Материал: Однородность вложенных многообразий. Афинная геометрия вещественных гиперповерхностей пространства C2. Лобода А.В

Предложение 2.15. Если коэффициенты канонического уравнения аффинно-однородной вещественной гиперповерхности трубчатого типа

то алгебра g(M) для такой поверхности является 3-мерной, а ее базис

Доказательство.

3-мерность алгебры g(M) для обсуждаемой поверхности является следствием предложения 2.13. В "грубой" форме базис такой алгебры отличается от "базиса" (2.58) лишь в двух элементах, учитывающих ненулевой

Вычисление скобок, аналогичное проделанным выше, при доказательстве предложений 2.13 и 2.14, приводит к базису (2.61) В нем для упрощения опущен индекс у параметра t1.

Предложение 2.16. Интегральными поверхностями алгебры (2.61), проходящими через начало координат пространства C2, являются все трубки над аффинно-однородными плоскими кривыми, кроме квадрики (2.53). Параметром этого семейства трубок является (помимо f400 = 1) вещественный коэффициент f500.

Доказательство этого утверждения можно получить любым из двух обсуждавшихся выше методов интегрирования матричных алгебр Ли. Например, допустим (не уточняя детально условия, необходимые для этого), что матрица E1 имеет простой вещественный спектр.

3t b 3t + b

1 = 2 ; 1 = 2 ; 3 = 0:

76

Рассмотрим еще матрицу

состоящую из собственных векторов E1.

Подобие с этой матрицей переводит алгебры с базисом (2.61) в более удобное их представление с новым базисом

Сравнение такой алгебры с алгебрами из примера 7 §1.3 приводит к выводу о том, что изучаемые поверхности в этом случае являются трубками над степенными кривыми.

В других случаях, связанных со спектром и с жордановыми свойствами матрицы E1, аналогичные рассуждения также приводят к трубчатым поверхностям над остальными аффинно-однородными плоскими кривыми из теоремы 1.1.

Мы обсудим здесь еще один достаточно изящный способ доказательства требуемого утверждения, связанный с "частичным" интегрированием алгебр. Этот способ, представляющий собой одну из модификаций коэффициентного подхода к задаче об однородности, был впервые применен, по-видимому, в работе [46].

Во-первых, напомним, что в случае алгебр (2.62), как и во многих уже рассмотренных ситуациях, существование искомых интегральных поверхностей гарантируется теоремой Фробениуса.

Во-вторых, уравнение каждой из таких поверхностей можно считать каноническим. Это связано с тем, что основная система девяти уравнений позволяет определять как параметры векторных полей по известным коэффициентам аналитической поверхности, так и наоборот, коэффициенты уравнения по известным полям.

Конкретизируем сказанное. Касательная плоскость в начале координат пространства C2 к поверхности M, являющейся интегральной для алгебры (2.61), образована векторами

77

Следовательно, она может быть задана уравнением v = 0. Тогда уравнение самой поверхности M имеет весовое разложение вида

Наличие в базисе (2.61) полей E2 = i@=@z и E3 = @=@w означает, что функция F (z; z; u) из (2.64) не зависит от переменных y = Imz; u = Rew.Тогда, например,

F2(z; z) = m2(z + z)2 = 4m2x2; F3 = F3(z; z) = m3(z + z)3 = 8m3x3

с некоторыми вещественными коэффициентами m2; m3.

Две последние формулы по сути подтверждают каноничность уравнения (2.63). Но из уже сказанного вытекает и более важный, третий, вывод об интегральных поверхностях алгебры (2.62): все они являются трубчатыми поверхностями.

Ясно, что все трубки над аффинно-однородными плоскими кривыми (кроме трубки над параболой, имеющей нулевой коэффициент = f400) входят в изучаемое множество интегральных поверхностей алгебры (2.60). Покажем, что и наоборот, все трубки (2.64) имеют основания, содержащиеся в списке теоремы 1.1.

Рассмотрим для этого произвольную трубчатую поверхность

v= F (x)

исвязанное с ней и с полем E1 из (2.61) основное соотношение. В вещественных координатах это соотношение имеет вид ОДУ

78

Применим теперь теорему Коши к ОДУ (2.65). В силу этой теоремы при любой паре ( ; t) существует и притом единственное решение этого уравнения с начальным условием F (0) = 0. Это решение аналитично, а младшие тейлоровские коэффициенты функции F (x) удовлетворяют условиям (2.67).

С другой стороны, согласно формуле (1.3) (глава 1, §1.1) все значения m4 и m5 накрываются (после растяжения координат) трубками над кривыми из теоремы 1.1. Никаких других афинно-однородных трубок в C2 нет.

Уточним теперь информацию о коэффициенте m5 из разложения (2.66). С точностью до ненулевых множителей он совпадает с коэффициентом f500 при мономе z5 в каноническом уравнении изучаемой трубки и с коэффициентом b из уравнения (1.3). Этим замечанием завершается доказательство предложения 2.16.

§2.4. Поверхности общего положения

Завершает классификацию Леви-невырожденных аффинно-однородных гиперповерхностей пространства C2 описание основного класса многообразий, определяемого неравенствами

0 < " 6= 12:

В этом параграфе все обсуждаемые поверхности задаются (каноническими) уравнениями вида ( = 0)

79

+(3f310p + 2f220p + f211q) = 0;

(1,0,1): (2"A2 + A2) + f002B1 + (2f201p + f111p + 2f102q) = 0, (0,0,2): f002B21 + (f102p + f012p + 3f003q) = 0:

Существенная роль в этом параграфе, как и в остальных разделах книги, отводится вопросу об оценке размерности алгебр g(M) для однородных поверхностей. Для полного ответа на него требуется дополнительная информация о коэффициентах канонических уравнений в этом случае.

2.4.1. Опорные коэффициенты уравнения однородной

поверхности

Перепишем необходимые нам здесь уравнения из основной системы в более удобном виде. Отметим при этом, что из (1,0,1)-уравнения можно

Из выписанных (1,0,0)-, (2,0,0)-, (0,0,1)-, (1,0,1)-уравнений этой системы получаются следующие простейшие утверждения о размерности алгебр g(M) в рассматриваемом случае.

Предложение 2.17. В случае поверхностей общего положения все коэффициенты матрицы e из (1.52) однозначно выражаются через параметры p; p; q векторного поля (1.43) и коэффициент B21 той же матрицы e.

Следствие. Для любой аффинно-однородной гиперповерхности общего положения M вида (2.68) размерность алгебры g(M) линейных векторных полей, касательных к M, не превышает 4.

Особую роль при изучении однородных поверхностей общего положения играет следующий опорный набор коэффициентов

80