Материал: Однородность вложенных многообразий. Афинная геометрия вещественных гиперповерхностей пространства C2. Лобода А.В

из таких условий можно получить следующие ограничения на входящие в (3.29) параметры:

В качестве первого подслучая мы разберем ситуацию, в которой

Замечание. В этой ситуации растяжением переменных коэффициент f300 = + i можно поместить, например, на единичную окружность: f300 2 S1. Более того, дугу единичной окружности, достаточную для рассмотрения всех поверхностей из этого случая, можно сделать весьма малой. В самом деле, замена z ! z сохраняет вид уравнения

но изменяет знак коэффициента f300 в нем. Следовательно, можно вместо полной окружности

S1 = fei; 2 [0; 2 )g

рассматривать лишь ее половину (расположенную в любом месте, например,

2 ( =2; =2].)

Еще одна замена z ! iz; w ! w также сохраняет вид (3.33), но превращает f300 в if300. Комбинируя замены двух этих типов, всегда можно добиться выполнения условия

Предложение 3.8. В случае m = 0; n = 0; f300 6= 0 существует семейство (коммутативных) матричных алгебр с базисами вида (3.29), зависящее от 3-х вещественных параметров

(3:36)

101

Если при m = 0; n = 0; f300 = 0 отличен от нуля коэффициент r = Ref102, то его можно сделать за счет сжатия переменных равным 1.

Предложение 3.9 В случае m = 0; n = 0; f300 = 0; r = Ref201 = 1

выполняются дополнительные ограничения

Замечание. Формально (3.38) совпадает с (3.36) при подстановке f300 = 0. Однако, имеется еще отличие этого случая от (3.36), связанное с условием r = 1, которого не было ранее.

Предложение 3.10. В случае

имеется два типа алгебр с базисами вида (3.29). Базис первого типа имеет вид:

102

Замечание. Базис (3.41) совпадает по форме с (3.38) при условиях

Перейдем теперь к расмотрению второго основного случая, связанного с условием

m2 + n2 6= 0:

Здесь справедливо следующее утверждение.

Предложение 3.11. Базис 3-мерной алгебры (3.29), подчиняющийся условиям f300 = 0; m2 + n2 6= 0; обязан иметь вид

Несложно проверяется, что при любых вещественных m; n матрицы (3.43), действительно, образуют базис 3-мерной алгебры с коммутационными соотношениями

[E1; E2] = nE1 + mE2; [E1; E3] = 2mE3; [E3; E2] = 2nE3: (3:44)

3.2.4. Интегрирование 3-мерных алгебр

Выше нами получены несколько типов 3-мерных алгебр, относящихся

кповерхностям веса 2. Это:

1)3-параметрическое семейство (3.36);

2)три 1-параметрических семейства (3.38) с ограничениями а) (3.37),т.е. r = 1 и б) (3.41), т.е. r = 0;

3)2-параметрическое семейство (3.40);

4)2-параметрическое семейство (3.43).

Теперь необходимо найти интегральные поверхности (орбиты) этих алгебр, проходящие через начало координат пространства C2. При этом, разумеется, интерес представляют лишь новые поверхности, не упоминавшиеся выше.

103

Отметим в связи с этим, что семейство (3.43) не дает новых однородных п товерхностей. Дело в том, что каждая из алгебр этого семейства является подалгеброй 4-мерной алгебры (3.27). Тогда в силу предложения 1.11 из §1.6 интегральным многообразием любой такой алгебры, содержащим начало координат, является известная уже поверхность (3.28), т.е.

v = z2 + z2:

Замечание. Алгебры из 2-параметрического семейства (3.40) являются подалгебрами 4-мерной алгебры (3.28) лишь при нулевом параметре .

При интегрировании семейства (3.40) с ненулевыми значениями параметра возникают определенные трудности. Связано это с тем, что матрица E1 (как и E2) имеет здесь жорданову клетку 3-го порядка. Матрица E3 дигонализируема, но имеет комплексные (с ненулевыми мнимыми частями) собственные значения, что тоже плохо сказывается на интегрировании системы уравнений в частных производных, отвечающих данным алгебрам.

Поэтому мы сначала построим параметрические описания искомых поверхностей, а затем из них получим координатные представления.

Предложение 3.12. При условии 6= 0 интегральными многообразиями алгебры (3.40) являются поверхности

Доказательство.

Рассмотрим вместо алгебры (3.40) подобную ей алгебру, в которой первая базисная матрица E1 имеет жорданов нормальный вид. Это достигается за счет подобия g ! S 1gS с матрицей

где = 3=2 + i .

104

Для новых базисных матриц вычислим экспоненты (t; s; r - вещественные параметры)

Переходя из обсуждаемого пространства C2 в проективное комплексное пространство CP2, будем представлять все точки, близкие к началу координат C2, набором трех координат. При этом третья координата должна быть ненулевой; можно для простоты полагать ее равной, например, единице.

Так мы получаем техническую возможность применять линейные преобразования, заданные квадратными матрицами 3-го порядка, к точкам (векторам) исходного комплексного пространства C2, по сути игнорируя в образе такого преобразования третью координату.

Применяя теперь (в рассмотренном смысле) к точке (0; 0) пространства C2 поочередно преобразования из 3-х выписанных однопараметриче-

В координатах

z = 1 + 8i z; w = 2pi w

(3.48) можно записать (опуская звездочки) в виде e2 r = (z w2):

Логарифмируя полученное уравнение, достаточно теперь выразить параметр r из мнимой части и подставить его выражение в вещественную часть уравнения, получаемого после логарифмирования.

105