Материал: Однородность вложенных многообразий. Афинная геометрия вещественных гиперповерхностей пространства C2. Лобода А.В

§1.2. Аффинное каноническое уравнение невырожденной по

Леви вещественной гиперповерхности пространства C2

Напомним, что обсуждения в нашей работе носят локальный характер и связаны с аффинной однородностью изучаемых поверхностей вблизи некоторой фиксированной точки. В рамках аффинной геометрии без ограничения общности можно считать, что эта точка является началом координат пространства C2, и через нее проходят все изучаемые поверхности.

Все они предполагаются аналитическими, т.е. заданными посредством уравнений

свещественнозначными аналитическими функциями .

Вформуле (1.12) z; w - комплексные координаты пространства C2; мы часто будем переходить от таких координат к их вещественным и мнимым частям

x = Re z; y = Im z; u = Re w; v = Im w:

Начало координат пространства C2 мы считаем неособой точкой любой изучаемой поверхности M.

Тогда уравнение (1.12) можно локально разрешить относительно одной из вещественных координат пространства C2 и переписать в виде

k;l;m

с некоторой аналитической функцией F .

Уточним, что в силу вещественности этой функции коэффициенты правой части уравнения (1.13) удовлетворяют условиям сопряженности

можно "улучшать" за счет аффинных преобразований пространства C2.

Мы опишем сейчас простейшие возможные упрощения и покажем, что уже на этом уровне возникают содержательные утверждения об однородности, формулируемые в терминах тейлоровских коэффициентов уравнения (1.13) или, что то же самое, функции (1.14).

21

Отметим сразу, что степенные ряды в традиционном "равновесном" виде для дальнейшего изложения менее удобны и естественны, чем предложенные в [92] весовые разложения аналитических функций. Будем считать, что переменные z; z имеют вес 1, а переменной u припишем вес 2. Веса отдельных мономов, построенных из переменных z; z; u, будем определять по естественному принципу сложения весов. Например, вес монома z2zu равен 5.

Выделяя в степенном разложении функции F (z; z; u) однородные весовые компоненты, перепишем уравнение (1.13) в виде

Напомним, впрочем, что сдвигом осей координат мы уже добились равенства F0 0, поэтому весовое представление уравнения (1.13) упростится до

k 2

При этом многочлен веса 2 имеет в (1.16) вид

F2 = f110jzj2 + f200z2 + f020z2 + f001u:

Линейные по z; z; u слагаемые, имеющие веса 1 и 2, удаляются из (1.16)

заменой

z = z; w = (1 if001)w 2if100z:

Тогда уравнение обсуждаемой поверхности M примет вид

аобсуждаемая точка поверхности останется началом координат.

Сточки зрения комплексной геометрии основными в разложении (1.17)

естественно считать вещественный коэффициент f110 и эрмитову форму f110jzj2, называемую (см. [94]) формой Леви поверхности (1.13). При обращении в нуль коэффициента f110 обсуждаемая поверхность называется Леви-вырожденной (Леви-плоской) в начале координат, в противном слу-

чае - Леви-невырожденной.

И обращение, и необращение этого коэфициента в нуль являются, как известно (см. [94]), голоморфно инвариантными, а значит, и аффинно инвариантными свойствами поверхности. Эти свойства (в фиксированной точке) поверхности не зависят от того, какими именно преобразованиями (сохраняющими фиксированную точку) было получено уравнение вида (1.17).

22

Наша главная задача в этом параграфе - построить так называемое аффинное каноническое уравнение для Леви-невырожденных поверхностей. В следующих разделах монографии аналогичные канонические уравнения будут введены и для Леви-плоских (аффинно-однородных) гиперповерхностей. Причины, по которым понятие канонического уравнения вводится раздельно для двух рассматриваемых классов многообразий, будут ясны из дальнейших обсуждений.

Итак, в невырожденном случае за счет растяжения переменной z и возможного изменения знака у переменной w коэффициент f110 в уравнении (1.17) можно сделать равным единице. Это означает справедливость следующего утверждения.

