Дипломная (вкр): Особенности формирования устных приемов вычислений у младших школьников

Методика изучения свойств умножения и деления суммы на число и умножения числа на сумму. Для этого необходимо конкретный смысл действия умножения и правило о порядке выполнения арифметических действий в выражениях без скобок. Учащиеся читают выражение 4*(3+4) и вычисляют его значение уже известным способом: 4*(3+4) =4*7=28

Возможна путаница изученного свойства умножения числа на сумму и суммы на число с ранее изученным свойствами прибавления суммы к числу и числа к сумме, например: (10+5)*3= 10*3+5. То есть ребенок может умножить на число только первое слагаемое, а затем прибавить второе, так как прибавляют число к сумме. Для предупреждения таких ошибок необходимо решать специальные упражнения, примеры вида: (6+5)*3 и (6+5)+3 [2].

Существенное отличие: прибавляя сумму к числу, прибавляем к нему одно из слагаемых и к результату прибавляем другое слагаемое, а при умножении числа на сумму умножаем число на каждое из слагаемых и результаты складываем [2].

Методика изучения свойства умножение суммы на число. Первоначально рассматриваются приемы для случаев умножения и деления чисел, оканчивающихся нулем. Их решение сводится к умножению и делению однозначных чисел, выражающих число десятков, например:

*3 80:8

десятка *3 = 9 десятков

*3 = 90

десятков:8 = 1 десяток

:8 = 10

При умножении однозначных чисел на двузначные разрядные числа используется прием перестановки множителей (3*20=20*3). Деление двузначных чисел, оканчивающихся нулем, выполняется способом подбора частного на основе связи между компонентами и результатом деления. Например, чтобы 80 разделить на 20, надо подобрать такое число, при умножении которого на 20 получится 80. Сначала пробуем: 2 - мало, 3 -

мало, 4 - подходит, так как 20*4 = 80. Значит, 80:20 = 4.

После изучения свойства умножения числа на сумму и суммы на число вводятся приемы, основанные на этих свойствах. Прием умножения двузначного числа на однозначное: дети могут самостоятельно отыскать способ решения новых примеров: 12*4, 24*3 или самостоятельно объяснить ход решения нового примера по развернутой записи его решения: 12*4= (10+2)*4=10*4+2*4=48

Они должны сами выделить три этапа, из которых складывается решение примера: заменить первый множитель суммой разрядных слагаемых; прочитать полученное выражение (10+2)*4 и вычислить произведение удобным способом: умножить на число каждое слагаемое в отдельности и полученные произведения сложить.

Важно своевременно сократить объяснение: 12*4, десять умножить на 4, получится 40; 2 умножить на 4, получится 8; к 40 прибавить 8, будет 48 [2].

При умножении однозначного числа на двузначное можно использовать переместительное свойство умножения: 6*11=11*6 = 66

При делении двузначного числа на однозначное используется свойство деления суммы на число. Это свойство усваивается сложнее, «при делении двузначного числа на однозначное встречаются разные группы примеров:

:2=(20+6):2=20:2+6:2=10+3=13 делимое заменяем суммой разрядных слагаемых

) 70:2=(60+10):2= 60:2+10:2 = 30+5 = 35 делимое заменяем суммой удобных слагаемых, разрядные двузначные числа

) 84:7= (70+14):6=70:7+14:7=10+2=12 делимое заменяем суммой двух чисел, одно - двузначное разрядное число, а другое - двузначное неразрядное

Эти слагаемые удобные в том смысле, что при делении их на данный делитель получаются разрядные слагаемые частного. Трудность заключается в нахождении удобных слагаемых [2]. Нужно предлагать в целях подготовки следующие упражнения: «выделять двузначные разрядные числа, которые учащиеся уже умеют делить на 2 (10, 20, 40, 60, 80), на 3 (30, 60, 90), на 4 (40,

) и т. д.; представлять разными способами числа в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых делится на данное число без остатка: например, 24 можно заменить такой суммой, каждое слагаемое которой делится на 2: 20+ 4, 12+12, 10+ 14 и т. д.; решать разными способами примеры вида: (18+45):9» [5].

После рассматриваются примеры, «при решении которых приходится делимое заменять суммой разрядных слагаемых, например: 48:4

=(40+8):4=40:4+8:4=12» [2].

Потом рассматриваются примеры, «при решении которых приходится делимое заменять суммой удобных слагаемых, например:

:2= (40+10):2 = 40:2+10:2= 25

:3= (60+15):3 = 60:3+15:3= 25

Здесь подобрать удобные слагаемые труднее, чем в примерах первой группы. Поэтому следует уделить большое внимание замене делимого суммой удобных слагаемых и выбору самого удобного способа. Так, пример 42:3 может быть решен разными способами:

:3 = (30+18):3 = 30:3+18:3 = 16

:3 = (27+21):3 = 27:3+21:3 = 16

:3 = (24+24):3 = 24:3+24:3= 16

Самый удобный способ - первый, так как при делении удобных слагаемых (30 и 18) получаются разрядные слагаемые частного (10+6 = 16) [2]. К внетабличному делению относится деление двузначного числа на двузначное. Также используется способ подбора частного, который основан на связи между компонентами и результатом действия деления: подбирают частное, а затем умножают на него делитель и смотрят, получилось ли делимое. Так, при решении примера 85:17 ставится вопрос: на какое число надо умножить делитель 17, чтобы получить делимое 85? (На число 5.) Значит,

85:17=5 [2].

