Особенности
формирования устных приемов вычислений у младших школьников
Введение
устный вычисление школьник нестандартный
Знания, приобретенные на уроках математики в начальных классах, должны обеспечить надежную опору как в отношении знаний и умений учащихся, так и в отношении их развития, так как они используются при последующем изучении математики в средних и старших классах. Начальные математические знания ученики младших классов применяют в своей будничной жизни, например, в школе при изучении других предметов, таких как технология, физическая культура, окружающий мир. Математические знания применяются «для описания и объяснения окружающих предметов, процессов, явлений, а также оценки их количественных и качественных отношений» [47, с.11]. Младшие школьники получают первоначальные знания о натуральном числе, о нуле, об особенностях натурального ряда чисел, учатся записывать и читать натуральные числа в десятичной системе счисления, «выполнять устно и письменно арифметический действия с числами и числовыми выражениями (в пределах миллиона): сложение, вычитание, умножение, деление, деление с остатком, учатся решать текстовые задачи, действовать в соответствии с алгоритмом и строить простейшие алгоритмы, исследовать, распознавать и изображать геометрические фигуры, работать с таблицами, схемами, графиками и диаграммами, цепочками, совокупностями, представлять, анализировать и интерпретировать данные» [47, с.11].
Одна из важнейших задач в обучении младших школьников математике в условиях реализации ФГОС НОО представляет собой формирование у учащихся «понятия о числе и арифметических действиях» [38, с.46-47], «формирование сознательных вычислительных навыков» [18, с.42], основой которых является прочное и осознанное усвоение устных и письменных вычислений. Но в начальной школе «учащиеся должны не только сознательно усвоить приемы устных вычислений, но и приобрести твердые вычислительный навыки» [2, с.163]. «Выработка навыков устного счета занимает особое место в начальной школе и является одной из главных задач обучения математике младших школьников. Именно в первые годы обучения закладываются основные приемы устных вычислений, которые активизируют мыслительную деятельность учеников, развивают у них память, речь, воображение, способность воспринимать на слух сказанное, повышают внимание и быстроту реакции» [44, с.23.].
«Овладение навыками устных вычислений имеет большое образовательное, воспитательное и практическое значение. Они помогают усвоить многие вопросы теории арифметических действий» [2, с.163], которые занимают особое место в начальном курсе математики. Они выявляют конкретный смысл «арифметических действий, свойства действий, связь между результатами и компонентами, изменение результатов действий в зависимости от изменений одного из компонентов» [2, с.163].
Устные вычисления способствуют не только математическому развитию детей, но и развивают «логическое и алгоритмическое мышление» [47, с.19], творческие начала и волевые качества, способствуют «развитию математической речи учащихся» [47, с.19], «их сообразительности, математической зоркости и наблюдательности» [2, с.164]. Используя при устных вычислениях сравнительно небольшие числа, учащиеся лучше усваивают состав чисел, быстрее схватывают зависимость между «результатами и компонентами действий», «свойства» и законы действий [2, с.163]. Устный счет имеет широкое практическое значение в обычной будничной жизни: он развивает смышленость детей, вызывая у них необходимость подбирать приемы вычислений, удобные для данного конкретного случая, кроме того, устный счет «помогает лучшему усвоению приемов письменных вычислений, так как последние включают в себя элементы устных вычислений» [2, с.163]. «Быстрота и правильность устных вычислений особенно необходимы, когда письменно выполнить действия не представляется возможным» [2, с.164].
«Рассмотрением вопроса о влиянии устного счета на повышение умственной деятельности на уроках математики занимались такие деятели, как О.П. Зайцева, А.Я. Бурлыга, М.И. Волошина, Т. Иванова, Г.В. Бельтюкова, К.А. Зимовец и т.д.» [44, с.23].
Значимость формирования устных вычислений у младших школьников и на сегодняшний день является весьма актуальным. «Внимание к устным арифметическим вычислениям является традиционным для образовательной школы. В связи с этим значительная часть всех заданий в существующих
учебниках математики направлена на формирование устных вычислительных умений и навыков» [45, с.25].
