Материал: Однородность вложенных многообразий. Афинная геометрия вещественных гиперповерхностей пространства C2. Лобода А.В

g3(t) = fz = eitz; w = e(B+i)tw; t 2 U(0)g:

Наличие этих однопараметрических групп и порождаемых ими 3-мерных групп Ли по сути доказывает однородность поверхностей (2.91). Алгебры Ли, отвечающие этим группам и поверхностям, имеют в матричном изображении базисы

(2:92)

Несложно убедиться, что и обратное утверждение также верно с учетом следующего уточнения:

если A и B - произвольные вещественные числа, и точка Q(z0; w0) не лежит на конусе

то интегральное многообразие алгебры (2.92), проходящее через Q, есть в точности поверхность (2.91) с заданными A и B.

Остается заметить, что любая алгебра с базисом (2.89) превращается подобием в алгебру с базисом (2.92). Например, при = 0 подобие реализуется матрицей

состоящей из собственных векторов первой матрицы базиса (2.89). Напом-

ним, что здесь

x + iy = f210" ; x 6= 0; y 6= 0:

Ссылка на утверждение о единственности интегральной гиперповерхности завершает рассуждение в этом случае.

Случай 6= 0 рассматривается аналогично. Громоздкие (хотя и содержащие изящные фрагменты) арифметические выкладки мы здесь не приводим.

Замечание. Уточнение о конусе (2.93) здесь существенно, т.к. эта вырожденная по Леви поверхность также является интегральным многообразием для алгебр (2.92).

91

ГЛАВА 3. Леви-плоские аффинно-однородные

гиперповерхности в C2

Основным содержанием этой главы является доказательство теоремы 1.4. Как и доказательство теоремы 1.3 в предыдущей главе оно будет собрано "по частям" из нескольких отдельных случаев. В качестве особенности этой главы отметим, что здесь мы не будем стремиться к определению всех коэффициентов канонического уравнения из весовых компонент основного тождества. Вырожденность канонических уравнений сильно усложняет такое определение, заставляя рассматривать для этого компоненты довольно больших весов.

Больший акцент в этой главе делается на алгебраическую структуру семейства векторных полей, касательных к изучаемым однородным поверхностям. В силу замкнутости этого семейства относительно скобки наличие даже грубой предварительной информации о таких полях позволяет восстановить всю алгебру в точном виде. Это делается по сути в рамках компьютерных алгоритмов, аналогичных примененным во второй главе.

Еще одно отличие настоящей главы от предыдущей состоит в том, что она начинается с рассмотрения большого семейства примеров однородных поверхностей.

§3.1. Трехпараметрическое семейство однородных поверхностей

Пусть

- ненулевой набор вещественных чисел. С таким набором можно связать вещественно-аналитическую гиперповерхность M, заданную вблизи (неособой) точки Q(1; 1) уравнением

Ясно, что поверхность, описываемая уравнением (3.2), не изменяется при умножении каждого из чисел четверки (A1; A2; B1; B2) на ненулевую вещественную константу. Это дает повод обсуждать набор (3.1) как точку проективного пространства RP3. Однако с точки зрения аффинной эквивалентности обсуждаемых поверхностей такой способ представления наборов (3.1) также не является окончательным. Например, замена переменных

92

z $ w позволяет не различать поверхности (3.2), отвечающие наборам с одновременно переставленными элементами в парах (A1; A2) и (B1; B2).

Предложение 3.1. Для любого ненулевого набора (3.1) поверхность (3.2) однородна (вблизи точки Q(1; 1)) относительно линейных преобразований пространства C2.

Для доказательства достаточно предъявить 3-мерную подгруппу группы GL(2; C), транзитивно действующую на поверхности M вблизи точки

Q(1; 1).

Для набора (A; 1; B1; B2), получающегося из произвольной четверки (3.1) с ненулевым A2, такую группу образуют "комплексные растяжения" R(z; w) ! R (z ; w ), определяемые формулами

где t; '1; '2 - вещественные параметры. При этом t изменяется вблизи единицы, а '1; '2 - вблизи нуля.