Приемы подбора частного: дети находят частное медленно, числа берут по порядку: 2, 3, 4 и т. д., постепенно число проб будет сокращаться.

Деление с остатком. Особенность деления с остатком - здесь находят два числа: частное и остаток. «Конкретный смысл деления с остатком раскрывается при решении простых задач на деление по содержанию и на равные части с помощью выполнения операций с предметами: ученики убеждаются, что не всегда можно выполнить разбиение данного множества на равночисленные подмножества и что в таких случаях операция разбиения связывается с действием деления с остатком». То есть ответ на вопрос ученики сначала находят практически, затем выполняемые операции с предметами надо сопоставить с действием деления с остатком. Например, предлагается решить задачу: «17 карандашей разложили в 3 коробки поровну, сколько карандашей положили в каждую коробку и сколько карандашей осталось?» Один ученик у доски, а остальные у себя на партах раскладывают 17 карандашей на 3 равные части, затем выясняют, что получилось по 5 карандашей в коробке и еще осталось 2 карандаша. Учитель говорит, что решение таких задач тоже выполняется делением, только с остатком: 17 разделили на 3, получилось 5 и 2 в остатке.

Решению задач на деление по содержанию: раскрывается отношение между делителем и остатком, т. е. ученики устанавливают: если при делении получается остаток, то он всегда меньше делителя. Для чего решаются примеры на деление последовательных чисел на 2, затем на 3 (4, 5), например:

Учащиеся сравнивают остаток с делителем и замечают, что при делении на 2 в остатке получается только число 1 и не может быть 2 (3, 4 и т. д.). Точно так же выясняется, что при делении на 3 остатком может быть число 1 или 2, при делении на 4-только числа 1, 2, 3 и т. д. Сравнивая остаток и делитель, делается вывод, что остаток всегда меньше делителя [2].

На уроках лучше брать примеры парами: один из них на деление без остатка, а другой на деление с остатком, но примеры должны иметь одинаковые делители и частные» [2].

Решаются упражнения на деление с остатком, например 37:8. «Ученик должен усвоить следующее рассуждение: «37 на 8 без остатка не делится. Самое большое число, которое меньше, чем 37, и делится на 8 без остатка, 32. 32 разделить на 8, получится 4; из 37 вычтем 32, получится 5, в остатке 5.

Значит, 37 разделить на 8, получится 4 и в остатке 5»» [2].

Если у детей при решении примеров на деление с остатком получается остаток больше делителя, то полезно детям давать решенные примеры с ошибкой, для нахождения и объяснения ее детьми.

Навык деления с остатком, как табличного и внетабличного умножения и деления вырабатывается в результате тренировки, поэтому надо больше решать примеров как устно, так и в письменно. В процессе изучения умножения и деления обязательно необходимо проводить проверку.

.2 Методические основы применения нестандартных способов решения при формировании устных приемов вычислений

Дети часто испытывают трудности при вычислениях в уме. А.В. Белошистая считает, что учить детей сразу приемам письменных вычислений - значит с первых же шагов обрекать их на полную беспомощность при выполнении устных вычислений в пределах 100. Что научить приемам письменных вычислений иногда проще, чем пытаться развивать собственную вычислительную деятельность ребенка. Ведь ежедневно людям приходится выполнять несложные вычисления в уме, обычно в пределах 100 [2]. Спецефические трудности с устными вычислениями испытывают дети с замедленным типом мышления, дети с ведущим синтетическим способом мыслительной деятельности, а также ведущие кинестетики [2].

Для таких детей «были разработаны специальные схематические модели двузначных чисел, отражающие их десятичную структуру. На базе

использования этих моделей для этих детей была разработана иная последовательность знакомства с вычислительными приемами и иные способы их выполнения. Использование этих способов при устных вычислениях лишь в небольшой степени меняет порядок изучения вычислительных приемов.

В начальной школе уделяется большое внимание разрядной структуре чисел. «Соответственно понятию «разрядный состав двузначного числа» мы рассматриваем два случая так называемого разрядного сложения и вычитания, которые в дальнейшем становятся одним из опорных приемов для обучения сложению и вычитанию с переходом через десяток и других вычислительных приемов в пределах 100. В соответствии с разрядным составом строится и схематическая разрядная модель числа, с которой связываются соответствующие случаи сложения и вычитания:

39 30 + 9 39 - 9

9 9 + 30 39 - 30

Для детей с трудностями вычислительной деятельности предлагается другая схематичная модель двузначного числа, имеющая в основе его десятичный состав. Использование схематической десятичной модели, доступной восприятию первоклассника, позволило обойти невозможность использования аналитической записи, отражающей десятичную структуру числа.

