Дипломная (вкр): Особенности формирования устных приемов вычислений у младших школьников

упрощение числовых выражений, приведение их к наиболее простой для вычисления форме» [4]. Поиск рациональных приемов вычислений должен проводиться постоянно, систематически и увязываться с изучаемым материалом, так как для нахождения результата арифметического действия можно пользоваться в качестве теоретической основы различными теоретическими знаниями, которые и приводят к разным способам вычислений.

ГЛАВА 2. Методика формирования устных вычислительных навыков у младших школьников

.1 Методика организации занятий по устному счёту

В методическом плане вопрос о формировании устных вычислительных навыков является сомнительным, ведь внедрение калькуляторов в смартфоны и постоянное их использование для облегчения счета ставит под сомнение, насколько необходимо отрабатывать устные вычисления. Формирование устных вычислительных навыков является традицией русской методической школы. Этим объясняется и то, что значительная часть учебников по математике отводится для формирования устных вычислительных навыков.

Приемы вычисления бывают устные и письменные. К устным вычислениям «относят все приемы для случаев вычислений в пределах 100, а также сводящиеся к ним приемы вычислений для случаев за пределами 100 (например, прием для случая 900*7 будет устным, так как он сводится к приему для случая 9*7)» [2].

В начальном курсе математики дети знакомятся с четырьмя арифметическими действиями: «в первом классе они знакомятся со сложением и вычитанием, во втором - с умножением и делением. Сложение и вычитание называют действиями первой ступени, а умножение и деление называют действиями второй ступени» [4].

Сложение и вычитание в пределах 100.

При обучении устным вычислениям в начальной школе, ученики изучают много вычислительных приемов, 12 из которых относятся к вычислениям в пределах 100:

сложение и вычитание целыми десятками 60+20, 50-30 [4];

прибавление единиц или десятков к числу без перехода через десяток 34+20, 34+2 [4];

прибавление единиц к числу с получением в результате целого десятка, что приводит к увеличению разрядных единиц на одну в разряде десятков 26+4 [4];

вычитание единиц или десятков из числа без перехода через десяток 48-30, 48-3 [4];

вычитание единиц из целых десятков с заемом одного десятка 30-6 [4];

прибавление единиц к числу с переходом через десяток 46+5 [4];

вычитание единиц из числа с переходом через десяток 42-5 [4];

сложение двузначных чисел без перехода через десяток 40+16, 45+23 [4];

вычитание двузначного числа из целых десятков с заемом десятков 40-16 [4];

вычитание двузначных чисел без перехода через десяток 45-12 [4];

сложение двузначных чисел с переходом через десяток 37+48 [4];

сложение двузначных чисел с получением в результате целых десятков

+53 [4].

«Методически все вычисление в пределах 100 являются устными» [4].

Рассмотрим их подробнее:

Вычислительные приемы для чисел первого десятка. Школьникам необходимо выучить наизусть результаты действий сложения и вычитания в пределах 10 (Таблица 2. Табличное сложение и вычитание) [4].

Таблица 2. Таблица сложения и вычитания.

Еще им надо научиться решать простые примеры на сложение и вычитание различных видов (нахождение суммы, остатка, увеличение и уменьшение числа на несколько единиц, разностное сравнение, нахождение неизвестного слагаемого [2]. Изучение сложения и вычитания в пределах 10:

«Раскрытие конкретного смысла сложения и вычитания, запись и чтение примеров, случаи прибавить и вычесть 1, где результаты находятся на основе знания натуральной последовательности чисел» [5].

«Присчитывание и отсчитывание. В 1 классе изначально ученики осваивают вычислительный прием вида а ±1» [31]. Принцип образования чисел в натуральном ряду является основанием для этого, т.е. каждое следующее число на единицу больше предыдущего. Усвоение этого принципа - главная задача изучения нумерации первого десятка. Нахождение значений выражений вида 5±1; 8±1; 6±1 путем называния следующего или предыдущего числа является следствием этого принципа. Важно понимать, что добавление 1 ведет к получению следующего по счету числа, а убавление 1 -предыдущего. Для решения такого типа задач, необходимо заучивание наизусть названия чисел в прямом и обратном порядке, что приведет к легкому освоению приемов присчитывания и отсчитывания по 1 и выполнению вычислительной деятельности:

+1 17+1 177+1 10 277+1

-1 17-1 177-1 10 277-1

То есть прибавляя к числу 1, получаем следующее по счету, а вычитая из числа 1, получаем предыдущее по счету. Этот же прием является действующим и в трудных случаях:

+1 19+1 199+1 99 999+1

-1 20-1 200-1 100 000-1

Проговаривание: следующим за числом 99 999 является число 100 000; предшествующим числом для числа 200 является 199 [31]. М.А Бантова отмечает, что на «специально отведенном уроке … под руководством учителя дети составляют таблицы «прибавить 1» и «вычесть 1» и затем заучивают их наизусть» [2].

