В начальном курсе математики значительное внимание уделяется вычислительной деятельности школьников, отдавая предпочтение в большей степени устным вычислениям, так как они развивают у ребят память, сообразительность и находчивость, внимание, самостоятельность, математическую зоркость, смекалку.
И.И. Аргинская, М.А. Бантова, В.А. Белошистая, Г.В. Бельтюкова, Н.Б. Истомина, М.И. Моро и другие методисты и учителя ставили перед собой задачу формирования у младших школьников вычислительных умений и навыков.
Вычисления в начальной школе разделяются на устные и письменные. Чтобы охарактеризовать устные и письменные вычисления можно воспользоваться понятиями «умение» и «навык» [18] - так пишет Н.Б. Истомина в своей методике обучения математике в начальных классах.
Что же такое навык? Понятие навык имеет множество определений, самое распространённое: «навык - действие, сформированное путем повторения, характеризующееся высокой степенью освоения и отсутствием поэлементной сознательной регуляции и контроля» [37]. И.Ф. Харламов И.Ф
пишет, что навык - составной элемент умения [49]. «Вычислительный навык - это один из видов учебных навыков, формирующихся в процессе обучения» [32].
Н.Б. Истомина охарактеризовывает «вычислительное умение» как
«развернутое осуществление действия, в котором каждая операция осознаётся и контролируется» [18, с.42]. «В отличие от умения, навыки характеризуются свернутым, автоматизированным выполнением действия, с пропуском вспомогательных операций, когда контроль переносится на конечный результат» [18, с.42].
«Вычислительный навык - это высокая степень овладения вычислительными приемами» по М.А. Бантовой. «Приобрести вычислительные навыки - значит, для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро. Вычислительные навыки рассматриваются как один из видов учебных навыков, функционирующих и формирующихся в процессе обучения. Они входят в структуру учебно-познавательной деятельности и существуют в учебных действиях, которые выполняются посредством определенной системы операций» [3].
В методике математики задачи по формированию вычислительных навыков у школьников ставили перед собой многие известные методисты, учителя. Известны исследования А.А. Столяра, С.С. Минаевой, Н.Л. Стефановой, Я.Ф. Чекмарева, М.А. Бантовой, М.И. Моро, Н.Б. Истоминой, А.В. Белошистой, С.Е. Царевой, Т.И. Фаддейчевой и др. [43], [2], [34], [30],
[31], [51], [18], [35], [4], [50], [46].
В исследованиях М.А. Бантовой описаны в основном разработки вычислительных навыков [3], у М.И. Моро - рационализация вычислительных приемов [35], у Т.И. Фаддейчевой - индивидуализация процесса формирования вычислительных навыков [46]. Т.И. Фаддейчевой были разработаны тетради с печатной основой по математике «Учись считать устно» №1 и №2, в которых были разработаны и помещены развивающие упражнения для устного счета, которые формируют вычислительные умения и навыки, развивают логическое мышление. [46].
«Полноценный вычислительный навык характеризуется следующими качествами: правильностью, осознанностью, рациональностью, обобщенностью, автоматизмом и прочностью», как пишет М.А. Бантова [3].
Правильность - ребенок должен выбрать правильную операцию и осуществить ее безошибочно [3] [48].
Осознанность - ребенок может объяснить свое решение в любом месте операции. Когда вычислительный навык сформирован, то объяснение кратко.
Рациональность - ребенок выбирает из возможных вариантов операций, выполнение той операции, которая легче и быстрее других. Это качество навыка применяется только в том случае, когда задача имеет несколько вариантов решения [3] [48].
Обобщенность - ребенок переносит прием вычисления как шаблон на новые случаи [3] [48].
Автоматизм (свернутость) - ребенок может быстро свернуть операцию и выполнить ее. Но при этом он может пояснить выбор системы операций [3] [48].
Прочность - сформированные вычислительные навыки сохраняются очень долгое время [3] [48].
О том насколько и как сформированы любые умственные действия можно говорить только тогда, когда ребенок сам, без вмешательства со стороны взрослого, выполняет последовательно все операции и «приходит» к верному решению.
«Значимость формирования устных вычислительных умений и навыков на сегодняшний день является высокой, так как формирование и развитие собственной вычислительной деятельности ребенка благотворно действует на развитие внутреннего плана действия, гибкости и рациональности мышления, а также способствует формированию самоконтроля» по мнению А.В. Белошистой [4].
Формирование вычислительных умений и навыков - это сложный процесс, который должен основываться на понимании младшими школьниками чисел и арифметических действий с этими числами. И это «одна из основных задач начального курса математики» - отмечает Н.Б. Истомина [18, с.42].
