Материал: Однородность вложенных многообразий. Афинная геометрия вещественных гиперповерхностей пространства C2. Лобода А.В

Предложение 3.23. С точностью до аффинной эквивалентности все интегральные многообразия для алгебр из предложения 3.22 являются поверхностями из 3-параметрического семейства (3.2).

Для доказательства предложения 3.23 рассмотрим в первую очередь группы линейных преобразований, порожденные алгебрами g1.

Несложно проверить, что при 2 (0; =2) [ ( =2; ) орбитами этих групп являются билефельдские вееры

При = 0 и = =2 получаем конусы вида

w

= 1 или Im(zw) = 0

z

сответственно.

Каждая из остальных алгебр из предложения 3.22 подобна одной из 3- мерных подалгебр алгебры конуса (3.69). Следовательно, их интегральные поверхности являются аффинными образами конуса, входящего в семейство (3.2).

Доказательство предложения 3.23, а с ним и теоремы 3.2 завершено.

Завершая весь раздел, связанный с поверхностями веса 3, отметим, что одно из первых его утверждений, а именно, предложение 3.3, не допускает обращения.

В самом деле, размерность алгебры g(C) всех аффинных векторных полей на конусе C = fIm(zw) = 0g, относящемуся к 3-параметрическому семейству (3.2), равна не 3, а 5. При этом в 5-мерной алгебре g(C) имеются подалгебры размерности 3 и 4, для каждой из которых интегральным многообразием является аффинный образ поверхности C. Трехмерные подалгебры g(C) не являются (см. Предложение 3.22) аффинно диагонализируемыми.

Группы аффинных преобразований, соответствующие всем построенным подалгебрам конуса, легко выписываются. Например, для алгебры g(0(3);0)

121

из предложения 3.22 эта группа состоит из преобразований

(z; w) ! (z; w); 2 C; (z; w) ! (z + tw; w); t 2 R:

§ 3.4. Поверхности веса 4

Теперь нам остается расмотреть последний случай, в рамках которого обсуждаемая афффинно-однородная поверхность M веса 4 задается уравнением

k 5

Предложение 3.24. Если вещественная гиперповерхность (3.83) аф- финно-однородна, то в действительности ее уравнение имеет еще более специальный вид

k 7

а параметры любого линейного векторного поля Z, касательного к поверхности M, удовлетворяют ограничениям

Для доказательства этого предложения рассмотрим, как и в предыдущих разделах книги, младшие компоненты основного тождества для обсуждаемой поверхности M.

Из тождества веса 0, как всегда, вытекает условие вещественности параметра q, а компонента веса 1 превращается здесь в равенство B1 = 0:

Вместо общего уравнения веса 2

(3:86)

получаем здесь

Re 12q@F@u4 + 2i B2u = 0:

Это означает, что выполняется второе равенство из (3.85),т.е.

B22 = ImB2 = 2q:

122

В силу равенства нулю младших коэффициентов канонического уравнения (3.83) компонента веса 3 также упрощается. Ее (3,0,0)-, (2,1,0)- и (1,0,1)-

т. что уравнение поверхности упрощается до требуемого вида (3.84).

Самую интересную часть компоненты веса 4 составляет (0,0,2)-уравнение

Предложение 3.24 доказано.

123

Следствие. Для алгебры G(M), соответствующей аффинно-однородной вырожденной гиперповерхности веса 4 справедлива следующая оценка размерности

dimR g(M) 7:

В самом деле, в дополнение к основной тройке (p; q) свободными в алгебре g(M) в силу предложения 1 могут быть лишь два комплексных параметра A1 и A2.

Теперь мы можем доказать основной результат этого параграфа.

ТЕОРЕМА 3.3. Любая аффинно-однородная вырожденная гиперповерхность M веса 4 в пространстве C2(z;w) аффинно-эквивалентна декартову произведению логарифмической спирали, лежащей в плоскости Cw, на плоскость Cz. Размерность группы аффинных преобразований, транзитивно действующей на любой такой поверхности, равна 7.

Для доказательства заметим, во-первых, что все слагаемые канонического уравнения (3.84) однородной поверхности веса 4 свободны от переменных z; z и однозначно определяются вещественным коэффициентом= f003. Это легко устанавливается из индуктивного рассмотрения компонент веса k основного тождества.

Следовательно, существует не более чем 1-параметрическое семейство аффинно-однородных поверхностей обсуждаемого вида. Все такие поверхности имеют 7-мерные группы аффинных преобразований, свободно действующие в направлении переменной z. Это означает, что все они являются произведениями некоторых кривых в плоскости Cw на плоскость Cz.

В силу свойства аффинной однородности любой такой поверхности, "опорная" кривая для нее является аффинно-однородной кривой относительно комплексных аффинных преобразований плоскости одной комплексной переменной w.

Теперь для завершения доказательства достаточно учесть существование логарифмических спиралей

являющихся аффинно-однородными (как в вещественном, так и в комплексном смысле) кривыми в плоскости Cw. Это означает, что декартово (прямое) произведение любой такой спирали на второй экземпляр комплексной плоскости Cz является аффинно-однородной вещественной 3-мерной гиперповерхностью в 2-мерном комплексном пространстве C2 = Cz Cw: Эта поверхность вырождена по Леви в силу своей расслоенной структуры, и ее уравнение (в любой точке) после аффинного преобразования переменной w

124

несложно записать в виде

XX

являющемся частным случаем уравнения (3.90). Коэффициенты Dk из этого уравнения определяются параметром B из уравнения (3.94).

Никаких других однородных поверхностей веса 4 не существует поскольку помимо логарифмических спиралей не существует других плоских кривых, являющихся однородными относительно комплексных аффинных преобразований. Этот факт является простым свойством полного списка плоских аффинно-однородных кривых (см. Теорему 1.1 в §1.1).

Напомним, что (помимо спиралей) в этот список входят графики степенных функций v = u ; 2 [ 1; 1) и еще две кривые v = ln u и v = u ln u. Аффинные преобразования, реализующие однородность любой из этих кривых, являются веществеными (но не комплексными !) аффинными преобразованиями.

Теорема 3.3 доказана.

Пример 9. 7-мерная группа аффинных преобразований поверхности (3.95) состоит из преобразований

где t 2 R; A1; A2; p 2 C. При этом вторая формула в (3.96) означает сдвиг вдоль спирали, реализуемый умножением на текущую точку этой спирали. В стандартных декартовых координатах такое преобразование записывает-

ся в виде

w = e(B+i)tw:

Использование канонической координатной системы несколько усложняет соответствующую формулу. Ее точный вид можно определить из рассмотрения 7-мерной алгебры Ли, отвечающей поверхности (3.95) и имеющей базис

Замечание. При B = 0 спираль с уравнением (3.94) превращается в окружность fjwj = 1g 2 Cw.

125