Материал: Однородность вложенных многообразий. Афинная геометрия вещественных гиперповерхностей пространства C2. Лобода А.В
Приложение 2
Матричные алгебры Ли однородных поверхностей
Ниже приводится список матричных алгебр Ли, соответствующих каноническим уравнениям аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей пространства C2.
Номера формул в этом приложении совпадают с нумерацией основного текста.
I.НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ(3 dimR g(M) 5)
1.Поверхности с нулевой квадратичной частью
1.1. dimR g(M) = 5. Алгебра "сферы Мозера" v = jzj2 |
1 1 |
|
|||||||||||||||||
E1 |
= |
0 2i |
0 |
0 1; E2 |
= |
0 2 |
0 |
0 1; E3 |
= |
0 0 |
0 |
; (2:9) |
|||||||
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
0 |
i |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
@ 0 |
0 |
0 A |
0 0 |
|
@ 0 |
0 |
0 A |
0 0 |
|
@ 0 |
0 |
0 A |
|
||||
|
|
|
|
E4 = |
0 |
0 1 |
; E5 = |
2 |
0 1 |
: |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
@ |
i |
0 |
0 |
A |
|
|
@ |
1 |
0 |
0 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
||||
1.2.dimR g(M) = 4. Параметр = f002 = 1:
a)= 1 : алгебра сферы jzj2 + jwj2 = 1,
b)= 1 : алгебра гиперболоида jzj2 jwj2 = 1:
E1 |
= |
0 |
2i |
0 |
0 |
1 |
; E2 |
= |
0 |
2 |
0 |
0 |
1 |
; E3 |
= |
0 |
0 |
2i |
1 |
1 |
; (2:17) |
|
|
|
0 |
2i |
1 |
|
|
|
|
0 |
2 i |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
@ 0 |
0 |
0 A |
|
|
@ 0 |
0 |
0 A |
|
|
@ 0 |
0 |
0 A |
|
||||||
01
i 0 0
E |
4 |
= @ |
0 |
0 |
0 |
A |
: |
|
0 |
0 |
0 |
|
1.3. dimR g(M) = 3 реализуется только на подалгебрах алгебр (2.9) и (2.17).
136
2.Поверхности трубчатого типа " = 1=2
2.1.dimR g(M) = 4. Алгебра трубчатой квадрики v = 2x2
E1 |
= |
0 4i |
0 |
0 1 |
; E2 |
= |
0 0 |
0 |
0 1 |
; E3 |
= |
0 0 |
0 |
1 1 |
; E4 |
= |
0 0 |
2 |
0 1 |
: |
|||||||
|
|
@ |
0 |
0 |
1 |
A |
|
|
@ |
0 |
0 |
i |
A |
|
|
@ |
0 |
0 |
0 |
A |
|
|
@ |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
(2:57)A |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
2.2.dimR g(M) = 3.
a)Обобщения логарифмических спиралей
Re(zw) = jzjeB arg z; B 2 R;
не допускающие жестких уравнений.
|
|
0 |
2 4it t 2i(1 + 2) 1 |
1 |
|
0 |
2t (2 + i t) i |
1 |
|
||||||
E1 |
= |
4i |
|
4 |
|
0 |
; E2 = |
0 |
0 |
0 |
; |
||||
|
|
@ |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
A |
|
@ |
0 |
0 |
0 |
A |
|
|
|
|
E3 = |
(2 |
0 |
i(2 + 3i t) |
1 |
1 |
; |
|
(2:29) |
||||
|
|
|
|
@ |
|
+ i t) |
|
(2 + i t) |
0 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|||
p
где - вещественный параметр, t = 2.
б) Жесткие обобщения логарифмических спиралей
v = jzjeB arg z; B 2 R; = 43B:
|
|
0 |
|
i |
|
|
|
i 2= |
|
1 |
1 |
|
= 0 |
4 |
0 |
i |
1; E3 |
= 0 |
0 0 |
1 |
|
||||||||
E1 |
= |
( |
4i |
4 ) |
|
|
2 |
2 |
0 |
; E2 |
0 |
4 |
0 |
0 |
1 |
: |
|||||||||||||
|
|
@ |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
A |
|
|
@ |
0 |
0 |
0 |
A |
|
|
@ |
0 |
(20:41)0 |
A |
|
|||
|
|
|
в) Трубчатые поверхности над аффинно-однородными основаниями |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
E1 |
= |
0 |
4i |
82t |
0 |
1 |
; E2 |
= |
0 |
0 |
0 |
0 |
1; |
E3 = |
0 |
0 |
0 |
1 |
1; |
|
(2:61) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
t |
i |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
i |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ 0 0 |
0 A |
|
|
@ 0 0 |
0 A |
|
|
@ 0 0 |
0 A |
|
|
|
|
||||||||||||
где = f400 = 1; t 2 R:
137
Остальные 3-мерные алгебры в этом случае являются подалгебрами алгебры (2.57).
