Материал: Однородность вложенных многообразий. Афинная геометрия вещественных гиперповерхностей пространства C2. Лобода А.В

проходящую через точку 1 2 C .

Наконец, при = =4 коэффициент оказывается вещественным (спираль выпрямляется).

В случае простого спектра у матрицы E1 из базиса (3.36) (или, что то же самое, (3.50))

это 3-параметрическое семейство алгебр разбирается достаточно просто.

Предложение 3.15. В случае простого спектра у матрицы E1 из базиса (3.36) алгебра с таким базисом аффинно-диагонализируема.

Для доказательства обозначим через ! один из квадратных корней из ненулевого комплексного числа A2 + 16iB:

Тогда непосредственная проверка показывает, что подобие с матрицей

диагонализирует любую из рассматриваемых алгебр, переводя базис (3.50)

в

где 1; 2 - собственные значения матрицы E1, взятые в произвольном порядке

В силу предложения 3.3 из начала главы этим доказывается важное следствие.

Следствие. В случае простого спектра у матрицы E1 из базиса алгебры (3.36) соответствующая алгебре аффинно-однородная поверхность аффинно эквивалентна одной из поверхностей 3-параметрического семейства (3.2).

Завершая этот параграф, остается заметить, что три семейства (3.38) (при r = 1) и (3.41) имеют вид (3.50). При этом условие r = 1 (семейства (3.38)) означает, что матрица E1 имеет простой спектр. Тогда в силу только что полученного следствия любой алгебре из этих двух семейств соответствуют поверхности из 3-параметрического семейства (3.2). То же

111

самое справедливо и относительно поверхностей семейства (3.41), отвечающих ненулевым значениям параметра .

Наконец, при = 0 формулы (3.41) задают тот же базис, что и формулы (3.40) при дполнительном условии 3 = 0. В этом случае алгебра (3.41) является подалгеброй (3.27), а потому ей соответствует аффиннооднородная квадрика (3.15).

Теорема 3.1 полностью доказана.

Замечание. Можно еще проверить, что все построенные в этой теореме поверхности являются именно теми поверхностями, которые разыскивались в каждой конкретной ситуации. Для этого необходимо привести уравнение каждой из этих поверхностей к каноническому виду и убедиться, что, например, коэффициент f300 имеет для них требуемый вид.

Эти вычисления мы здесь не приводим.

§3.3. Поверхности веса 3

Основным результатом данного раздела является следующее утвержде-

ние.

ТЕОРЕМА 3.2. Любая аффинно-однородная вырожденная по Леви гиперповерхность веса 3 пространства C2 аффинно-эквивалентна вблизи любой своей неособой точки одной из поверхностей 3-параметрического семейства (3.2).

3.3.1. Размерность алгебры g(M) для однородных

поверхностей веса 3

Как и в случае поверхностей веса 2 здесь также предлагается рассмотреть младшие (до веса 4) компоненты основного тождества. Так получаются следующие формулы для поверхностей веса 3:

112

Эти формулы означают, что семь из восьми вещественных параметров, составляющих комплексную 2x2-матрицу

выражаются через (p; q) и параметр B21. Свободными параметрами в алгебре g(M) векторных полей на однородной поверхности M могут быть помимо сдвиговых компонент (p; q) лишь коэффициенты A22 и B21 матрицы (3.68).

Следовательно, имеется оценка

3 dimR g(M) 5

для однородных поверхностей из этого случая.

Предложение 3.16. С точностью до аффинных преобразований существует единственная Леви-плоская гиперповерхность веса 3, имеющая 5-мерную алгебру g(M) в любой своей неособой точке. Эта поверхность -

конус (3.13), т.е.

jzj2 jwj2 = 0;

а базис вида (1.44) соответствующей алгебры имеет вид:

Схема доказательства этого предложения аналогична предыдущим рассуждениям. Из общей матрицы

получаемой с учетом формул (3.64)-(3.67) и равенства

A2 = ( 1=2) (f002B21 + (f102p + f012p) + 3f003q) + iA22;

формируются пять гипотетических базисных матриц E1; :::; E5, соответствующих простейшим наборам параметров (p; q; A22; B21), т.е

(1; 0; 0; 0); (i; 0; 0; 0); (0; 1; 0; 0); (0; 0; 1; 0); (0; 0; 0; 1):

113

Настоящий базис (3.69) появляется из проверки условий замкнутости линейной оболочки матриц E1; :::; E5 относительно скобки. Всего имеется 10 = C52 таких попарно различных скобок для пяти базисных матриц. В процессе упомянутой проверки устанавливаются коммутационные соотношения в изучаемой 5-мерной алгебре:

[E1; E2] = [E1; E3] = [E1; E4] = [E1; E5] = 0;

[E2; E3] = 2E3; [E2; E4] = 2E4;

[E2; E5] = 0; [E3; E4] = E2 2E5; [E3; E5] = E3; [E4; E5] = E4:

Далее остается проинтегрировать алгебру (3.69). Система уравнений в частных производных, отвечающих полям (3.69), имеет вид:

с произвольной аналитической функцией G(X; y). Подстановка (3.72) в третье уравнение системы приводит к формуле

(1 2y)G 2x = 0;

означающей, что решением всей системы (5.34) может быть только функция

Легко проверяется, что найденная функция (3.73) удовлетворяет и всем остальным уравнениям обсуждаемой системы (первому, второму и четвертому). Остается заметить, что уравнение

v = 12xu2y;

получаемое из (3.73), можно записать в виде

2xu + v(2y 1) = 0:

После аффинного преобразования z ! (z + i=2); w ! w получаем здесь xu + yv = 0 или

114

Еще одной линейной заменой координат в пространстве C2 последнее уравнение превращается в уравнение конуса (3.13).

Предложение 3.16 доказано.

Замечание. Выше уже говорилось, что конус является одной из линей- но-однородных поверхностей 3-параметрического семейства (3.2). Переход от алгебры (3.69) к алгебре, акцентирующей это свойство конуса, осуществляется например, подобием, с матрицей

состоящей из собственных векторов матрицы E1 из (3.69). При этом весь набор (3.69) примет вид

Далее мы рассмотрим возможные меньшие размерности для алгебр в этом случае. Для упрощения работы с матрицами вида (3.70), составлящими такие алгебры (любых размерностей), введем новые параметры, полагая

= f002; = Ref102; = Imf102; = f003:

3.3.2.Однородные поверхности с 4-мерными алгебрами g(M)

Интересуясь всеми возможными 4-мерными алгебрами требуемого вида (3.70), отметим, что мы уже имеем много информации о трех первых базисных матрицах такой алгебры, отвечающих стандартной тройке наборов (p; q), т.е. (1; 0), (i; 0), (0; 1). Остается лишь учесть возможные ненулевые значения параметров B21 и A22 в этих матрицах.

У четвертой базисной матрицы гипотетической алгебры последний столбец можно считать нулевым. Тогда в соответствии с (3.37) она должна иметь вид

115