Материал: Однородность вложенных многообразий. Афинная геометрия вещественных гиперповерхностей пространства C2. Лобода А.В

ГЛАВА 1. ИЗУЧЕНИЕ ОДНОРОДНОСТИ НА ОСНОВЕ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

1.1.Понятие однородности вложенного многообразия

1.1.1.Основные определения

Изучение однородности вложенных подмногообразий мы начнем со следующего достаточно традиционного определения (см., например, [36, с. 444]).

Определение 1. Многообразие M называется однородным относительно некоторой группы (преобразований) G, если G транзитивно действует на M, то есть любую точку из M можно перевести в любую другую точку обсуждаемого многообразия подходящим преобразованием из группы G.

Отметим, что в литературе встречаются различные модификации приведенного определения. Например, удобным с технической точки зрения уточнением является требование, чтобы группа G изначально была группой Ли [68]. Другая крайность состоит в том, чтобы, наоборот, не требовать столь жесткой структуры, допуская в качестве G какое-либо семейство (псевдогруппу) преобразований. Обсуждению различий в таких определениях (а точнее, совпадению определений) для случая вещественных подмногообразий комплексных пространств посвящена интересная работа [40].

Мы также внесем некоторые уточнения в начальное определение 1.

В зависимости от ситуации интерес могут представлять:

а) различные многообразия, однородные относительно фиксированной группы,

б) различные группы, относительно которых является однородным фиксированное многообразие.

Пример 1. В качестве одного из простейших примеров однородных многообразий можно упомянуть единичную окружность S1 в комплексной плоскости C с действующей на ней транзитивно группой поворотов.

Заметим, что в этом примере многообразие S1 вложено в объемлющее пространство, а именно в C; при этом поворот на произвольный угол ' как элемент группы преобразований определен не только на окружности, но и для всех точек плоскости.

Определение 2. Под однородностью вложенного многообразия понима-

11

ется однородность относительно (заданной) группы преобразований объемлющего пространства.

Повороты являются аффинными преобразованиями плоскости. По этой причине окружность S1 из расмотренного примера естественно назвать аф- финно-однородной кривой в плоскости R2.

Замечание. Можно также называть S1 многообразием, однородным относительно линейных (в вещественном или комплексном смысле) или ортогональных преобразований плоскости.

Поскольку элементы из фиксированной группы G преобразований пространства X, обладающие свойством сохранения какой-либо дополнительной структуры (например, подмногообразия M, вложенного в X ), образуют подгруппу в G, естественно конкретизировать введенные определения следующим образом.

Определение 3. Пусть X - некоторое пространство с действующей на нем группой преобразований G, M - вложенное в X многообразие. M называется однородным относительно G, если в этой группе имеется подгруппа

HG, действующая транзитивно на M.

Внаших дальнейших обсуждениях в качестве объемлющих пространств основными являются (аффинные) пространства Rn и Cn с действующими на них аффинными группами преобразований A (n; R) и A (n; C) соответственно.

Отметим, что до сих пор обсуждаемые однородные многообразия понимались как глобальные объекты. Мы локализуем подход к задаче. В настоящей книге изучаются вещественные гиперповерхности пространства C2, локально-однородные относительно группы A (2; C).

Определение 4. Многообразие M, вложенное в Rn (соответственно, в Cn), будем называть локально-однородным относительно группы A (n; R) (или A (n; C), соответственно) в точке p 2 M, если существует подгруппа Ли в A (n; R) (соответственно, в A (n; C)), действующая на M транзитивно

вблизи точки p.

Такая локализация понятия однородности позволяет перейти от групп Ли к локальным группам Ли и, тем самым, к алгебрам Ли, связанным с соответствующими группами. Более подробно такой переход обсуждается ниже, в п. 1.3. Здесь же мы обсудим различие введенных определений однородности.

Ясно, что рассмотренный пример 1 (как и всякое "глобально" однородное многообразие) является локально однородным в каждой своей точке.

12

Пример 2. Рассмотрим график кубической параболы y = x3 в плоскости двух вещественных переменных. В любой точке (x0; x30), отличной от начала координат, эта кривая является аффинно-однородной в локальном смысле. Группа Ли аффинных преобразований плоскости, переводящая эту точку в любую близкую к ней точку на параболе (и сохраняющая параболу), описывается формулами

x = tx; y = t3y (t > 0):

В то же время, однородной в глобальном смысле эта кривая не является. Дело в том, что инвариантным при аффинных преобразованиях плоскости является свойство локальной выпуклости кривой. Поэтому росток кубической параболы в начале координат, являющемся точкой перегиба этой кривой, не может быть переведен аффинным преобразованием в другой ее росток. В итоге можно сказать, что вся кубическая парабола состоит из двух связных аффинно-однородных (в локальном и глобальном смыслах) компонент.

Основной интересующий нас в данной работе вопрос – описание всех аффинно-однородных (в локальном смысле определения 4) вещественных гиперповерхностей этих пространств.