Проблемой формирования вычислительных навыков у учащихся начальных классов занимались: М.А. Бантова, М.И. Моро, С.В. Степанова и другие» [45, с.25].
По мнению Е.Ю. Лавлинсковой, «причина трудностей учащихся при устных вычислениях кроется в том, что на сегодняшний момент не прослеживается четкой системы работы по развитию вычислительных навыков. Ведь именно в начальной школе у детей должны быть сформированы прочные, осознанные вычислительные навыки» [23, с.176].
В современной школе на уроках математики младшим школьникам важно научиться не только правильно, но и быстро выполнять устные вычисления как для продолжающейся работы с числами, так и для практической значимости при дальнейшем обучении. Необходимость овладения учащихся прочными и осознанными устными вычислительными навыками обосновывает важность и актуальность выбранной темы выпускной квалификационной работы «Особенности формирования устных приемов вычислений у младших школьников».
Объект исследования: процесс обучения математике в начальной школе.
Предмет исследования: особенности формирования устных приемов вычислений у младших школьников.
Цель исследования: выявить особенности формирования устных приемов вычислений у младших школьников.
Гипотеза исследования: систематическое целенаправленное проведение устного счета на уроках математики, включающего в себя задания в зрительной, слуховой и зрительно-слуховой форме, использование дидактических игр и разнообразных нестандартных заданий, требующих внимания, смекалки, логического мышления и памяти будут способствовать эффективному формированию вычислительных навыков у младших школьников.
Цель и гипотеза работы предполагают следующие задачи исследования:
Изучить и проанализировать научно-методическую литературу по проблеме исследования.
Раскрыть определение понятий «устные вычисления»,
«вычислительный навык», «приемы и методы навыков формирования устных вычислений».
Определить формы и виды устных вычислений, на основе анализа школьных учебников и методической литературы.
Проанализировать и обработать данные экспериментальной работы.
При написании данной работы нами применялись следующие методы исследования:
Теоретические (теоретический анализ и обобщение научной, педагогической литературы по проблеме исследования).
Эмпирические (педагогический эксперимент).
Работа с учащимися (беседа, наблюдение за деятельностью, сравнение и тестирование)
Коллективная работа с учащимися
Анализ результатов экспериментального исследования.
Исследование проводилось на базе школы МБОУ Гимназия №1 г.
Краснознаменск класс 2В.
ГЛАВА 1. Теоретические основы формирования
устных приемов вычислений у младших школьников
.1 История развития устных приемов вычислений
Математика была, остается и всегда будет одним из основных предметов в школе, потому что получаемые математические знания в процессе обучения в школе необходимы всем людям в обыденной жизни. Редко, когда ребенок, приходя в первый класс, знает, в какой институт он поступит, кем он хочет работать в будущем после окончания школы, но каждый понимает, что математика необходима для решения возникающих житейских ситуаций: заплатить за выбранный товар и посчитать сдачу в магазине, набрать номер маминого телефона, узнать который час на часах и т.д. К тому же, теперь всем ученикам обязательно нужно сдавать ОГЭ по математике в 9 классе и как минимум базовый уровень ЕГЭ в 11-м классе, а для этого, начиная с первого класса, необходимо полноценно и качественно изучать математику, но первоочередная задача - нужно ребенку научиться считать. Ни промышленные исследования и эксперименты, ни «технический прорыв», ни достижения человечества были неисполнимы без использования математики. «Без счета, без умения правильно складывать, вычитать, умножать и делить числа немыслимо развитие человеческого общества. Четыре арифметических действия, правила устных и письменных вычислений изучаются, начиная с начальных классов. Все эти правила вычислений не были выдуманы или открыты одним человеком. Арифметика возникла из повседневной практики, из жизненных нужд людей в их трудовой деятельности» [7, с.11]. Математика как наука подверглась многим изменениям в своей длительной эволюции, пока не стала такой, какой мы изучаем ее теперь. «В основе развития математики, как и всякой другой науки, лежат запросы практической деятельности человека» [11, с.5].
