Материал: Однородность вложенных многообразий. Афинная геометрия вещественных гиперповерхностей пространства C2. Лобода А.В
Первое поле представляет собой генератор вращения в плоскости z. Поэтому всякое решение F (z; z) соответствующего дифференциального урав-
нения
y@F@x + x@F@y = 0
зависит только от радиальной переменной r = jzj и имеет вид F = f(jzj) с произвольной аналитической вне нуля функцией f.
Второе уравнение в вещественных координатах имеет вид x@F@x + y@F@y = mF;
где m = 2=(1 + 2").
Его левая часть представляет собой известный дифференциальный оператор r@F =@r, в силу чего любая из искомых поверхностей описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
rf0(r) = mf:
Это означает, что уравнение любой интегральной поверхности любой
из алгебр (2.78) имеет в обсуждаемом случае вид |
|
v = Cjzj2=(1+2"): |
(2:79) |
В итоге либо эта поверхность - плоскость (при C = 0), либо одна из поверхностей (2.77) при = 2=(1 + 2"). Заметим при этом, что случай плоскости v = 0 невозможен для точки Q с ненулевой координатой v0 =
Imw0.
Уточним также , что при 0 < " 6= 1=2 показатель степени в (2.79) принимает любые значения из объединения промежутков (0; 1) [ (1; 2).
Первый случай из обсуждаемого предложения (т.е. = 0; = 1) рассматривается аналогично. Здесь параметр из (2.77) определяется форму-
лой
2= 1 2":
Предложение 2.21 доказано.
Замечание. Вместо непосредственного интегрирования алгебры с базисом (2.78) можно было сослаться на лемму 6 из раздела 2.3.3. Базис (2.78) удовлетворяет условиям этой леммы при C = 2=(1 + 2"); D = 0:
Предложение 2.23. Любая аффинно-однородная поверхность, отвечающая алгебре (2.76) при
= Re |
f210 |
6= 0; = Im |
f210 |
6= 0; |
(2:80) |
" |
" |
86
аффинно эквивалентна одной из жестких поверхностей
v = jzjCeD arg z; C 2 R n f1g; D 2 R n f0g:
В этом случае мы введем для доказательства упрощающие обозначения
A = 1 2"; B = 1 + 2"
и перейдем к подобной алгебре. Здесь мы используем подобие с матрицей
S = |
0 |
|
2i=B |
1 |
iB= ( A + i B) |
1 |
; |
|
@ |
(2 A) i B 0 |
1=( A + i B) |
A |
|
||
|
|
0 |
0 |
1 |
|
||
переводящее любую из алгебр (2.76) в алгебру с базисом |
|
1 |
|
||||||||||||
E1 = |
0 |
0 |
2 |
0 |
1; E2 = |
0 |
|
|
0 |
2 |
0 |
; (2:81) |
|||
|
@ |
( A + i B) 0 |
0 |
|
|
|
@ |
i( A + i B) 0 |
0 |
|
|
||||
|
0 |
0 |
0 A |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 A |
|
||||
|
|
|
|
E3 = |
0 |
0 |
1 |
: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
@ |
0 |
0 |
0 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||
Заметим, что линейные комбинации (с вещественными коэффициентами) двух первых матриц базиса (2.81) превращаются в еще более удобные матрицы
E1 = 0 0 |
C 0 1 |
; E2 |
= |
0 0 |
D |
0 1 |
|
|||||||||
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
i |
0 |
0 |
|
|
|
с вещественными |
@ |
0 |
0 |
0 |
A |
|
|
@ |
0 |
0 |
0 |
A |
|
|||
|
2( 2A + 2B) |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|||||
C = |
|
; |
D = |
|
: |
(2:82) |
||||||||||
2A2 + 2B2 |
2A2 + 2B2 |
|||||||||||||||
Ссылка на лемму 6 из §2.3 завершает доказательство предложения 2.23.
Замечание 1. Несложно проверить, что обращение в единицу параметра C равносильно равенству 4"2 1 = 0, невозможному для поверхностей общего положения.
Замечание 2. Поверхности, построенные в предложениях 2.21 и 2.22 можно получить, например, как орбиты точки Q(1; i) 2 C2 под действием групп, порожденной экспонентами от соответствующих базисных матриц tE1; sE2; rE3:
87
Непосредственными вычислениями можно проверить, что эти орбиты имеют канонические уравнения, отвечающие требованиям общности положения.
2.4.3. Однородные поверхности общего положения,
не допускающие жестких уравнений
В силу приведенных обсуждений для нахождения остальных однородных поверхностей общего положения (не являющихся жесткими) достаточно рассмотреть два случая, связанных с каноническим уравнением (3.1):
1) f002 6= 0; |
(2:83) |
2) f002 = 0; f201 6= 0 |
(2:84) |
Замечание. Напомним, что в каждом из этих случаев любой ненулевой коэффициент уравнения (2.68) можно подвергнуть вещественному растяжению. В рамках случая 1) будем считать, что f002 = = 1; во втором случае мы применим это соображение к коэффициенту f210 (этот коэффициент, как будет показано, отличен от нуля в рамках проводимых рассмотрений).
Отметим еще, что замена z ! z сохраняет вид уравнения (2.68), но изменяет знак у любого коэффициента нечетной суммарной степени по переменным z; z. В связи с этим мы будем использовать далее условие
f210 |
= ei; 2 [0; ) |
(2:85) |
" |
в рамках обсуждения случая (2.84).
