Дипломная (вкр): Особенности формирования устных приемов вычислений у младших школьников

из уменьшаемого вычитается часть вычитаемого, образуя промежуточное число 10;

из промежуточного числа 10 вычитается оставшаяся часть вычитаемого для получения окончательного ответа» [4].

Важно: 1) выучить последовательность действий; 2) быстро подбирать подходящий случай разложения любого однозначного числа на составные части (состав однозначных чисел); 3) выполнять разрядное вычитание в пределах второго десятка; 4) уметь вычитать любое однозначное число из 10 (состав числа 10) [4].

Но и при изучении этого вычислительного приема дети испытывают затруднения при освоении. Также возможно использование линейки в качестве внешней опоры, как и в сложении с переходом через десяток. Дети-кинестетики, продолжают использовать пальцевый счет [4].

Сложение двузначных чисел без перехода через десяток. «На самом деле, уже при знакомстве со случаями 45+23, учитель знакомит детей со способами записи вычислительных действий «в столбик» и приемом поразрядного сложения, применяемых при письменных вычислениях. Сначала предлагается устный способ вычислений:

45 + 23 = …

3 (45 + 20) +3 =68 » [2].

Отличие устных вычислений от письменных: «при устных вычислениях всегда начинают со старших разрядов (в данном случае - с разряда десятков) и выполняют действие, двигаясь слева направо» [4].

Важно знать разрядный состав двузначных чисел, выполнять сложение разрядных единиц (десятки с десятками, единицы с единицами) [4].

Сложение и вычитание целыми десятками. Важно знать десятичный состав двузначного числа. Рассматривая 60 как 6 десятков и 20 как 2 десятка, 60+20 вычисляется как 6 десятков + 2 десятка. Ответ 8 десятков затем рассматривается как 80. Т.о., действия целыми десятками рассматриваются как действия разрядными единицами, вычисления в этом случае сводятся к табличным вычислениям в пределах 10» [4].

Важно опираться на наглядность, сопровождая «соответствующими записями и словесными пояснениями… 34+20… суммой каких разрядных слагаемых заменим число 34? (30 и 4)… заменим число 34 суммой разрядных слагаемых… 34+20 = (30+4) + 20… к сумме чисел 30 и 4 прибавить 20. Как удобнее вычислить результат? (Прибавить число 20 к 30, к первому слагаемому, и к полученному результату прибавить 4, второе слагаемое)… Вычислите результат. (К 30 прибавить 20, получится 50; к 50 прибавить 4, получится 54.) Запись: 34+20 = (30+4) +

= (30+20) +4 = 54» [2].

Надо хорошо понимать разрядный состав двузначных чисел, выполнять сложение целых десятков, сложение в пределах 10 и разрядное сложение (50+4)» [4].

Предлагается решение наиболее удобным способом примеров вида: (50 +3) + 40 и (30 + 6) + 2. При решении таковых учащиеся должны уяснить, что удобнее десятки прибавлять к десяткам, а единицы к единицам, и, что в первом случае прибавляли 40 к числу 53, а во втором - прибавляли 2 к 36 [2].

Прибавление единиц к числу с получением в результате целого десятка, что приводит к увеличению разрядных единиц на одну в разряде десятков.

Важно знать разрядный состав чисел, складывать в пределах 10 и выполнять прибавление десяти к целым десяткам» [4].

Вычитание единиц или десятков из числа без перехода через десяток.

Важно знать разрядный состав чисел, уметь вычитать в пределах 10 и выполнять разрядное сложение (40+5) [4].

Вычитание единиц из целых десятков с заемом одного десятка.

Важно знать десятичный состав целых чисел, вычитать в пределах 10 и выполнять разрядное сложение (20+4) [4].

Сложение двузначных чисел с переходом через десяток 37+48. В уме каждое число раскладывается на разрядные составляющие, а затем разрядные единицы складываются: десятки с десятками, единицы с единицами. Получившиеся суммы складываются. Важно знать разрядный состав двузначных чисел, складывать целые десятки и однозначные числа в пределах 20 [4].

Сложение двузначных чисел с получением в результате целых десятков 37+53. Для выполнение этого приема требуются те же знания и умения, как и в предыдущем. Способ выполнения тот же. Не вызывает затруднений при устном выполнении [4].

