Материал: Однородность вложенных многообразий. Афинная геометрия вещественных гиперповерхностей пространства C2. Лобода А.В
1.1.2. Современное состояние вопроса
Главными новыми результатами книги являются две следующие теоремы, полученные в [65], [66] и описывающие, соответственно, Леви-невы- рожденные и Леви-плоские аффинно-однородные гиперповерхности.
Напомним, что понятие формы Леви вещественной гиперповерхности многомерного комплексного пространства, как некоторой эрмитовой формы, инвариантно связанной с этой поверхностью, является классическим в комплексном анализе. Необходимые точные определения можно найти, например, в [96]. Простейший вариант такого определения в изучаемом нами случае пространства C2 будет приведен в следующем параграфе.
Здесь же мы отметим, что в голоморфной геометрии традиционным является связанное с формой Леви разделение всех (гладких) гиперповерхностей на классы Леви-вырожденных и Леви-невырожденных многообразий. Последние в свою очередь естественно разделить на строго псевдовыпуклые (СПВ) гиперповерхности, имеющие положительно определенную форму Леви, и индефинитные, для которых эта форма является знаконеопределенной невырожденной эрмитовой формой.
Обозначенные здесь отличия гиперповерхностей, существенные для голоморфной геометрии, проявляются и на аффинно-геометрическом уровне.
ТЕОРЕМА 1.3 ([66]). Всякая невырожденная по Леви аффиннооднородная вещественная гиперповерхность пространства C2(z;w) аффинно эквивалентна (вблизи любой своей точки) одной из однородных поверхностей следующего списка:
1) jzj2 jwj2 = 1; 2) Im w = jzj2 + "(z2 + z2); 0 < " 6= 12;
3) Im w = jzjAeB arg z; 4) Im(zw) = jzjAeB arg z; A; B 2 R; z 6= 0;
5)Re w = (Rez)s; 1 s < 1; s 6= 0
6)Re w = ln(Re z); 7) Re w = (Re z) ln(Re z);
8) ln (Re z)2 + (Re w)2 = B arctg |
Re z |
; B 0: |
|
|
|
Re w |
|
ТЕОРЕМА 1.4 ([65]). Аффинно-однородными вырожденными по Леви гиперповерхностями пространства C2(z;w) являются c точностью до (локальной) аффинной эквивалентности лишь поверхности из следующе-
го списка: |
|
3-параметрическое семейство jzjA1 jwjA2 = earg(zB1 wB2 ); |
(1:7) |
16
где (A1; A2; B1; B2) 2 RP3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
цилиндр над гиперболическим параболоидом |
Im(w z2) = 0; |
(1:8) |
|||||||||||||||||||
"воронежские вееры" |
jw z2j = eB arg(w z2); B 2 R; |
(1:9) |
|||||||||||||||||||
Im w |
|
e 2i |
|
z |
|
e2i |
z |
; |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
: |
|
||
= |
ln(1 + |
) + |
|
|
|
|
4 ]; |
(1 |
10) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
ln(1 + ) |
|
2 ( 4 |
|
|||||||||||||
|
Re |
wei (z ei w ln w) = 0; 2 |
( |
|
; |
|
]: |
|
(1:11) |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
4 |
4 |
|
||||||||||||||||||
Доказательству двух этих теорем посвящены, соответственно, вторая и третья главы настоящей книги. Вся необходимая для этого подготовительная работа будет проделана в первой главе, начиная со следующего параграфа. Здесь же мы приведем еще несколько классификационных теорем, относящихся к 3-мерным пространствам, но близких к идее этой книги.
Как отмечалось в предисловии, настоящая работа по сути является промежуточной ступенью в достижении цели, которую автор наметил себе два десятилетия назад. Эту цель можно сформулировать как построение классификации голоморфно-однородных вещественных гиперповерхностей 3-мерных комплексных пространств.
После предложенных описаний однородности в 2-мерных пространствах еще одним важным шагом в указанном направлении можно считать следующий результат [35] 1995 г., приводимый в формулировке, близкой к оригинальной.
ТЕОРЕМА 1.6. Всякая локально однородная поверхность в 3-мерной вещественной аффинной геометрии является открытым подмножеством либо некоторой поверхности второго порядка, либо цилиндра над одной из однородных плоских кривых из теоремы 1.1, либо аффинно эквивалентна открытому подмножеству одной из следующих поверхностей ( ; - вещественные параметры):
1) |
z = x y , |
2) z = (x2 + y2) e arg(x+iy), |
|
3) |
z = ln x + ln y, |
4) z = arg(x + iy) + ln(x2 + y2), |
|
5) |
z = ln(x2 + y2), |
6) z = x( ln x + ln y), |
|
7) (z xy + x3=3)2 = (y x2=2)3; 8) z = y2 ex, |
|||
9) |
z = y2 x , |
10) z = y2 ln x, |
|
11) |
z = y2 x ln x, |
12) z = xy + ex, |
|
13) |
z = xy + x , |
14) z = xy + ln x, |
|
15) |
z = xy + x ln x, |
16) z = xy + x2 ln x, |
|
17
17) |
xz = y2 |
x , |
18) xz = y2 x ln x, |
19) |
xz = y2 |
x2 ln x. |
|
Сформулируем некоторые результаты, частично представляющие (пока не полную) классификацию голоморфно-однородных вещественных гиперповерхностей 3-мерных комплексных пространств.
В них важную роль играют такие свойства уже упоминавшейся формы Леви поверхности, как ее знакоопределенный, индефинитный или вырожденный характер. Напомним, что (независимо от однородности) соответствующие поверхности называют строго псевдо-выпуклыми (СПВ), индефинитными или вырожденными по Леви. В задаче об однородности также имеет существенное значение размерность группы G(M), транзитивно действующей на обсуждаемом многообразии M.