Легко проверяется, что при любых (t; '1; '2) формулы (3.3) преобразуют поверхность (3.1) в себя. Транзитивность действия такой группы на поверхности M (вблизи т. Q(1; 1)) вытекает из того, что генераторы

группы (3.3), т.е. матрицы

порождают в этой точке 3-мерное вещественное пространство.

Для набора (0; 0; B; 1), получающегося из четверки (3.1) с двумя нулевыми A-координатами, группа (3.3) заменяется на

где t1; t2 2 U(1); ' 2 U(0) - вещественные параметры.

Вместо (3.4) получаем здесь для (3.5) также линейно независимые над R генераторы

93

Предложение 3.1 доказано.

Заметим, что вместо точки Q(1; 1) можно рассмотреть произвольную точку Q0(z0; w0) с координатами z0 6= 0; w0 6= 0, удовлетворяющими уравнению (3.2) для фиксированного набора (A1; A2; B1; B2). Вблизи Q0 поверхность (3.2) также является линейно-однородной орбитой этой точки под действием группы (3.3) или (3.5).

Легко проверяется справедливость следующего утверждения, связанного с линейной однородностью обсуждаемого семейства поверхностей.

Предложение 3.2. С точностью до матричных подобий алгебрами с базисами (3.4) и (3.6) исчерпываются все диагональные матричные подалгебры алгебры Ли gl(2; C), имеющие вещественную размерность 3.

Ясно, что из линейной однородности поверхностей (3.2) следует и их однородность относительно более широкой аффинной группы Aff(2; C). При этом матричные алгебры Ли, отвечающие аффинно-однородным поверхностям (3.2) и группам (3.3) и (3.5), имеют базисы

и

соответственно.

Ниже мы будем приводить многие из обсуждаемых алгебр Ли, соответствующих аффинно-однородным гиперповерхностям пространства C2, к диагональному виду, аналогичному (3.7) или (3.8).

В силу сформулированного выше предложения 3.2 это означает справедливость еще одного важного утверждения.

Предложение 3.3. Пусть вещественная гиперповерхность M 2 C2 аффинно-однородна вблизи некоторой своей точки . Если соответствующая M алгебра g(M) является 3-мерной аффинно - диагонализируемой алгеброй, то поверхность M аффинно эквивалентна (вблизи точки ) одной из поверхностей 3-параметрического семейства (3.2).

Для доказательства предложения 3.3 рассмотрим уже диагонализированную алгебру g(M) и точку (z0; w0) пространства C2, в которую переходит под действием диагонализирующего аффинного преобразования.

94

Матричная экспонента диагональной матрицы также является диагональной матрицей. Поэтому все групповые преобразования, соответствующие диагональной алгебре, являются комплексно-линейными растяжениями. Это означает, что обе координаты точки - ненулевые (т.к. иначе орбита точки под действием транзитивной группы G(M) лежала бы на одной из координатных плоскостей пространства C2, что невозможно для вещественной гиперповерхности).

Тогда еще одним линейным (и даже диагональным) преобразованием

z = z ; w = w z0 w0

пространства C2 эта точка переводится в (1; 1). Диагональная алгебра g(M) сохранится при таком переходе неизменной.

По теореме Фробениуса через точку (1,1) проходит единственное интегральное многообразие любой алгебры, в частности g(M). Но алгебра g(M) совпадает в силу своей диагональной структуры с одной из алгебр, отвечающих 3-параметрическому семейству поверхностей (3.2). Следовательно, и поверхность M совпадает с соответствующей поверхностью этого семейства.

Предложение 3.3 доказано.

Замечание 1. В 3-параметрическом семействе (3.2) имеется много интересных частных случаев. Это, например:

а) вещественная гиперплоскость { v = 0 }, представленная уравнением

лежащих в плоскости Cw, на плоскость Cz;

г) "билефельдские вееры линейчатые логарифмически спиральные по-

95