«Изучение приемов присчитывания и отсчитывания по одному и группами для случаев прибавить и вычесть 2, 3, 4» [2]. «Прибавление и вычитание по частям. Следующую группу вычислительных приемов в пределах первого десятка являются случаи вида а±2, а±3, а±4, результаты которых могут быть найдены с помощью последовательного присчитывания или отсчитывания» [4]. Эти случаи «прибавить 2» и «вычесть 2» изучаются параллельно в сопоставлении друг с другом, чтобы показать как сходство вычислительных приемов так и противоположный характер действий сложения и вычитания [2]. За несколько уроков до изучения темы надо предложить детям порешать примеры в два действия вида: 6+1+1, 9-1-1, чтобы закрепить умение прибавлять и вычитать единицу и заметить: если прибавить (вычесть) 1 и еще 1, то всего прибавим (вычтем) 2. Перед решением таких примеров проиллюстрировать действиями с предметами. Затем рассматривают приемы прибавления и вычитания числа 2. Далее ученики рисуют в тетрадях, например, 7 яблок, затем 2 яблока раскрашивают, записывают пример 7-2 и, опираясь на свои практические наблюдения объясняют, как вычесть 2 (из 7 вычесть 1 будет 6; из 6 вычесть 1 получится 5). Аналогично раскрываются приемы вычислений для случаев а±3 и а±4. Числа 3 и 4 представляют 3 как 1 и 2, а число 4 как 2 и 2. Приемы вычислений также иллюстрируют действиями с предметами и на первых порах несколько примеров решают с подробной записью приема [2]:

+3=7

+2=6

+1=7

Для приемов а±4 лучше начать записывать по-другому: 5+4=5+2+2=9.

Итог над каждым из приемов а±2, а±3, а±4 - составление и заучивание наизусть таблиц. Часть таблицы рассматривается коллективно под руководством учителя, часть - самостоятельно. Одновременно с таблицей сложения и вычитания полезно составить таблицу состава чисел из слагаемых, например:

2+2=4 4=2+2 4-2=2

+2=5 5=3+2 5-2=3

… … … 8+2=10 10=8+2 10-2=8

Здесь школьники встречают термины: сложение, вычитание, слагаемое, сумма, уменьшаемое, вычитаемое, разность [2].

«Изучение приема перестановки слагаемых для случаев прибавить 5, 6, 7, 8, 9» [5]. «При сложении в пределах 10 в этих примерах второе слагаемое больше первого (1+9, 2+7, 3+5, 4+6 и т.п.). Если при вычислениях применить перестановку слагаемых, то все эти случаи сведутся к ранее изученным видам: а+1, а+2, а+3, а+4» [2]. Переместительное свойство сложения. Ученики понимают, что легче к большему числу прибавить меньшее, чем наоборот, а переставлять числа при сложении можно - сумма изменяется [2].

«Изучение приема вычитания на основе знания связи между суммой и слагаемыми для случаев вычесть 5, 6, 7, 8, 9» [2]. «Чтобы решить, скажем, пример 10-8, надо заменить число 10 суммой чисел 8 и 2 и вычесть из нее одно слагаемое - 8, получим другое слагаемое - 2» [2]. Важно знать состав чисел из слагаемых, как связаны между собой сумма и слагаемые. Дети должны сами сделать вывод в процессе решения упражнений: если из суммы вычесть первое слагаемое, получится второе; если из суммы вычесть второе слагаемое, получится первое.

Также продолжается формирование понятия о числе нуль. Вначале изучения действий включают такие случаи вычитания, когда вычитаемое равно уменьшаемому (2-2, 3-3 и т.д.) … в конце включаются случаи сложения и вычитания с нулем: 6+0, 6-0» [2].

Сотня. Выделяется « в особый концентр» так как «здесь учащиеся знакомятся с новой счетной единицей - десятком» с «понятием разряда» [2]. При изучении четырех арифметических действий в пределах 100, «учащиеся овладевают основными приемами устных вычислений и одновременно усваивают лежащие в их основе свойства действий, связи между результатами и компонентами…это важная ступень в формировании у детей знаний об арифметических действиях и вычислительных навыков» [2]. Также немаловажно выучить наизусть таблицу сложения и таблицу умножения, это приведет к быстрому выполнению примеров обратных действий - вычитания и деления. Понимание таблиц сложения и умножения - это фундамент для в дальнейших устных вычислений.