Предложение 1.1. Аффинными преобразованиями уравнение любой невырожденной по Леви гиперповерхности может быть приведено вблизи любой ее точки к виду

k 3

Теперь мы обратим внимание на коэффициент f200 из уравнения (1.18). Если он отличен от нуля, то его можно представить в виде

f200 = jf200jei

с некоторым значением углового параметра . Поворот переменной z на угол =2, очевидно, сохраняет вид (1.18) уравнения изучаемой поверхности, но при этом переводит коэффициент f200 на положительную полуось (f200 превращается в jf200j ). Обозначая это положительное значение через ", перепишем уравнение (1.18) в виде

k 3

Замечание. При нулевом значении коэффициента f200 уравнение (1.18) можно автоматически считать имеющим вид (1.19) с нулевым значением параметра " в нем.

Вуравнении (1.19) (с любым неотрицательным ") возможны дальнейшие упрощения за счет аффинных преобразований. Чтобы реализовать эти упрощения, нам потребуются следующие договоренности и обозначения.

Вразложении произвольного многочлена Fk = Fk(z; z; u) веса k из уравнения (1.15) мы будем выделять слагаемые, не содержащие перемен-

ной u. Их совокупность мы обозначим через Fk(0), а остальные слагаемые,

23

^

входящие в Fk, сгруппируем в дополнительную сумму Fk(z; z; u), так что

^

Отметим, что каждый из мономов, составляющих Fk, содержит в виде множителя переменную u в некоторой ненулевой степени.

Рассмотрим теперь слагаемое

F3 = (f101z + f011z)u + F3(0)(z; z) =

= (f101z + f011z)u + (f300z3 + f210z2z + f120zz2 + f030z3)

из уравнения (1.19).

Здесь, в отличие от слагаемых веса 2, содержится переменная u. Ее наличие в правой части уравнения (1.19) отличает рассматриваемый случай от голоморфных канонических уравнений Мозера. Впрочем, возможно более тесное приближение к голоморфному "идеалу" на основе, например, следующего предложения.

Предложение 1.2. Если в уравнении (1.19) коэффициент " удовлетворяет ограничению 0 " 6= 1=2; то заменой

с подходящим параметром A можно удалить слагаемые (f101z + f011z)u из уравнения (1.19), сохраняя при этом его вид. Доказательство.

При замене (1.21) исходное уравнение (1.19) обсуждаемой поверхности превратится в уравнение

X

v = jz + Awj2 + " (z + Aw)2 + (z + Aw)2 + Fk(z + Aw; z + Aw; u);

k 3

(1:22)

не разрешенное относительно v. При этом в начале координат производная по переменной v правой части уравнения (1.22) равна нулю. Это означает разрешимость (1.22) относительно v.

Подставляя формальное весовое разложение

v= F (z; z; u) = F1 + F2 + F3 + :::

в(1.22), легко получить, что

F1 = 0; F2 = F2(z; z) = jzj2 + "(z2 + z2):

В компоненте веса 3 имеем здесь равенство

F3 = F3 +zA(u + iF2)+zA(u+iF2)+2"(A(u+iF2)z +A(u + iF2)z): (1:23)

24

Это означает, что изменение слагаемых (f101z + f101z)u в уравнении (1.19) описывается при замене (1.21) формулой

является обратимым. Следовательно, при любом начальном коэффициенте f101 его новое значение после замены (1.21) можно сделать нулевым. Предложение 1.2 доказано.

Несколько сложнее выглядит ситуация с упрощением уравнения (1.19)

при

Замечание. Случай (1.26) важен в наших рассмотрениях по следующей причине. Пусть трубчатая гиперповерхность M = + iR2( y; v) в пространстве C2 имеет в основании аналитическую кривую = fu = f(x)g с произвольной определяющей функцией f(x). Несложно проверить, что после простейших преобразований, описанных выше, уравнение этой поверхности приводится к виду (1.19) с параметром "; равным в точности 1=2.

Предложение 1.3. Если в уравнении (1.19) коэффициент " удовлетворяет равенству (1.26), то заменой (1.21) с подходящим параметром A можно привести в чисто мнимое состояние коэффициент f101 из слагаемого (f101z + f101z)u, а также коэффициент f210 того же многочлена

F3.

Для доказательства этого предложения мы более детально рассмотрим формулу (1.23) при выполнении условия (1.26). Помимо уравнения (1.24) мы имеем здесь еще

2Re(f300z3 + f210z2z) = 2Re(f300z3 + f210z2z)+

25