Если эта размерность больше размерности самой однородной поверхности M, то с такой поверхностью связывается еще одна группа G M, называемая группой изотропии или группой стабильности (в точке 2 M). Эта группа состоит из (локальных) отображений изучаемой поверхности, сохраняющих неподвижной фиксированную точку на ней. В любой ситуации и в любой точке однородного многообразия выполняется очевидное равенство
dim G(M) = dim G (M) + dim M:
В случае голоморфно-однородных вещественных гиперповерхностей 3- мерного комплексного пространства, имеющих невырожденную форму Леви и не являющихся поверхностями второго порядка, группа изотропии не может иметь размерность, превышающую 3 (см. [59]). При этом максимально возможную размерность 3 имеет лишь (с точностью до локальной голоморфной эквивалентности) индефинитная (!) поверхность Винкельманна (см. [18]) из следующего примера.
Пример 3.
Im w = z1z2 + z2z1 + jz1j4:
Группа изотропии такой поверхности состоит из линейных преобразо-
ваний
z1 = teiz1; z2 = ei(irz1 + t2z2); w = t4w;
где t 2 R n f0g; r; 2 R - параметры группы.
Автором настоящей книги описаны все голоморфно-однородные невырожденные по Леви (индефинитные и СПВ) гиперповерхности пространства
C3 с
dim G0(M) = 2;
18
а также однородные СПВ-гиперповерхности с 1-мерными группами изотропии.
Приведем здесь описание СПВ-гиперповерхностей пространства C3 с "богатыми" группами изотропии.
ТЕОРЕМА 1.7 ([61]). Однородные вещественные гиперповерхности пространства C3, имеющие положительно определенную форму Леви и двумерные группы изотропии, задаются с точностью до локальной голоморфной эквивалентности следующим списком попарно неэквивалентных многообразий (z1; z2; w - комплексные кординаты в C3, v = Im w):
1) v = ln(1 + jz1j2) + b ln(1 + jz2j2); b 2 (0; 1];
2) v = ln(1 + jz1j2) b ln(1 jz2j2); b 2 (0; 1) [ (1; 1);
3) v = ln(1 jz1j2) + b ln(1 jz2j2); |
b 2 (0; 1]; |
4) v = jz2j2 + " ln(1 + "jz1j2); |
" = 1; |
ТЕОРЕМА 1.8 ([63]). Все локально-однородные строго псевдо-вы- пуклые вещественные гиперповерхности трехмерных комплексных пространств, имеющие 1-мерные группы изотропии, задаются с точностью до локальной голоморфной эквивалентности следующим списком попарно неэквивалентных однородных поверхностей пространства C3 ( z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2, w = u + iv - координаты в этом пространстве):
1) v = x22 + ((1 + x1) 1); 2 ( 1; 0) [ (1; 2) [ (2; 1) 2) v = x22 ((1 + x1) 1); 2 (0; 1)
3)v = x22 + (1 + x1) ln(1 + x1)
4)(x21 + x22) + u2 = 1
5) 1 (jz1j2 + jz2j2) + jwj2 = aj1 + z12 + z22 + w2j; a > 1 6) 1 (jz1j2 + jz2j2) jwj2 = aj1 + z12 + z22 w2j; 0 < a < 1
Две последние теоремы доказаны с активным использованием понятия канонического вида (голоморфной нормальной формы Мозера [92]) уравнения вещественной гиперповерхности многомерного комплексного пространства. Основная техническая часть монографии базируется, как уже отмечалось, на аналогичном понятии аффинных канонических уравнений, которое мы вводим в следующем параграфе.
19
В заключение же этого параграфа приведем классификацию вырожденных по Леви голоморфно-однородных вещественных гиперповерхностей 3-мерных комплексных пространств. Ее можно получить из результата [88], описывающего 5-мерные однородные CR-многообразия с вырожденной формой Леви, перефразируя этот результат в терминах нашей работы. Основной фрагмент этой классификации связан с аффинно-однородными поверхностями пространства R3, имеющими нулевую гауссову кривизну.
Рассмотрим в R3 следующее семейство поверхностей:
1)F1 = fx21 + x22 = x23; x3 > 0g;
2)F2(!) = fx = r cos t; y = r sin t; z = re!t; r > 0; t 2 R; ! > 0g;
3)F3 = fx = r; y = rt; z = ret; r > 0; t 2 Rg;
4)F4( ) = fx = r; y = ret; z = re t; r > 0; t 2 R; > 2g;
5)F5 = fx = t + r; y = t2 + 2rt; z = t3 + 3rt2; r > 0; t 2 R; g:
Замечание. Параметрически заданные в [88] поверхности 2) - 5) из этого списка имеют достаточно простые координатные представления
2) z = e! arg(x+iy); 3) z = x(ln y ln x); 4) z = x1 y ;
5) (z 3xy + 2x3)2 = 4(x2 y)3;
наглядно показывающие их место в классификационной теореме 1.6.
ТЕОРЕМА 1.9 ([88]). Каждая локально однородная относительно голоморфных преобразований вещественная гиперповерхность 3-мерного комплексного пространства, имеющая в фиксированной точке вырожденную форму Леви, голоморфно эквивалентна вблизи этой точки одному из следующих многообразий:
1)M = Fk + iR3; где Fk(k = 1; ::; 5) - одна из перечисленных выше поверхностей (с какими-либо значениями параметров);
2)M = C M0; где M0 - одна из невырожденных по Леви голоморфно однородных вещественных гиперповерхностей из списка Картана (Теорема 1.2);
3)M = C2 R:
20