Материал: Однородность вложенных многообразий. Афинная геометрия вещественных гиперповерхностей пространства C2. Лобода А.В
Takagi // Osaka J. Math. – V. 19 (1973). – P. 495 - 506.
87.Туманов, А.Е. Геометрия CR-многообразий /А.Е. Туманов // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.- М.: ВИНИТИ.-1986.- Т.9.- С. 225 - 246.
88.Fels, G. Classification of Levi degenerate homogeneous CR-manifolds in dimension 5 / G. Fels, W. Kaup // Acta Math. – V. 210(2008). – P. 1 - 82.
89.Vrancken, L. Degenerate homogeneous surfaces in R3 / L. Vrancken // Geom. Dedic.
–V. 53 (1994). – P. 333 - 351.
90.Фукс, Б. А. Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных / Б.А. Фукс.- М., Физматлит, 1963.- 428 с.
91.Хелгасон, C. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства/ С. Хелгасон, М.: Мир, 1964.- 536 с.
92.Chern, S. S. Real hypersurfaces in complex manifolds/ S. S. Chern, J. K. Moser //Acta Math. – 1974 – 133, N 3. – P.219 - 271.
93.Чирка, Е.М. Введение в геометрию CR-многообразий /Е.М. Чирка // УМН, 46:1(277) (1991).- С. 81-164.
94.Шабат, Б.В. Введение в комплексный анализ / Б.В. Шабат.- М.: Наука, 1976. - 2-е изд., т. 2 - 400 с.
95.Sharipov, R., On CR-mappings between algebraic Cauchy-Riemann manifolds and separate algebraicity for holomorphic functions / R. Sharipov, A. Sukhov // Trans. of the Amer. Math. Soc.- V. 348.- N 2. 1996. - P. 767 - 780.
96.Широков, А.П. Аффинная дифференциальная геометрия / Широков А.П., Широков П.А. - М.: Физматгиз, 1959. - 319 с.
97.Yang, P.C. Automorphisms of tube domains/P.C. Yang // Amer. J. Math. V. 104(1982), P. 1005 - 1024.
131
Приложение 1 Схема коэффициентной классификации
однородных гиперповерхностей в C2
I. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ(3 dimR g(M) 5)
Каноническое уравнение произвольной невырожденной по Леви гиперповерхности имеет вид
X
v = jzj2+"(z2+z2)+i (z z)u+(f300z3+f210z2z+f120zz2+f030z3)+ fklmzkzlum;
k 4
где
"0; 2 f0; 1g:
1.Поверхности с нулевой квадратичной частью в уравнении
"= 0; f101 = i = 0:
В этом случае
f300 = 0; f210 = 0; f201 = 0; f400 = 0; f310 = 0; f301 = 0; |
f002 2 f 1; 0; 1g: |
|
f002 |
= 0 - имеется единственная поверхность |
|
|
v = jzj2; |
(4:1) |
f002 |
= 1 - имеется единственная поверхность |
|
|
jzj2 + jwj2 = 1; |
(4:2) |
f002 |
= 1 - имеется единственная поверхность |
|
|
jzj2 jwj2 = 1; |
(4:3) |
2.Поверхности трубчатого типа
"= 1=2; f101 = i 2 fi; 0g; if210 2 R:
= 1 - нет однородных поверхностей;
= 0. Тогда f002 2 f 1; 0; 1g
2.1.f002 = 1 - нет однородных поверхностей;
2.2.Случаю f002 = 1 соответствует 1-параметрическое семейство однородных поверхностей
Re(zw) = jzjeB arg z; |
(4:4) |
132
p
спараметром B = 3 2f102=2:
2.3.В случае f002 = 0 можно считать, что
f210 2 fi; 0g:
а) при f210 = i имеется семейство поверхностей |
|
v = jzjB arg z; B 2 R; |
(4:5) |
б) если f210 = 0, то f400 2 R; f301 = 0: При этом можно считать, |
|
что |
|
f400 2 f 1; 0; 1g: |
|
В случае f400 = 0 имеется единственная однородная поверхность |
|
v = 2x2; |
(4:6) |
случаям f400 = 1 соответствует семейство всех трубчатых поверхно- |
|
стей с аффинно-однородными основаниями |
|
1) y = xs ( 1 s < 1); |
(4:7) |
2) y = ln x; |
(4:8) |
3) y = x ln x; |
(4:9) |
4) r = ea' a 0: |
(4:10) |
Параметром этого семейства трубок является f500 2 R. |
|
3. Поверхности общего положения |
|
|
|
0 < " 6= 1=2; f101 = i = 0 |
|
Опорный набор коэффициентов |
|
||
|
|
ff210; f201; f002g: |
|
1.1. Если f002 = 0; f201 = 0; то поверхность - жесткая. При этом усло- |
|||
виям: |
|
|
|
а) f002 = 0; |
f201 |
= 0; f210 = 0 |
|
соответствуют жесткие квадрики |
|
||
|
|
v = jzj2 + "(z2 + z2) |
(4:11) |
б) f002 = 0; |
f201 |
= 0; f210 6= 0 |
|
133
- жесткие обобщения логарифмических спиралей
v = jzjAeB arg z; A 2 R n f1g: |
(4:12) |
1.2. Случаям
f002 6= 0 или f201 6= 0
соответствуют обобщения логарифмических спиралей
Re(zw) = jzjAeB arg z; A 2 R n f1g; B 2 R; |
(4:13) |
не допускающие жестких уравнений.