Для закрепления знания приема и формирования вычислительного навыка ученики должны выполнять краткое объяснение сначала вслух, а затем про себя: какие действия над какими числами они выполняют и какие получили результаты [2].

Для выработки устный вычислительного навыка, необходимо на каждом уроке выполнять различные упражнения на вычисление результатов сложения и вычитания в пределах 100 для решения «в уме».

Предупреждая появление ошибок в вычислениях надо научить детей постоянно выполнять проверку сложения и вычитания, основанным на связи между компонентами и результатом действий сложения и вычитания. Еще надо использовать способ прикидки результата (сравнивать полученный результат с компонентами) [2].

Умножение и деление в пределах 100.

Одна из тем в курсе начальной математики - тема умножение и деление в пределах 100. Она включает в себя табличное умножение и деление, внетабличное умножение и деление, деление с остатком и особые случаи умножения и деления с 0 и 1.

К табличному - «относят случаи умножения однозначных натуральных чисел на однозначные натуральные числа, результаты которых находят на основе конкретного смысла действия умножения (находят суммы одинаковых слагаемых), например: 8*2, 6*3, 5*4» [5]. Соответствующие им случаи деления тоже называют табличными, например: 16:2, 18:6 [2].

К внетабличным - «относят умножение и деление в пределах 100 двузначного числа на однозначное, умножение однозначного на двузначное, а также деление двузначного числа на двузначное, например: 16*4, 4*16, 51:3, 51:17» [2].

«Умножение и деление с числом нуль, а также умножение и деление на

» относят к особым случаям умножения и деления [2].

Результатом изучения умножения и деления в пределах 100 является усвоение «понятия о действиях умножения и деления, связь между компонентами и результатами этих действий, переместительное свойство умножения, свойство умножения суммы на число, числа на сумму, деления числа на сумму; должны знать наизусть таблицу умножения и соответствующие случаи деления; усвоить приемы вычислений для случаев умножения и деления с числами 10, единица, нуль, а также для внетабличных случаев умножения и деления; овладеть вычислительными навыками в отношении перечисленных случаев умножения и деления» [2].

Рассмотрим методику работы над этими разделами.

Табличное умножение и деление. В этом разделе вначале

«раскрывается конкретный смысл действий умножения и деления и на этой основе вводятся первые приемы умножения и деления, составляется таблица умножения двух и деления на 2; затем изучается переместительное свойство умножения, на основе которого составляется таблица умножения на 2; далее изучаются связи между компонентами и результатами действий умножения и деления, на их основе рассматриваются табличные случаи деления с частным 2, приемы умножения и деления с числами 1 и 10, а также остальные таблицы умножения и деления; после этого вводятся приемы умножения и деления с числом нуль… еще в 1 классе при изучении нумерации, сложения и вычитания в пределах 10 и 100 целесообразно ввести счет пар предметов, троек и т. д. и предлагать задачи (примеры) на нахождение суммы одинаковых и неодинаковых слагаемых:

В трех коробках лежит по 6 карандашей в каждой. Сколько всего карандашей в коробках?

В первой коробке 3 карандаша, во второй - 6, в третьей - 8. Сколько всего карандашей в коробках?

Подобные задачи (примеры) полезно иллюстрировать предметами или рисунками. Следует включать и обратные упражнения: по данным рисункам составить задачи (примеры) на сложение.

Решая такие задачи и примеры, учащиеся замечают, что есть суммы с одинаковыми слагаемыми, и считают, сколько таких слагаемых» [2].

В дальнейшем «сумма одинаковых слагаемых заменяется произведением (6+6+6+6=24; 6*4=24). Выполняя эту операцию дети знакомятся с действием умножения, с записью умножения, усваивают роль множителей» [2].

Рассмотрим, как это предлагает сделать М.А. Бантова. «Учитель предлагает решить задачу: «Девочка наклеила марки на 4 страницы альбома, по 5 марок на каждую. Сколько всего марок наклеила девочка?» Выполнив иллюстрации, учащиеся записывают решение: 5+5+5+5 = 20.

Что можно сказать о слагаемых этой суммы? (Одинаковые.) Сколько их? (4.) Здесь по 5 взяли 4 раза. Если слагаемые одинаковые, то сумму можно записать иначе: 5*4 = 20. Читают эту запись так: по 5 взять 4 раза, получится

(Дети повторяют.) Можно прочитать по-другому: 5 умножить на 4, получится 20. (Повторяют.) Здесь выполнили действие умножения. Сложение одинаковых слагаемых называют умножением. (Повторяют.) Умножение обозначают знаком - точкой Что показывает в этой записи число 5? (Число 5 берется слагаемым.) Что показывает число 4? (Сколько раз взяли слагаемым число 5.)» [2].