«Вычислительные умения - это развернутое осуществление действия, в
котором каждая операция осознается и контролируется» [18, с.42]. Усвоение навыков устных вычислений имеет большое образовательное, воспитательное и практическое значение [2, с.163]:
«образовательное значение: устные вычисления помогают усвоить многие вопросы теории арифметических действий и лучше понять письменные приемы» [2, с.163-164];
«воспитательное значение: устные вычисления способствуют развитию мышления, памяти, внимания, речи, математической зоркости, наблюдательности и сообразительности» [2, с.163-164];
«практическое значение: быстрота и правильность вычислений необходимы в жизни, особенно когда письменно выполнить действия не представляется возможным» [2, с. 163-164].
М.А. Бантова определила «вычислительный навык как высокую степень овладения вычислительными приемами» [3]. Н.Б Истомина пишет о том, что «вычислительное умение предполагает усвоение вычислительного приема» [26]. А что же такое вычислительный прием? Вычислительный приём - «это система операций, последовательное выполнение которых приводит к результату действия» [3]. «Любой вычислительный прием можно представить в виде последовательности операций, выполнение каждой из которых связано с определенным математическим понятием или свойством» [18, с.42].
«В методике математики различают устные и письменные приемы вычисления. К устным приемам относят все приемы для случаев вычислений в пределах 100, а также сводящихся к ним приемы вычислений для случаев за пределами 100. К письменным приемам относят приемы для всех других случаев вычислений над числами большими 100» [2, с.163].
«Последовательность рассмотрения вычислительных приемов и формирование вычислительных умений и навыков вычислений определяется целями обучения и логикой построения курса» [18].
«Навыки характеризуются свернутым, в значительной мере автоматизированным выполнением действия, с пропуском промежуточных операций, когда контроль переносится на конечный результат» [18, с.42]. Весь курс изучения математики в начальной школе построен для того, чтобы у учеников сформировались правильные, осознанные, рациональные,
обобщенные, автоматизированные и прочные вычислительные навыки. Любой вычислительный прием изучается только после усвоения теоритических основ этого вычислительного приема, которыми служат определения и свойства арифметических действий.
Группы приемов с их общей теоретической основой, для использования общих подходов в методике формирования соответствующих навыков [17] [48]:
Теоретическая основа приемов - конкретный смысл арифметических действий: сложение и вычитание в пределах 10 для случаев вида а ± 2, 3, 4, 0; табличные результаты умножения и деления [17] [48].
Теоретическая основа приемов - свойства арифметических действий. Относится большинство вычислительных приемов: 2 + 8; 54 + - 20; 74 + 18; 180 : 20 и т.д. Изучаются свойства, затем - приемы вычислений [17] [48].
Теоретическая основа приемов - связь между компонентами и результатами арифметических действий, которые рассматриваются вначале, а затем - вычислительный прием [[17] [48].
Теоретическая основа приемов - вопросы нумерации чисел. Случаи вида: а + 1, 10 + 6; 16 - 10; 16 - 6; 1200 : 100 [17] [48].
Теоретическая основа приемов - правила. Приемы умножения на 1 и 0 [17] [48].
«Особенность изучения материала при изучении математики в начальных классах состоит в том, что подготовка к изучению нового материала, ознакомление с новым материалом и закрепление соответствующих знаний, умений или навыков осуществляется через выполнение учащимися системы упражнений, т.е. определенных математических заданий. Упражнения могут быть различными по своей математической структуре, в зависимости от содержания материала: нахождение значений выражений, сравнение выражений, решение уравнений, решение задач и др. Упражнения могут предлагаться по-разному: могут быть записаны на доске, взяты из учебника или продиктованы учителем; могут быть в даны в обычной форме или занимательной, в форме дидактической игры и т.п.» [2].
Подготовка к изучению (введению) нового приема. Овладение учеником основными операциями, составляющими новый прием.
«Система упражнений на этой ступени должна способствовать созданию или расширению опыта детей, который ляжет в основу ознакомления с новым материалом, воспроизведению материала, на который придется опираться при раскрытии нового. Есть еще одна важная сторона… умение выполнять анализ, синтез, сравнивать объекты, выделять существенное общее (выполнять обобщение), отвлекаясь от несущественного» [2].
Ознакомление с вычислительным приемом (новым материалом). Какие операции необходимо выполнить, в каком порядке и почему так, а не иначе можно найти результат арифметического действия.
«Упражнения надо подбирать так, чтобы анализируя их, учащиеся смогли бы выделить все существенные стороны формируемого знания. С этой целью надо прежде всего подбирать упражнения так, чтобы сохранялись неизменными существенные стороны формируемого знания, а несущественные изменялись. Кроме того, должно быть достаточное число упражнений, т.е. столько, сколько потребуется для того, чтобы каждый ученик на основе их анализа сам пришел к обобщению. Обобщение выражается в речи: ученики формулируют соответствующий вывод. Важно, чтобы ученики сами сформулировали соответствующий вывод» [2].