В частности, равенству f002 = 0 отвечают поверхности (2) с A = 2.
Замечание. Формулы, описывающие семейства (4.12) и (4.13), являются "естественными" обобщениями аналогичных формул (4.5) и (4.4). Однако с коэффициентной точки зрения семейства (4.12) и (4.5) (и, соответственно (4.13) и (4.4)) соответствуют разным типам однородных многообразий.
II.ЛЕВИ-ПЛОСКИЕ ОДНОРОДНЫЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
1.Поверхности веса 2 (3 dimR g(M) 4 )
X |
|
v = (z2 + z2) + (f300z3 + f030z3) + Fk(z; z; u); |
(4:14) |
k 4
В зависимости от значений коэффициентов f300; f201; = f002 имеется несколько типов поверхностей.
1.1. f300 = f201 = f002 = 0
Здесь имеется единственная однородная поверхность |
|
|||
v = z2 + z2: |
|
|
(4:15) |
|
У нее dimR g(M) = 4. |
|
|
|
|
Для остальных поверхностей веса 2 dimR g(M) = 3. |
|
|||
1.2. f002 6= 0. |
|
|
|
|
Здесь имеется семейство поверхностей |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
jw z2j = eB arg(w z |
); B = |
|
2 R: |
(4:16) |
2 |
||||
134
1.3. f300 6= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь имеется два исключительных семейства поверхностей |
|
|||||||||
a) v = e 2i ln(1 + ei z) + e2i ln(1 + e i z); 2 ( |
|
|
|
|
||||||
|
; |
|
): |
(4:17) |
||||||
4 |
4 |
|||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) Re |
wei (z ei w ln w) = 0; |
|
|
|
|
|
||||
2 ( |
|
; |
|
|
]: |
|
(4:18) |
|||
4 |
4 |
|
|
|||||||
1.4. Все остальные поверхности веса 2 - это поверхности из 3-параметри- |
||||||||||
ческого семейства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jzjA1 jwjA2 = earg(zB1 wB2 ); (A1; A2; B1; B2) 2 RP3: |
(4:19) |
|||||||||
1. Поверхности веса 3 (3 dimR g(M) 5 ) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = (z + z)u + F3(z; z) + |
Fk(z; z; u); |
|
|
|
|
|
(4:20) |
|||
k 4
Здесь все однородные поверхности принадлежат (с точностью до аффинной эквивалентности) 3-параметрическому семейству (4.19). Наиболее
интересная поверхность веса 3 - это конус |
|
jzj2 jwj2 = 0: |
(4:21) |
Ее алгебра g(M) имеет размерность 5. Любая другая поверхность веса 3 эквивалентна либо конусу, либо одному из "билефельдских вееров"
|
w |
|
|
w |
(4:22) |
|
z |
= exp B arg( z ) ; (B = ctg ): |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упоследних поверхностей алгебра g(M) трехмерна.
3.Поверхности веса 4
Любая однородная поверхность веса 4 – это поверхность с уравнением
X |
|
v = u2 + Bkuk; |
(4:23) |
k 3
являющаяся произведением одной комплексной плоскости на логарифмическую спираль (заданную каноническим уравнением) из другой комплексной плоскости. Алгебра g(M) для любой такой поверхности является 7-мерной.
4. Поверхность бесконечного веса
Здесь имеется единственная с точностью до аффинных преобразований однородная поверхность, а именно вещественная гиперплоскость с (каноническим) уравнением
v = 0:
135