Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Воронежский государственный архитектурно-строительный университет"
А.В. ЛОБОДА
ОДНОРОДНОСТЬ ВЛОЖЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ.
АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ВЕЩЕСТВЕННЫХ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ ПРОСТРАНСТВА C2
МОНОГРАФИЯ
Воронеж 2012
УДК 514.74 + 517.5 + 512:81
ББК 22.161.5 + 22.151.5 + 22.147
Л683
Рецензенты:
В.К. Белошапка, д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры теории функций и функционального анализа
Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова; А.А. Клячин, д-р физ.-мат. наук, доц.,
зав. кафедрой математического анализа и теории функций Волгоградского государственного университета;
В.А. Клячин, д-р физ.-мат. наук, доц., зав. кафедрой компьютерных наук и экспериментальной
математики Волгоградского государственного университета
Лобода, А.В.
Однородность вложенных многообразий.
Л683 Аффинная геометрия вещественных гиперповерхностей
пространства C2 : монография / А.В. Лобода; Воронежский ГАСУ.
-Воронеж, 2012. - 142 с.
Вкниге излагается разработанный автором коэффициентный подход к задаче описания однородных вложенных многообразий. Двумя основными составляющими такого подхода являются использование локальных канонических уравнений изучаемых многообразий и применение методов теории алгебр Ли.
Получено полное решение задачи классификации ростков аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей пространства C2. Показано отличие полученной классификации от известного результата Э. Картана 1932 г., содержащего описание голоморфнооднородных вещественных гиперповерхностей 2-мерных комплексных пространств. Обозначены возможности применения описанных методов к задачам об однородности в пространствах большей размерности.
Библиогр.: 97 назв.
УДК 514.74 + 517.5 + 512.81
ББК 22.161.5 + 22.151.5 + 22.147
ISBN 978-5-89040-397-1 |
c |
Лобода А.В., 2012 |
c Воронежский ГАСУ, 2012
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Предисловие ................................................................................................ |
5 |
Введение ........................................................................................................ |
8 |
ГЛАВА 1. Изучение однородности на основе канонических |
|
уравнений .............................................................................. |
11 |
1.1. Понятие однородности вложенного многообразия ................... |
11 |
1.1.1. Основные определения ......................................................... |
11 |
1.1.2. Современное состояние вопроса ............................................ |
16 |
1.2. Аффинное каноническое уравнение невырожденной по Леви |
|
вещественной гиперповерхности пространства C2 ................... |
21 |
1.3. Алгебра Ли, соответствующая однородной |
|
гиперповерхности ....................................................................... |
29 |
1.4. О канонических уравнених вырожденных по Леви |
|
гиперповерхностей ...................................................................... |
36 |
1.5. Схема исследования однородности с помощью канонических |
|
уравнений..................................................................................... |
40 |
1.6. Интегрирование матричных алгебр Ли. ..................................... |
45 |
ГЛАВА 2. Невырожденные по Леви однородные |
|
гиперповерхности в C2 ...................................................... |
51 |
2.1. Формулировки основных теорем ................................................ |
51 |
2.2. Однородные поверхности с нулевой квадратичной частью ..... |
52 |
2.3. Поверхности трубчатого типа .................................................... |
59 |
2.3.1. Коэффициентные запреты на однородность ....................... |
60 |
2.3.2. Однородные поверхности, не допускающие жестких |
|
уравнений ............................................................................... |
62 |
2.3.3. Аффинно-однородные жесткие поверхности, не сводимые |
|
к трубкам .............................................................................. |
67 |
2.3.4. Оценка размерности алгебры g(M) для поверхностей |
|
трубчатого типа ..................................................................... |
71 |
3
2.3.5. Аффинно-однородные трубки .............................................. |
|
75 |
2.4. Поверхности общего положения .................................................. |
|
79 |
2.4.1. Опорные коэффициенты уравнения однородной |
|
|
поверхности ........................................................................... |
|
80 |
2.4.2. Жесткость однородных поверхностей общего положения |
.. 83 |
|
2.4.3. Однородные поверхности общего положения, |
|
|
не допускающие жестких уравнений ................................... |
|
88 |
ГЛАВА 3. Леви-плоские аффинно-однородные |
|
|
гиперповерхности в C2 ....................................................... |
|
92 |
3.1. Трехпараметрическое семейство однородных поверхностей...... |
92 |
|
3.2. Однородные поверхности веса 2 ................................................. |
|
96 |
3.2.1. Оценка размерности алгебры g(M) для поверхностей |
|
|
веса 2 ......................................................... |
97 |
|
3.2.2. 4-мерные алгебры g(M) для поверхностей веса 2 .............. |
98 |
|
3.2.3. Поверхности веса 2 с 3-мерными алгебрами g(M) ........... |
100 |
|
3.2.4. Интегрирование 3-мерных алгебр ....................................... |
|
103 |
3.3. Поверхности веса 3 ..................................................................... |
|
112 |
3.3.1. Размерность алгебры g(M) для однородных |
|
|
поверхностей веса 3............................................................... |
|
112 |
3.3.2. Однородные поверхности с 4-мерными алгебрами g(M) ... |
115 |
|
3.3.3. Однородные поверхности с 3-мерными алгебрами g(M) ... |
120 |
|
3.4. Поверхности веса 4 ..................................................................... |
|
122 |
Заключение ............................................................................................... |
|
126 |
Библиографичеcкий список ................................................................. |
|
126 |
Приложение 1. Схема коэффициентной классификации |
|
|
однородных гиперповерхностей в C2 |
............................. |
132 |
Приложение 2. Матричные алгебры Ли однородных поверхностей .... |
136 |
|
4
Посвящается памяти
Анатолия Георгиевича Витушкина
ПРЕДИСЛОВИЕ
Основная цель настоящей книги состоит в описании одного класса однородных многообразий.
Отметим, что сходные по сути задачи ставились и решались математиками уже в конце 19-го – начале 20-го веков. Так, описание аффиннооднородных кривых на плоскости было получено школой Бляшке [13]. Поверхности 3-мерного вещественного пространства, однородные относительно различных подгрупп аффинной группы, были описаны в середине 20го века. Тогда же эти описания были включены в учебники по дифференциальной геометрии. Например, в книге [29] приведен "полный" список эквиаффинно-однородных поверхностей пространства R3.
Задачи, связанные с однородностью, изучались также в развивающемся параллельно с геометрией многомерном комплексном анализе. С самых ранних этапов становления этого раздела математики было известно, что в случае нескольких комплексных переменных не верна классическая (одномерная) теорема Римана о голоморфном взаимно-однозначном соответствии любой односвязной области с "большой" границей единичному шару.
Одной из причин этого является голоморфное различие границы произвольной области в пространстве Cn(n > 1) и сферы. Более того: две произвольные вещественные гиперповерхности пространства Cn, как правило, не сводимы голоморфными преобразованиями друг к другу. Названный прицип справедлив даже в локальном варианте. Как следствие два ростка одной и той же поверхности (даже связанные с близкими ее точками) оказываются, как правило, различными с голоморфной точки зрения.
Втакой ситуации оправданным является интерес к "исключительным" гиперповерхностям, которые являются "одинаковыми" во всех своих точках, т.е. однородными относительно голоморфных преобразований.
В1932 г. Э. Картан построил в [48] полный список голоморфно однородных вещественных гиперповерхностей 2-мерных комплексных пространств. Отметим, что в голоморфной геометрии в отличие от аффинного случая понятие однородности оказывается существенно более локализованым и связанным лишь с псевдогруппой локально определенных голоморфных отображений [53], а не с группой глобально определенных преобразований. Впро-
5