Материал: Однородность вложенных многообразий. Афинная геометрия вещественных гиперповерхностей пространства C2. Лобода А.В
канонического уравнения (2.68). Из той же основной системы уравнений легко получается следующий факт.
Предложение 2.18. Если хотя бы один из коэфициентов набора (2.70) отличен от нуля, то размерность алгебры g(M) для однородной поверхности M общего положения в точности равна 3.
Для доказательства рассмотрим (2,1,0)-компоненту основного тожде-
ства
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
i(3"A2 (1 + 2" |
)A2) + f210 |
(2A1 |
+ A1 |
B21) + |
2 |
(f111B1 |
f201B1)+ |
+(3f310p + 2f220p + f211q) = 0:
В ней содержится слагаемое
|
B21) |
f210(2A1 + A1 |
связанное с B21, а все остальные выражения (с учетом приведенных обсуждений и формул (2.69)) линейно выражаются через p; p; q. Коэфициентами при этих свободных параметрах являются комбинации коэффициентов канонического уравнения (2.68) изучаемой поверхности.
Несложно видеть в силу этого, что при f210 6= 0 в (2,1,0)-компоненте основного тождества коэффициент B21 "связывается т.е. также выражается линейным образом через параметры p; p; q. Выписывать точную формулу, которая оказывается весьма громоздкой, нет необходимости.
Аналогично, при ненулевом коэффициенте f002 параметр B21 "связывается" в (0,0,2)-компоненте того же тождества
f002B21 + (f102p + f012p + 3f003q) = 0;
выписанной выше.
Наконец, в случае f201 6= 0 нам потребуется (2,0,1)-компонента веса 4 основного тождества (1.44), т.е. уравнение (1.67). В силу замечания к предложению 1.7 эта компонента имеет в случае поверхностей общего положения вид
|
+ f102B1 + (3f301p + f211p + 2f202q) = 0: |
2f201A1 2"f002B22 + 3f300A2 + f210A2 |
|
|
(2:71) |
С учетом полученной в (2.69) формулы, выражающей A1 через B21 и свободные параметры p; s; q, уравнение (2.71) позволяет и в этом случае выразить B21 через p; s; q.
Предложение 2.18 доказано.
81
В противоположном случае имеет место следующее утверждение.
Предложение 2.19. Если все коэфициенты опорного набора (2.70) из канонического уравнения однородной поверхности M общего положения равны нулю, то поверхность M является квадрикой
v= jzj2 + "(z2 + z2);
аразмерность алгебры линейных векторных полей на M равна 4.
Здесь для доказательства напомним, что выше (см. формулы (1.68) в §1.5) мы уже обсуждали равенства
f300 = |
1 |
(4"f210 |
f120); |
Ref201 = "f111; |
3 |
вытекающие из основной системы при " 6= 0.
В силу первой из формул (1.68) условие f210 = 0 приводит к равенству нулю всего многочлена F3(z; z) из канонического уравнения поверхности M. Вторая из формул (1.68) вместе с условиями f201 = f002 = 0 приводит к
^
выводу F4(z; z; u) = 0.
Кроме того, формулы для элементов матрицы (1.52), получаемые из основной системы в этом случае, приводят к равенстам
A2 = 0; B22 = 0:
Далее для доказательства того, что обсуждаемая поверхность является квадрикой, можно воспользоваться предложением 1.8 из из §1.5.
То, что алгебра линейных векторных полей на ней является в этом случае 4-мерной, непосредственно следует из наличия 4-хпараметрической группы аффинных преобразований этой поверхности. Такую группу порождают 3-параметрическое семейство сдвигов
z ! z + a; w ! w + 2i(a + 2a")z + i(jaj2 + "(a2 + a2)) + s |
(a 2 C; s 2 R) |
|||||||||||||||||
и однопараметрические растяжения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
z ! tz; w ! t2w |
(t 2 R): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Алгебра Ли, соответствующая этой 4-мерной группе, имеет базис |
1 |
|
|||||||||||||||
E1 |
= 0 |
2i(1 + 2") |
0 |
0 |
1; E2 = |
0 2(1 2") |
0 |
0 |
1 |
; E3 |
= |
0 |
0 |
0 |
1 |
; |
||
|
@ |
0 |
0 |
1 |
A |
@ |
0 |
0 |
i |
A |
|
|
@ |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
(2 A |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
:72) |
|
82
E4 = |
0 |
0 |
2 |
0 |
1 |
: |
|
@ |
1 |
0 |
0 |
A |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
Предложение 2.19 доказано.
2.4.2. Жесткость однородных поверхностей общего положения
Напомним, что уравнение (1.29) называется жестким, если его правая часть не зависит от переменной u. Для каждой отдельной весовой компоненты Fk уравнения (1.29) это означает, что ее разложение
(0) |
^ |
Fk(z; z; u) = Fk |
(z; z) + Fk(z; z; u) |
содержит лишь первое слагаемое и превращается в равенство
(0) |
^ |
Fk(z; z; u) = Fk |
(z; z) (соответственно Fk(z; z; u) = 0): |
Рассмотрим свойство жесткости на примере поверхностей общего положения.
Предложение 2.20. Если для коэффициентов канонического уравнения аффинно-однородной поверхности (2.68) общего положения выполняются условия
f201 = 0; f002 = 0; |
(2:73) |
то эта поверхность жесткая.