Достаточно легко построить полный (с точностью до аффинной эквивалентности) список всех плоских кривых, аффинно-однородных в локальном смысле. Например, известно такое утверждение (см. [96], а также [57]).

ТЕОРЕМА 1.1. Любая плоская аффинно-однородная кривая аффинно эквивалентна вблизи произвольной своей точки какой-либо одной из следующего списка аффинно-различных кривых:

1) y = xs ( 1 s < 1); 2) y = ln x; 3) y = x ln x; (1:1)

4) r = ea' (r полярный радиус; ' полярный угол; a 0):

Можно привести много других форм этого утверждения. Например, можно говорить о ростках аффинно-однородных (в локальном или глобальном смысле) плоских кривых, каждый из которых аффинно эквивалентен ростку одной из кривых списка (1.1).

Способы получения результатов, подобных теореме 1.1, также могут быть различными. Например, в [96] задача описания афинно-однородных кривых на плоскости сводится к описанию решений (изучаемых в классических университетских курсах) автономных линейных систем ОДУ вида

13

(с не изменяющимися во времени матрицами A).

В зависимости от жордановой нормальной формы матрицы A любая интегральная кривая системы (1.2) (локально) аффинно-эквивалентна одной из кривых списка (1.1).

Замечание. Строго говоря, описание при помощи систем вида (1.2) допускают все аффинно-однородные кривые на плоскости, кроме графика экспоненты. Это показано, например, в неопубликованной студенческой работе Черенковой С.В.(ВГУ, математический факультет, 2010 г.). Тем самым, каждая аффинно-однородная кривая из теоремы 1.1, кроме графика экспоненты, оказывается линейно-однородной после некоторого аффинного преобразования плоскости. Кривая же y = ex является единственной аффинно-однородной плоской кривой, которая не переводится аффинными преобразованиями в линейно - однородное состояние.

Основным инструментом при изучении однородности в нашей работе является техника канонических уравнений, которая детально описывается ниже. При этом понятие аффинно-канонического уравнения для кривых в плоскости мы подробно не описываем, отсылая читателя к упомянутой выше работе [57]. Некоторые детали построения и использования этого понятия можно восстановить по содержанию следующего параграфа, представляющего естественное обобщение разработок названной статьи.

Здесь же подчеркнем, что с точки зрения канонических уравнений решение упомянутой выше задачи об аффинно-однородных кривых в R2 выглядит (см., например, [46], [57]) не менее изящно, чем предложение 1. Все (односторонне выпуклые) аналитические кривые, отличные от параболы, допускают локальные аффинные уравнения вида

При этом любая аффинно-однородная кривая однозначно определяется знаком при x4 и значением параметра b из уравнения (1.3). В целом множество всех однородных кривых "выстраивается" в виде двух лучей, соответствующих изменению b от нуля до бесконечности.

На одном луче при 0 b < 8=5 располагаются логарифмические спирали, а степенными кривыми y = xs (1=2 < s < 1) накрыт интервал (8=5; 1). Разделяет два эти множества кривая y = x ln x.

На втором луче (отвечающем знаку "минус" при x4 в уравнении (1.3))

располагаются оставшиеся степенные кривые, между которыми при b = p

2 2=5 вклинивается кривая y = ex (или y = ln x).

Мы привели здесь два различных описания аффинно-однородных плос-

14

ких кривых по естественной причине. Вопрос об однородности (как аффинной, так и голоморфной) в комплексных 2-мерных пространствах тесно связан с 2-мерной же вещественной аффинной геометрией.

В качестве связующего звена здесь выступают так называемые трубчатые поверхности.

Определение 5. Пусть в комплексном пространстве Cn введены координаты z = (z1; :::; zn), вещественные и мнимые части которых обозначены через xk = Re zk; yk = Im zk(k = 1; :::; n). Трубчатым многообразием (или трубкой) в Cn называется множество

T = M + iRny ;

где M - некоторое вещественное многообразие в пространстве Rnx, называмое

основанием трубки T .

Приведем здесь основополагающий результат Э. Картана [48] 1932 г., представляющий классификацию с локальной точки зрения голоморфнооднородных вещественных гиперповерхностей 2-мерных комплексных пространств и ярко иллюстрирующий отмеченную выше связь.

ТЕОРЕМА 1.2 ([48]). Произвольная голоморфно-однородная вещественная гиперповерхность 2-мерного комплексного пространства голоморфно эквивалентна вблизи любой своей точки либо

1)трубке над одной из кривых теоремы 1.1, либо

2)одной из проективно-однородных поверхностей следующего семей-

ства

Замечание. Все кривые из теоремы 1.1 аффинно различны. В то же время известным фактом является (локальная) голоморфная эквивалентность трубок над двумя кривыми из этой теоремы (y = x1=2 и y = ln x) обычной сфере, а следовательно, и друг другу.

Как и в голоморфном случае, описываемом теоремой 1.2, трубки над аффинно-однородными плоскими кривыми образуют собственное подмножество в семействе гиперповерхностей пространства C2, однородных относительно комплексных аффинных преобразований. Полное описание этого семейства можно считать основной задачей данной книги.

15