательной к этой линии (рис. 57). Так как вектор с проекциями на оси всегда направлен по касательной к кривой, то из условия параллельности и следует, что

. (158)

Эти дифференциальные уравнения относительно координат являются дифференциальными уравнениями силовой линии.

Потенциальная энергия

В

Рис. 58

случае потенциального силового поля наряду с силовой функцией можно ввести другую функцию, характеризующую запас энергии в данной точке поля, – потенциальную энергию в этой точке (рис. 58), или потенциальную энергию материальной точки в рассматриваемой точке силового поля.

Потенциальной энергией материальной точки в рассматриваемой точке силового поля называют работу, которую совершают силы поля, действующие на материальную точку при перемещении ее из точки в начальную точку , т.е.

, или

. (159)

Постоянная одна и та же для всех точек поля, зависящая от того, какая точка поля выбрана за начальную. Очевидно, что потенциальную энергию можно ввести только для потенциального силового поля, в котором работа не зависит от формы перемещения между точками и . Непотенциальное силовое поле не имеет потенциальной энергии, для него не существует и силовой функции.

На основании (154) и (159) имеем

, , .

Из (155), (156) и (159) соответственно получаем

, .

Из приведенных формул следует, что определяется с точностью до произвольной постоянной, которая зависит от выбора начальной точки, но эта произвольная постоянная не влияет на вычисляемые через потенциальную энергию силы и работу этих сил. Учитывая это, (159) можно выразить так:

, (159')

или .

Потенциальную энергию в какой-либо точке поля с точностью до произвольной постоянной можно определить как значение силовой функции в этой же точке, взятое со знаком минус. По существу, достаточно одной из функций или .

Понятие потенциальной энергии было введено раньше, чем силовая функция. Силовая функция более удобна, так как некоторые формулы, содержащие эту функцию, не имеют знака минус.

Силовая функция и потенциальная энергия системы

Для механической системы в потенциальном силовом поле можно ввести силовую функцию как функцию, зависящую от координат всех точек системы, т.е. от положения системы в силовом поле. Если система состоит из точек, то силовая функция зависит в общем случае от координат всех точек. Проекции силы, действующей на каждую точку системы

, , , ( ). (160)

Сумма элементарных работ всех сил, действующих на точки системы, определяется по формуле

,

или

. (161)

Таким образом, сумма элементарных работ сил поля, действующих на механическую систему, равна полному дифференциалу от силовой функции. Если вычислить сумму работ, которую совершат силы поля, действующие на механическую систему при перемещении системы из положения , в котором имеется силовая функция , в положение , в котором есть силовая функция , то

. (162)

Следовательно, сумма работ сил поля, действующих на систему при перемещении системы из одного начального положения в другое, равна разности значений силовой функции в конечном и начальном положениях системы.

Потенциальной энергией системы в рассматриваемом положении потенциального силового поля называют сумму работ сил поля, действующих на систему, которую эти силы совершают при перемещении системы из рассматриваемого положения в начальное положение , т.е.

. (163)

где – значение силовой функции для системы сил в положении ; – значение силовой функции в начальном положении. Из (160)–(163) следует:

, , ,

,

.

4.7. Закон сохранения механической энергии Закон сохранения механической энергии точки

Для материальной точки теорему об изменении кинетической энергии можно выразить в следующем виде:

.

Если материальная точка движется в стационарном потенциальном силовом поле, то

.

Следовательно,

, или ,

где – постоянная величина.

Обозначая через полную механическую энергию точки, состоящую из ее кинетической и потенциальной энергий, получаем

.

Таким образом, при движении точки в стационарном потенциальном силовом поле ее полная механическая энергия остается постоянной величиной, что является законом сохранения механической энергии для точки, который и есть первый интеграл дифференциальных уравнений движения точки.

Закон сохранения механической энергии системы

Теорему об изменении кинетической энергии для системы можно представить в виде

. (164)

Если система движется в стационарном потенциальном поле, то

,

где – потенциальная энергия внутренних и внешних сил, действующих на систему. Следовательно,

, или ,

где – постоянная величина.

Обозначая через полную механическую энергию системы, имеем

. (165)