Из основной системы девяти уравнений в случаях (2.83) и (2.84) соответственно, выводятся следующие два утверждения.
Предложение 2.24. Пусть для коэффициента f002 канонического уравнения (2.68) поверхности M выполняется условие (2.83). Тогда матрицы E1, E2, E3 базиса алгебры g(M), отвечающей такому уравнению поверхности, обязаны иметь вид
0 (2 |
+ 2i(1 + 2") |
|
|
(2=3) |
|
2r)=(2" |
|
1) |
0 1 |
; |
|
" |
2i" + i + =3) |
|
(4i " + 4"r + 4i"s + 2i |
|
|
1 |
A |
|
|||
@ |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
88
0 |
|
2(1 2") |
|
|
(2=3) |
|
|
|
0 |
1 |
; |
||
@ |
(i)(2" + 2i" + i =3) 2i(2i " + 2"r + 2i"si + r)=(2" + 1) |
i |
A |
|
|||||||||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
(2 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
:86) |
|
|
|
( |
r |
is |
x= |
|
i + 4" + 4i" )=(1 |
|
4"2) 0 |
|
|
|
||
|
|
+ 0) |
|
2 ( 2 + 2 |
( x + 2i) |
1 |
|
|
|
||||
|
@ |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
A |
|
|
|
при некоторых вещественных x; y; = Ref210="; = Imf210="; r = Ref201=2"; s = Imf201=2"; = Re(f102); = Im(f102):
Предложение 2.25. Если для коэффициентов канонического уравнения (2.68) поверхности M выполняются условия (2.84), то базис алгебры g(M), отвечающей такому уравнению поверхности, обязан иметь вид
|
= 0 |
|
2"x 2i"y iy + |
(4"r + 4i"s 2r)=(2" 1) |
1 |
1; |
|
||||||||
E1 |
|
2i(1 + 2") |
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|||||
|
|
@ |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
A |
|
|
|
|
i( 2"x 2i"y + x + i ) |
2i(2"r + 2i"s + r)=(2" + 1) |
|
i |
1 |
|
||||||||
E2 = |
0 |
|
2(1 2") |
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
; |
|||
|
|
@ |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
(2:87) |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 1: |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
E3 = |
|
0 |
is |
2t |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
t |
|
r |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
при некоторых вещественных x; y; ; ; t; r; s; ; :
Далее за счет рассмотрения скобок "базисных" матриц можно уточнить вид E1; E2; E3 из (2.86) и (2.87).
ЛЕММА 7. Линейное пространство с базисом вида (2.86) является алгеброй Ли, тогда и только тогда, когда параметры из этих формул удовлетворяют соотношениям:
= = 0; = 2 r; r = 14"xy; s = 2 ;
(1 2")x2 + (1 + 2")y2 = 16 : |
(2:88) |
При этом базис любой из обсуждаемых алгебр принимает вид
E1 = |
0 |
|
2i(1 + 2") |
0 |
0 |
1 |
; |
(2:89) |
|
@ |
|
2"x i(1 + 2")y |
i(4 + i"xy)=2 |
1 |
A |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
89
E2 = |
0 |
2(1 2") |
|
0 |
|
0 |
1 |
; |
||||||
|
|
|
2"y + i(1 |
2")x |
(4 + i"xy)=2 |
|
i |
A |
|
|||||
|
|
@ |
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
||||
E3 |
= |
0 |
(4 |
+ |
0 |
|
) 2 |
i(4 + i"xy)=2 |
1 |
1 |
; |
|
||
|
|
|
i |
|
|
i"xy |
= |
0 |
0 |
A |
|
|
||
|
|
|
@ |
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
||
а коммутационные соотношения записываются в форме
[E1; E2] = yE1 xE2 4E3; [E1; E3] = [E2; E3] = 0:
ЛЕММА 8. Линейное пространство с базисом вида (2.87) является алгеброй Ли тогда и только тогда, когда
s = 0; t = r; = 0; = 0; r = |
1 |
"xy; |
|
||
4 |
||
(1 2")x2 + (1 + 2")y2 = 0: |
|
(2:90) |
При этом формулы для базиса любой из обсуждаемых алгебр совпадают с формулами (2.89) из предыдущего случая с учетом условия = 0.
Интегрирование алгебр (2.89) приводит к следующим результатам.
Предложение 2.26. Однородные поверхности, отвечающие алгебрам из (2.86) задаются (с точностью до аффинной эквивалентности) уравнениями
Re(zw) = jzjAeB arg z |
(2:91) |
при A 2 R n f1; 2g; z 6= 0.
Предложение 2.27. Однородные поверхности, отвечающие алгебрам из (2.87) задаются (с точностью до аффинной эквивалентности) уравнениями
Re(zw) = jzj2eB arg z;
где B 2 R n 0; z 6= 0:
Для доказательства обоих сформулированных предложений рассмотрим поверхность M вида (2.91) с произвольными вещественными A и B и точку Q(z0; w0); z0 6= 0, лежащую на этой поверхности.
Вблизи этой точки на M действуют следующие однопараметрические группы аффинных (и даже линейных) преобразований:
g1(r) = fz = rz; w = rA 1w; r 2 U(1)g; g2(s) = fz = z; w = isz + w; s 2 U(0)g;
90