«После знакомства с вычислительными приемами на ряде уроков приводятся упражнения в вычислениях, для того чтобы знания о приемах вычисления превратились в умения, а затем стали прочными навыками» [2]. Обязательное сопровождение каждой операции соответствующими словесными пояснениями вслух, а потом про себя. Сначала под руководством учителя, а затем самостоятельно. В словесных рассуждениях они поясняют, какие необходимы операции, порядок этих операций и называют результат каждой из них. Пояснения к выбору и выполнению операций приводят к пониманию сущности каждого этапа и всего приема в целом, что является основой осознанных вычислительных навыков в дальнейшем.
«Самостоятельная работа как метод обучения дает возможность ученику сознательно и прочно усвоить материал, проявить умственную активность» [2]. Степень самостоятельности учащихся должна расти при переходе от приема к приему одной группы, что приведет при следующем выполнении к самостоятельному нахождению новых вычислительных приемов детьми.
Закрепление знания приема и формирование вычислительного навыка. «Навык вырабатывается в результате тренировки, поэтому на каждом уроке должны включаться примеры как для устной, так и для письменной работы» [2]. «Упражнения должны постепенно усложняться, обогащать формируемое знание, раскрывая новые его стороны, способствовать установлению связей между новыми и уже имеющимися знаниями» [2]. На этой ступени учителю важно предусмотреть ряд стадий становления у детей вычислительных навыков:
на первой стадии закрепление знания приема: учащиеся самостоятельно выполняют все операции, рассуждая вслух и производя развернутую запись [48];
на второй стадии частичное свертывание операций: учащиеся про себя выделяют, обосновывают выбор, вслух проговаривают промежуточные вычисления. Развернутая запись не делается. Сначала комментарий под руководством учителя, а затем самостоятельно. Проговаривание помогает выделить основные операции, а выполнение про себя вспомогательных действий способствует их свертыванию [48];
на третьей стадии полное свертывание операции: учащиеся про себя выделяют и выполняют все действия, а называют или записывают только окончательный результат [48];
на четвертой стадии предельное свертывание операций: учащиеся производят все действия в свернутом виде, предельно быстро, т. е. овладевают вычислительными навыками, достигается в результате выполнения достаточного числа тренировочных упражнений [48].
Важную роль играет достаточное число разнообразных упражнений на применение вычислительных приемов. «Через систему упражнений учащиеся усваивают некоторые общие умения: умения вычислять, умения решать задачи и др.» [2].
Эти стадии не имеют четких границ: одна постепенно переходит в другую. «Надо иметь ввиду, что свертывание выполнения операций не у всех
учащихся происходит одновременно, поэтому важно время от времени возвращаться к полному объяснению и развернутой записи. Продолжительность каждой стадии определяется сложностью приема, подготовленностью учащихся и поставленными целями. Правильное выделение стадий позволит учителю управлять процессом усвоения учащимися вычислительного приёма, постепенного свёртывания выполнения операций, образования вычислительных навыков» [11]. В ходе формирования вычислительных навыков, «работа над каждым вычислительным приемом по методике М.А. Бантовой (традиционный подход) строится примерно по одному плану: подготовка к ознакомлению с приемом, введение приема и выполнение упражнений, направленных на формирование умения применять прием в разных конкретных условиях» [2]. При таком подходе основные усилия учеников сосредоточены на восприятии готовых знаний, их закреплении и воспроизведении. Такой подход представлен в УМК «Школа России» [32].
Существует другой подход (развивающий) - учащиеся самостоятельно добывают знания («открытие»), преобразуя ранее полученные при необходимости. [23]. Такой подход к формированию вычислительных умений представлен в УМК «Гармония» [32].
Беглость и правильность вычислений можно проверить с помощью арифметического диктанта. Правильность и осознанность выбора вычислительных операций проверяется письменной самостоятельной работой, в которой записываются подробные комментарии к действиям рассуждения или устной контрольной проверкой, когда учащиеся находят результат выражения и при этом рассуждают вслух. Рациональность вычислительных навыков проверяется также самостоятельной работой: учащимся необходимо найти значение выражения всеми возможными способами и отметить из них самый удобный. Для проверки прочности навыка проводится в конце учебного года самостоятельная работа, в которую включаются все вычислительные приемы, определенные программой. Подобный контроль необходимо провести в начале следующего учебного года и сравнить результаты, что и позволит судить о прочности усвоения вычислительных приемов.
«Овладеть осознанными вычислительными навыками нельзя без использования соответствующих теоретических положений, лежащих в основе вычислительных приемов. При этом, возможность выбора теоретической основы для одного случая вычисления позволяет формировать рациональные вычислительные навыки. Цель применения приемов рациональных вычислений