Результат изучения сложения и вычитания чисел в пределах 100 -осознанное выполнение сложения и вычитания любых чисел в пределах 100,

усвоение табличного сложения и вычитания с переходом через десяток [2].

Сначала рассматривают вычислительные приемы для чисел второго десятка:

Разрядные случаи сложения и вычитания во втором десятке

12 значит, 12-10 = 2 10+2 = 12

2 12-2 = 10 2+10 = 12

Комплексные примеры на применение знания разрядного состава и вычислительных приемов первого десятка:

Вычисли: 2+8+3 = … 10

Способ вычислений: действия выполняются слева направо. 2+8=8+2=10

по свойству перестановки слагаемых. 10+3=13.

Вычисли: 17-7-1=

Способ вычислений: действия выполняются последовательно слева направо. Число 17 состоит из 10 и7, значит 17-7=10. Вычитая из 10 один, получаем число предыдущее - это 9» [4]

Переход через десяток. «Наиболее сложным для большинства детей является прием сложения и вычитания с переходом через десяток. Это случаи вида: 8+5, 13-7.

Сложение с переходом через десяток. Схема приема: 8+5 = 10+3 = 13

3

Алгоритм приема:

второе слагаемое раскладывается на составные части так, чтобы одна из частей в сумме с первым слагаемым составила число 10;

первое слагаемое складывается с частью второго слагаемого, образуя промежуточное число 10;

к промежуточному числу 10 прибавляется оставшаяся часть первого слагаемого (во всех случаях здесь имеет место разрядное суммирование) для получения окончательного ответа [4].

важно: 1) выучить последовательность действий; 2) быстро подбирать подходящий случай разложения любого однозначного числа на составные части (состав однозначных чисел); 3) дополнять любое однозначное число до 10 (состав числа 10); 4) выполнять разрядное сложение в пределах второго десятка [4].

Большинство детей при изучении данного вычислительного приема испытывают проблемы. Поэтому «в качестве внешней опоры можно использовать линейку… ребенок отмечает первое слагаемое, а затем отсчитывает вправо от него нужное количество «шагов». Результат последнего «шага» совпадает со значением суммы» [4]. Бывают дети- кинестетики, им А.В. Белошистая рекомендует продолжать использовать пальцевый счет. «В этом случае они присчитывают к первому слагаемому единицы , пока хватает пальцев (до 10), а затем, мысленно запоминая полученный десяток, продолжают присчитывать оставшуюся часть второго слагаемого уже к десятку… фактически этот способ моделирует присчитывание по одному, как и использование линейки» [4]. Большой недостаток при таком вычислении: прибавляя большое число, например 7, происходит торможение работы.

Центральная задача методики - довести умение выполнения вычисления во втором десятке до автоматизма, т.е. выучить результаты всех случаев сложения и вычитания наизусть»[4]. Таких случаев - 20. Во всех этих случаях второе слагаемое меньше, чем первое (в остальных случаях применяется перестановка слагаемых).

+2 = 11 9+3 = 12 8+3 = 11

+4 = 11 8+4 = 12 9+4 = 13

+5 = 14 8+5 = 13 7+5 = 12 6+5 = 11

+6 = 15 8+6 = 14 7+6 = 13 6+6 = 12

+7 = 16 8+7 = 15 7+7 = 14

+8 = 16 9+8 = 17 9+9 = 18

Для быстрого запоминания результатов этих вычислений, используется прием опоры на сумму одинаковых слагаемых, которая легче запоминается. Например, 5+5 = 10. Берем любую сумму, в которой одно из слагаемых - число 5 и свойство суммы: при увеличении любого слагаемого на несколько единиц сумма увеличивается на столько же единиц, получаем значение соответствующего выражения:

7+5 = 5+5+2 = 10+2 = 12

     5 2

Дети легко запоминают суммы:

+6 = 12 7+7 = 14 8+8 = 16 9+9 = 18

Используя их как «базовые», получаем результат, присчитывая соответствующее количество единиц к сумме или отсчитывая: 8+9 = 8+8+1 = 16+1 = 17 [4].

Вычитание с переходом через десяток. Схема и алгоритм приема: 14-9 = 5

5

вычитаемое раскладывается на составные части так, чтобы одна из них при вычитании из уменьшаемого составила число 10;