Для усвоения необходимо выполнить достаточное количество подобных упражнений на замену суммы произведением, при этом дети каждый раз должны устанавливать, что показывает каждое число в новой записи.

Важно, чтобы дети понимали, когда замена суммы произведением возможна, а когда - нет, говорит М.А. Бантова. Для этого надо прорешать примеры с одинаковыми и разными слагаемыми. Возникающие вопросы при этом: «Можно ли пример 2+5+8 заменить примером на умножение?», «Всегда пример на сложение можно заменить примером на умножение?», «В каких случаях это сделать нельзя, а в каких можно?». Необходимо закрепить знания этого приема, так как не нем основывается составление таблиц умножения, для чего научить детей вести рассуждение при замене произведения суммой по определенному плану: назвать первый множитель и сказать, какое число берется слагаемым; назвать второй множитель и сказать, сколько надо взять таких слагаемых; вычислить сумму [2].

Комментарии детей при вычислении произведения 7*3: первое число (первый множитель) 7, значит, берем слагаемым число 7; второе число (второй множитель) 3, следовательно слагаемых будет 3; вычисляем 7+7+7=21 [2].

При вычислении некоторых сумм одинаковых слагаемых желательно познакомить детей с приемом группировки слагаемых и использовать в дальнейшем. Сумма 2+2+2+2+2+2+2, надо акцентировать внимание детей, что сумма пяти слагаемых равна 10, а к 10 легко прибавить сумму остальных слагаемых: 10+4= 14. Этот прием используется в дальнейшем при составлении таблиц умножения [2]. Надо добиться, чтобы дети заменяли произведения суммами:

*7=2+2+2+2+2+2+2=14

Приему нахождения произведения с опорой на другое произведение, в котором один из множителей на единицу больше или меньше, уделяется много времени, так как на нем основывается составление таблиц умножения.

Составляется таблица умножения двух, которую дети учат [2]. При ее составлении результат находят сложением, используя при этом наглядные пособия или обводят в тетради 9 рядов клеток, по 2 клетки в ряду. Таблица на доске и в тетрадях записывается так [2]:

*2 = 4 2+2 = 4

*3 = 6 2+2+2 = 6

*4 = 8 2+2+2+2 = 8

*5 = 10 2+2+2+2+2 = 10

*6 = 12 2+2+2+2+2+2 = 12

*7 = 14 2+2+2+2+2+2+2 = 14

*8 = 16 2+2+2+2+2+2+2+2 = 16

*9 = 18 2+2+2+2+2+2+2+2+2 = 18

Составляя результаты в таблице «дети используют прием нахождения произведения с опорой на другое произведение: «Как решить пример 2*2? (2+2

= 4.) Как теперь можно решить пример 2*3? (Здесь на одну двойку больше, надо к 4 прибавить 2, получится 6.) Так же вычисляются другие произведения. Дойдя до случая 2*5, надо обратить внимание детей, что здесь результат равен 10, а к 10 легко прибавлять другие числа. Далее, выделив пять слагаемых, дети находят результат, прибавляя к 10 сумму остальных слагаемых.

Таблицу умножения двух на данном этапе читают так: 2 умножить на 2,

получится 4, или по 2 взять 2 раза, получится 4» [2].

В процессе решения простых задач на деление по содержанию и на равные части, раскрывается конкретный смысл деления. Первый вычислительный прием деления основывается на знании конкретного смысла действия деления: ученики находят частное, выполняя действия с предметами. Например, чтобы найти частное 12:3, берут 12 кружков, раскладывают их по 3 и считают, сколько раз получилось по 3 кружка, или раскладывают 12 кружков на 3 равные части и считают, сколько кружков получилось в каждой части [2]. Для закрепления решаются простые задачи на деление по содержанию и на равные части и решаются примеры на деление с помощью действий с конкретными предметами (палочки), в процессе решения ученики узнают термины умножения и деления [2].

Изучается переместительное свойство умножения, которое дает возможность сократить число запоминаемых наизусть случаев. Например, вместо двух случаев (8*2 и 2*8) ученики запоминают один [2].