Доказывать предложение 2.20 достаточно при выполнении дополнительного ограничения
f210 6= 0; |
(2:74) |
т.к. случай обращения в ноль этого коэфффицента одновременно с выполнением условий (2.73) рассмотрен в предложении 2.17. Тогда размерность алгебры g(M) можно считать равной 3. "Грубая схема" для базиса такой алгебры принимает в матричной форме вид
E1 = |
0 |
2i(1 + 2") |
2D1 |
0 |
1 |
; E2 = |
0 |
|
2(1 2") |
2D2 |
0 |
1 |
; |
||||
|
@ |
D1 |
+ (T1 |
+ T2) 0 |
1 |
A |
|
|
@ |
D2 + i(T1 |
T2) |
0 |
i |
|
|
||
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
(2A:75) |
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
E3 = |
0 |
2r |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
@ |
r |
0 |
0 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||
83
где D1; D2; r - некоторые вещественные, а T1; T2 - комплексные числа.
Проверка условий замкнутости линейной оболочки матриц (2.75) относительно скобки приводит к ограничению r = 0. Это означает, что матрица E3 имеет в обсуждаемом случае вид
E3 = |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
: |
|
@ |
0 |
0 |
0 |
A |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
Наличие в алгебре g(M) поля E3 = @=@w означает, как мы знаем, условие жесткости поверхности M. Предложение 2.19 считаем доказанным.
Более детальное рассмотрение скобок для матриц (2.75) приводит к следующему утверждению о 2-параметрическом семействе алгебр.
Предложение 2.21. Пусть для коэффициентов канонического уравнения (2.69) аффинно-однородной невырожденной гиперповерхности M общего положения выполняются условия
f201 = 0; f002 = 0; f210 6= 0:
Тогда алгебра g(M), соответствующая этой поверхности, имеет базис вида
E1 = |
0 |
|
2i(1 + 2") |
2 |
0 1 |
; E3 = |
0 0 |
0 |
1 1 |
; |
|||||
|
(1 |
|
2") + i(1 + 2") 0 |
1 |
A |
|
@ |
0 |
0 |
0 |
A |
|
|||
|
@ |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|||
|
E2 |
= |
0 |
|
2(1 2") |
|
|
2 |
0 |
1 |
; |
|
|
(2:76) |
|
|
|
|
i((1 |
|
2") + i(1 + 2") ) 0 |
i |
A |
|
|
|
|
||||
|
|
|
@ |
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
где = Re(f210="); = Im(f210="):
Замечание 1. Коммутационные соотношения в алгебрах (2.76) имеют
вид
[E1; E2] = 4E3; [E1; E3] = 2 E3; [E2; E3] = 2 E3:
Напомним, что (канонический) вид уравнения
v = jzj2 + "(z2 + z2) + :::
сохраняется при растяжениях z ! tz; w ! t2w (t > 0) координат. Так же не изменяет младших слагаемых канонического уравнения (2.68) замена z ! z. Но за счет этих замен можно изменять значение ненулевого коэффициента f210 в уравнении (2.68). В итоге можно считать, что выписанное
84
выше и важное для наших обсуждений отношение
f210" = i ;
как точка комплексной плоскости лежит на верхней (или на нижней) части единичной окружности. При этом имеются две точки, принадлежащие пересечению этой окружности и стандартных координатных осей: 1 и i.
С учетом таких уточнений мы можем теперь предъявить описание всех аффинно-однородных гиперповерхностей пространства C2, соответствующих алгебрам из семейства (2.76). Оно содержится в следующих двух предложениях.
Предложение 2.22. Любая аффинно-однородная гиперповерхность, отвечающая алгебре вида (2.76) c комплексным параметром i , лежащим на одной из координатных осей, аффинно эквивалентна одной из поверхностей
v = jzj (z 6= 0): |
(2:77) |
При этом паре = 1; = 0 отвечают значения параметра 2 R n [0; 2] ; для поверхностей с = 0; = 1 справедливы вложения 2 (0; 1) [ (1; 2):
Для доказательства этого предложения в случае = 0; = 1 воспользуемся наличием 3-х собственных векторов у матрицы E2. Подобие Ek ! S 1EkS с матрицей
S = |
0 112 |
1 |
i(1 2")=(1 + 2") 1 |
; |
|||
|
@ |
= |
0 |
1=(1 + 2") |
A |
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
||
составленной из этих векторов, переводит исходную алгебру в алгебру с базисом
E1 |
= |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
; E2 |
= |
0 |
0 |
2=(1 + 2") |
0 |
1 |
; E3 |
= |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
: (2:78) |
|
|
|
i |
0 |
0 |
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
@ 0 |
0 |
0 A |
|
|
@ 0 |
0 |
0 A |
|
|
@ 0 |
0 |
0 A |
|
||||||
Отметим, что при этом начало координат, в окрестности которого мы строим интегральную поверхность, смещается, в соответствии с формулой (1.77), в новую точку Q(z0; w0) с ненулевыми координатами z0; v0 = Imw0.
Как обычно, из наличия в обсуждаемой алгебре поля E3 делаем вывод о жесткости соответствующей искомой поверхности. Ее уравнение v = F (z; z) удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям, отвечающим полям
E1; E2.
85