У древнейших народов сначала зародились отдельные математические знания, появляющиеся из постоянных наблюдений за явлениями природы и из обыденной их трудовой деятельности. Развитие счета зародилось с установления связи между количеством предметов и количеством пальцев на руках и ногах. «Еще в самые отдаленные времена людям приходилось считать различные предметы, с которыми они встречались в повседневной жизни. Было время, когда человек умел считать только до двух. Число «два» связывалось с органами зрения и слуха и вообще с конкретной парой предметов. «Глаза» у индийцев, «Крылья» у тибетцев означало также «Два». Если предметов было больше двух, то первобытный человек говорил просто «много». Лишь постепенно человек научился считать до трех, затем до пяти, десяти» [7, с.11].
В жизни людей зарождается развитие производства и соответственно как следствие этого - торговля. «Счет распространяется на множества, содержащие все большее и большее число предметов (элементов). Люди в своей практической деятельности не могли обходиться без измерения расстояний, площадей земельных участков, вместимости сосудов и т.п. Потребность в измерениях привела к возникновению и развитию как приемов измерений, так и техники счета и правил действия над числами» [7, с.11-12].
Всем нам известно, что «счет ведется десятками: десять единиц образуют один десяток. Десять десятков - одну сотню и т.д., иными словами: десять единиц первого разряда образуют одну единицу второго разряда, десять единиц второго разряда - одну единицу третьего разряда и т.д.» [7, с.12].
«Такой способ счета, группами в десять, которым пользуемся мы, называется десятичной системой счисления или десятичной нумерацией. Число десять называется основанием десятичной системы счисления» [7, с.12].
Древние люди на первых порах учились считать с помощью пальцев рук, так же как мы обучаем счету маленьких детей. «Поныне говорят: «Перечесть по пальцам». Отсюда - десятичная или десятеричная система исчисления» [7, с.12]. Десять пальцев на руке стали изначальным средством счета для первобытных людей, позже они стали применять камешки, кости, зарубки на камнях для удобства при счете.
Но были и такие народы, «которые пользовались при счете только пятью пальцами одной руки, считали пяткáми: у них выработалась пятеричная система счисления, в которой основой служит число пять. Число «шесть», например, называлось «пять - один» и т.д. В скандинавских странах сохранились следы пятеричной системы» [7, с.12]. Другие древние люди нашли применение при счете не только пальцам рук, но и пальцам ног. Отсюда возникла двадцатеричная система. «То, что числовая последовательность была создана с помощью пальцев ног и рук, доказывает следующее рассуждение. Обычай присваивать числовые значения камням или частям тела дает лишь неразрывное, недифференцированное количество, то количество пальцев рук и ног уже классифицировано и сгруппировано природой: 5 пальцев составляют руку, 10 - две руки, 20 - руки плюс ноги. Вполне естественно, что и в языке прослеживаются те же остановки: пять - «1 рука», десять - «2 руки», двадцать «один человек»» [29, с.52]. «Из этого вытекает неожиданное очень важное следствие. Теперь, когда дорога проложена, числовая последовательность может развиваться дальше, после слов: «Теперь, когда мы сосчитали всего человека» - вторая серия подсчётов может идти точно таким же путем, а за ней третья, четвертая и т.д. Новый уровень надстраивается поверх предыдущего - такая классификация позволяет числовой последовательности развиваться в предложенном порядке», то есть 20+20=40, и т. д. [29, с.52]. Следы двадцатеричной системы сохранились и до наших времен, например, «в современном грузинским языке и во французском языке, в котором вместо «восьмидесяти» говорят «четырежды двадцать»» [7, с.13].