Важно понимание связи между компонентами и результатами действий умножения и деления, на их основе вводятся приемы для табличных случаев деления. Например, 3*6 = 18 ученики составляют два примера на деление 18:3 = 6 и 18:6 = 3 и делают вывод: если произведение двух чисел разделить на один из множителей, то получим другой множитель. Табличные случаи деления с числом 2 [2]:

*2 = 4 4:2 = 2

*3 = 6 6:2 = 3

*4 = 8 8:2 = 4

*5 = 10 10:2 = 5

*6 = 12 12:2 = 6

*7 = 14 14:2 = 7

*8 = 16 16:2 = 8

*9 = 18 18:2 = 9

Для закреплении знания связей между компонентами и результатами действий умножения и деления, ученики знакомятся с приемом подбора частного. Например, надо 15 разделить на 5, для этого надо подобрать такое число (частное), при умножении которого на делитель 5 получается делимое 15; это число 3, так как 5 * 3 = 18 . Этот прием широко используется при делении чисел в пределах 100 [2].

Вводятся приемы умножения и деления с числами 1 и 10. Сначала рассматривается прием умножения единицы на числа не равные 1. Учащиеся решают примеры, находя результат сложением и делают выводы: «при умножении единицы на любое число получается то число, на которое умножали» [2].

«Деление на число, равное делимому (3:3 = 1) , раскрывается на основе конкретного смысла деления: если, например, 3 карандаша разложить в 3 коробки поровну, то в каждой коробке окажется по одному карандашу. Рассуждая таким образом, ученики… замечают, что при делении на число, равное делимому, в частном получается 1» [2]. На основе связи между компонента­ ми и результатом действия умножения, вводится деление: зная, что 1*4 = 4, находим 4:1 = 4. Ученики делают вывод: «при делении любого числа на единицу в частном получается это же число» [2].

«При умножении 10 на однозначные числа ученики пользуются приемом: чтобы умножить 10 на 2, можно 1 десяток умножить на 2, получится 2 десятка, или 20. Умножая на 10, дети используют переместительное свойство умножения: чтобы 2 умножить на 10, можно 10 умножить на 2, получится 2 десятка, или 20. При делении используется знание связи между компонентами и результатом действия деления: чтобы 20 разделить на 10, надо подобрать такое число, при умножении которого на 10 получится 20; это 2; значит, 20:10 = 2.

Так же находим, что 20:2=10» [2].

Табличное умножение и деление изучается параллельно, из каждого случая умножения получают соответствующие случаи деления; если 4*3=12, то 12:4 = 3 и 12:3 = 4. Для такого вывода служит знание детьми связи между компонентами и результатом действия умножения [2].

Табличные случаи умножения и деления с каждым числом (сначала 3,

затем 4, 5 и т.д.) составляются также как и с числом 2. После того, как

составлена таблица умножения по постоянному первому множителю, ученики сразу пишут еще один пример на умножение (переставляя множители) и два примера на деление [2].

Краткая таблица умножения для запоминания наизусть.

*2 = 4

*2 = 6 3*3 = 9

*2 = 8 4*3 = 12 4*4 = 16

*2 = 10 5*3 = 15 5*4 = 20 5*5 = 25

*2 = 12 6*3 = 18 6*4 = 24 6*5 = 30

*2 = 14 7*3 = 21 7*4 = 28 7*5 = 35

*2 = 16 8*3 = 24 8*4 = 32 8*5 = 40

*2 = 18 9*3 = 27 9*4 = 36 9*5 = 45

*6 = 36

*6 = 42 7*7 = 49

*6 = 48 8*7 = 56 8*8 = 64

*6 = 54 9*7 = 63 9*8 = 72 9*9 = 81

Заучивая наизусть таблицу умножения, важно ученикам быстро находить соответствующий результат деления.

Далее рассматриваются случаи умножения и деления с нулем.

Внетабличное умножение и деление. Порядок изучения внетабличного умножения и деления начинается с рассматривания свойств умножения числа на сумму и суммы на число. Потом рассматривается умножение и деление чисел, оканчивающихся нулем, умножение двузначного числа на однозначное и умножение однозначного числа на двузначное, свойство деления суммы на число, на основе которого раскрывается прием деления двузначного числа на однозначное и деление двузначного числа на двузначное. При изучении этой темы обязательна проверка умножения и деления [2].