С другой стороны, данная модель позволяет эффективно использовать мыслительные особенности ребенка с преобладанием синтетического типа мышления, которые предрасположены к работе с наглядными моделями изучаемых понятий. Используемая модель понятия (двузначного числа) позволяет такому ребенку в конкретной деятельности моделировать сам прием вычисления, в то де время являясь основой для самопроверки (т.е. дает возможность убедиться в правильности ответа).39 - 9 39 - 10 39 - 20 30 + 9

- 19 39 - 29 39 - 30 9 + 30

Детям, которым трудно даются арифметические вычисления, такая модель значительно облегчает работу.

Однако в отношении детей, о которых идет речь (синтетики с замедленным типом мышления, необходимо требующие наглядной внешней опоры для формирования осознанного типа деятельности), такая модель оказывается более эффективной в связи со своей наглядностью, а чуть большая затрата труда и времени для построения модели (самостоятельного рисования десятичной схемы числа) этих детей не отвращает, наоборот, она служит как бы приемом подготовительно-организующим дальнейшую вычислительную деятельность. Использование таких моделей еще на этапе изучения нумерации в пределах 100 (до начала изучения темы «Сложение и вычитание в пределах 100»), позволяет легко освоить первые девять приемов вычислений» [4].

.3 Методические рекомендации по формированию умений и навыков устных вычислений

Навыки устных вычислений формируются в процессе выполнения различных упражнений. Для формирования умений и навыков в работу включаются устные упражнения, такие как «устный счет», игры «молчанка»,

«эстафета», «лесенка», «круговые примеры» и др. Очень полезны арифметические диктанты - устные вычисления с показом ответов разрезными цифрами или записью ответов в тетрадях… Особенно ценны упражнения с элементами творчества, догадки: составить примеры, задачи, исправить неверно решенные примеры, вставить пропущенное число или знак действия в примерах: … -3 = 7; 8-… = 6; 8+… = 10; 6*4 = 2.

Эффективными для формирования вычислительных навыков являются упражнения с равенствами и неравенствами: сравнить выражения и вставить знаки «<», «>» или «=»: 7+2 … 7, 10-3 … 4; проверить правильно ли поставлены знаки в заданных равенствах и неравенствах: 6+4 < 10, 6+3 > 10, 8+2 = 10; вставить подходящее число, чтобы получилась верная запись: 10-4 <…, 5+2 > …, 5+3 = ….

Сравнение выражений выполняют на основе сравнения их значений (5+2>6, так как 7 больше, чем 6), поэтому дети с помощью таких упражнений закрепляют навыки вычислений.

Важно, чтобы учащиеся поняли, что сложив два числа, получаем новое число и что соответственно это число может быть выражено суммой двух чисел: если 6+2=8. То 8=6+2; если 5+3=8, то 8=5+3 и т.д. С этой целью предлагают специальные упражнения, например: Составьте примеры на сложение с ответом 7 и замените число 7 суммой по образцу … + … = 7, 7 =

… + …» [5].

Чтобы навыки устных вычислений постоянно совершенствовались, необходимо постоянно упражняться в устных вычислениях, а письменно вычислять только тогда, когда уже трудно устно.

Весь урок должен быть охвачен упражнениями в устных вычислениях.

«Их можно соединять с проверкой домашних заданий, закреплением изученного материала, предлагать учащимся при опросе» [2]. Следуя этому у учителей утвердилась традиция: на каждом уроке специально отводить 5-7 мин для устных вычислений, проводить так устный счет [2]. В. С. Кравченко считает, что устные задания должны соответствовать теме и задачам урока. Это не дополнительный материал и не самоцель, а органическая, необходимая часть урока, без которой усвоение заданий и навыков будет протекать с большими трудностями, с большей потерей времени [21]. М.А. Бантова пишет о том, что в зависимости от цели и темы урока учитель определяет место устного счета на уроке. «Если устные упражнения предназначаются для повторения ранее пройденного материала, формированию вычислительных навыков и готовят к изучению нового материала, то лучше их провести в начале урока до изучения нового материала. Если устные упражнения имеют цель закрепить изученное на данном уроке, то надо провести устный счет после изучения нового материала» [2]. Не нужно проводить его в конце урока, так как дети уже устали, а устный счет требует внимания, памяти, логического мышления. В конце можно провести небольшую «математическую разминку», которая будет способствовать поддержанию интереса детей к предмету и развивать математическую грамотность» [8]. Выполняемое количество упражнений не должно переутомлять детей и не превышать отведенного для этого времени на уроке.

Задания для устного счета предлагают детям так, чтобы они воспринимали их либо зрительно, либо на слух, либо и зрительно, и на слух… рекомендуется чередовать задания всех трех видов» [2]. К слуховой форме относятся математические диктанты, устные задачи в стихах и т.д. К зрительно-слуховой относятся примеры-цепочки, графические диктанты.

Очень важно уроках математики решать нестандартные задачи, которые требуют размышления, развивают логическое мышление и смекалку.

На уроках математики рекомендуется как можно больше устных упражнений проводить в форме игры, так как такая форма вызывает повышенный интерес у младших школьников. Рассмотрим распространенные математические игры.

Игра «Молчанка». Берется любая геометрическая фигура, в центре