«Другой весьма распространённый в древности вариант - счёт четвёрками пальцев, при этом счёте большой палец не засчитывался. Так, в древнерусском языке все пальцы, кроме большого, назывались словом «перст», а большой - «палец», в английском языке до настоящего времени четыре «счётных» пальца именуются словом «fingers», а большой палец - «thumb». В этом исчислении пальцы двух рук составляют основу древней восьмеричной системы счисления» [19].
Очень интересный способ счета бытовал с помощью фаланг пальцев: «на четырёх пальцах одной руки 12 фаланг если их считать пятым, большим пальцем, то есть прикосновение кончика большого пальца к каждой фаланге принимать за единицу. Эта особенность повлияла на появление двенадцатеричной и шестидесятеричной систем счисления (во втором случае, большой палец несколько раз подряд касался всех фаланг и счёт продолжался дальше, но после каждого нового цикла касаний загибался один палец на второй руке» [36]. «Древние вавилоняне пользовались шестидесятеричной системой счисления» [7, с.13].
Старинный исконно русский способ счета: «счёт на пальцах до десяти начинается с загибания мизинца левой руки и последовательно ведётся до загнутого большого пальца правой руки. Но когда требуется наглядно показать количество, рука сжимается в кулак и сначала разжимается указательный палец, затем средний, безымянный, мизинец и большой» [19].
Но ведь оказывается с помощью пальцев рук не только складывали и отнимали. На Руси с их помощью еще и умножали. «Старинный русский способ умножения на пальцах однозначных чисел от 6 до 9 издревле применялся купцами как вспомогательный при устном счёте. Первоначально пальцы обеих рук сжимали в кулаки. Затем на одной руке разгибали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй руке делали то же самое для второго множителя. Суммарное число вытянутых пальцев умножалось на 10, потом перемножалось число загнутых пальцев одной руки на число загнутых пальцев другой. Два полученных результата складывались» [19].
Другие способы счета, применявшихся в Древней Руси:
счёт дюжинами (двенадцатеричная система) активно практиковали торговцы, особенно в Новгородской республике в XII-XV веках. «Счет дюжинами вёлся большим пальцем по фалангам остальных четырёх пальцев правой руки и начинался от нижней фаланги указательного пальца, а заканчивался верхней фалангой мизинца. Другой вариант - от верхней фаланги мизинца левой руки до нижней фаланги указательного пальца. Если число превышало 12, то при достижении 12 считающий загибал один палец на противоположной руке. По достижении числа 60 (пятёрки дюжин) все пальцы руки, фиксировавшей полные дюжины, оказывались сжатыми в кулак. Дюжинами до начала XX века в России было принято считать носовые платки, пишущие перья, карандаши, школьные тетрадки, набор из
предметов по традиции составляли ложки, вилки, ножи, а посудные сервизы и комплекты стульев и кресел рассчитывались на 12 персон» [19].
счёт сороками (сороковицами). К нему прибегали в Сибири охотники за пушным зверем. Они «вели счет «сорочками», то есть укомплектованными в мешки шкурками (как правило, 40 собольих хвостов или 40 беличьих шкурок), которые полностью уходили на пошив богатой шубы («сорочки»)
русского боярина XVI века. Так, в таможенной грамоте 1586 года «сороками» были посчитаны шкурки соболей и куниц, посланные в качестве платы за ведение войны с турками от царя Фёдора Ивановича австрийскому императору Рудольфу. Методика счёта была схожа со «счётом дюжинами», только вместо подсчёта фаланг считали суставы пальцев (переходы между фалангами), которых было всего 8. Если число превышало 8, то при достижении 8 считающий загибал один палец на противоположной руке. По достижении числа 40 все пальцы руки, фиксировавшей полные осьмушки, оказывались сжатыми в кулак. Следы пальцевого «счёта сороками» сохранились в народных суевериях. Например, несчастливым для охотника считался сорок первый медведь и т. д. Также словом «сороконожка» традиционно называлась любая многоножка. Выражение «сорок сороков» или «тьма» для древнерусского крестьянина символизировало некое число, превосходящее всякое воображение и собственно математические познания самого земледельца» [19].