3.Поверхности общего положения 0 " 6= 1=2
3.1.dimR g(M) = 4. Алгебра квадрики
|
0 |
|
|
|
1 |
v = jzj2 + "(z2 + z2): |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
||||||
E1 = |
2i(1 + 2") |
0 |
0 |
; E2 = |
0 |
2(1 2") |
0 |
0 |
; E3 |
= |
0 |
0 |
1 |
; |
||||||||
|
@ |
0 |
0 |
1 |
A |
|
@ |
|
0 |
|
|
0 |
i |
A |
|
|
@ |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
(2 A |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
E4 = |
0 |
0 |
2 |
0 |
1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
:72) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
@ |
1 |
0 |
0 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.2. dimR g(M) = 3
a) жесткие обобщения логарифмических спиралей (общего положения)
|
0 |
|
|
v = jzjAeB arg z(z 6= 0): |
|
|
|
1 1 |
|
|||||
E1 = |
2i(1 + 2") |
2 |
0 1 |
; E3 = 0 |
0 |
0 |
; |
|||||||
|
(1 |
|
2") + i(1 + 2") 0 |
1 |
A |
|
@ |
0 |
0 |
0 |
A |
|
||
|
@ |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
|
|||
|
E2 |
= |
((1 22(1 2") |
|
|
0 |
1 |
; |
|
|
(2:76) |
|||
|
|
|
i |
") + i(1 + 2") ) 0 |
i |
A |
|
|
|
|
||||
|
|
|
@ |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
где = Re(f210="); = Im(f210="):
б) Обобщения логарифмических спиралей
Re(zw) = jzjAeB arg z; A 2 R n f1g; B 2 R; z 6= 0;
не допускающие жестких уравнений. |
|
0 1; |
|
||||||||
E1 = 0 |
2i(1 + 2") |
0 |
|
||||||||
|
|
@ |
2"x i(1 + 2")y |
i(4 + i"xy)=2 |
1 |
A |
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
||
E2 |
= |
0 |
|
2(1 |
|
2") |
0 |
0 |
1 |
; |
(2:89) |
|
|
2"y + i(1 |
2")x |
(4 + i"xy)=2 |
i |
A |
|
|
|||
|
|
@ |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
||
138
E3 |
= |
0 |
0 |
i(4 + i"xy)=2 |
1 |
1 |
; |
|
|
|
i(4 + i"xy)=2 |
0 |
0 |
|
|
где |
|
@ |
0 |
0 |
0 |
A |
|
2 f1; 0; 1g; (1 2")x2 + (1 + 2")y2 = 16 :
Замечание. С точки зрения алгебр Ли выделение семейства поверхностей трубчатого типа из общих рассмотрений оправдывается лишь наличием в этом семействе трубчатых поверхностей. Алгебры Ли из пп. 2.1, 2.2.а) и 2.2.б), отвечающие поверхностям трубчатого типа, являются "естественными" включениями в семейства алгебр общего случая 3.
II. ЛЕВИ-ПЛОСКИЕ ОДНОРОДНЫЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
1. Поверхности веса 2 ( 3 dimR g(M) 4)
1.1.dimR g(M) = 4 - алгебра Леви-вырожденной квадрики v = z2 +z2
сбазисом
E1 |
= |
0 4i |
0 |
0 |
1; E2 |
= |
0 4 |
0 |
0 1 |
; E3 |
= |
0 0 |
0 |
1 1 |
; E4 |
= |
0 0 |
2 |
0 1 |
; |
||||
|
|
0 |
0 |
1 |
A |
|
0 |
0 |
i |
A |
|
|
@ |
0 |
0 |
0 |
A |
|
|
@ |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
@ |
0 |
0 |
|
@ |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
(3:27)A |
|
||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|||
1.2.dimR g(M) = 3
1.2.1.3-параметрическое семейство коммутативных алгебр (с параметрами arg(f300); r; ):
E1 |
= |
|
23f300 |
|
(r 2i ) |
1 |
1 |
; E2 = |
|
23if300 |
i(r 2i ) |
i |
1 |
; |
||||||
0 |
4i |
|
|
0 |
|
0 |
0 |
4 |
|
0 |
0 |
|||||||||
|
|
@ |
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
A |
|
|
|
@ |
0 |
|
0 |
0 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
E3 |
= |
0 |
|
0 |
|
|
|
(r 2i ) |
1 1: |
|
(3:36) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
@ |
(r 2i ) |
|
|
0 |
|
0 |
A |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|||
Частные случаи связаны с наличием присоединенных векторов у базисной матрицы E1.
139
а) r = = 0. Алгебра с базисом |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
||||||||||
E1 |
= |
0 |
4i |
0 |
0 |
1 |
; E2 |
= |
0 |
4 |
0 |
0 |
; E3 |
= |
0 |
0 |
1 |
; (3:51) |
|||
|
|
|
A |
0 |
1 |
|
|
|
|
iA |
0 |
i |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
@ 0 |
0 |
0 A |
|
|
@ 0 |
0 |
0 A |
|
|
@ 0 |
0 |
0 A |
|
||||||
где A = ei ; ( 2 ( =4; =4]), имеет в качестве интегрального многообразия поверхность
|
|
v = e 2i ln(1 + ei z) + e2i ln(1 + e i z); |
2 |
( |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
; |
|
): |
|
|
(3:17) |
||||||||||
|
|
4 |
4 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
б) При A = ( 3=2)ei ; B = (r 2i ) = iA2=16 алгебре с базисом |
|||||||||||||||
|
|
0 |
A iA2=16 1 |
= 0 |
iA A2=16 i |
|
|
= 0 |
B 0 0 |
|||||||||
E1 |
= |
4i |
0 |
0 1; E2 |
4 |
0 |
0 1 |
; E3 |
0 B 1 1: |
|||||||||
|
|
@ |
0 |
0 |
A |
@ |
0 |
0 |
A |
|
|
@ |
0 |
0 |
(3A |
|||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
:56) |
соответствует поверхность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Re |
wei (z ei w ln w) = 0: |
|
|
|
|
|
|
|
(3:18) |
||||
в) в остальных случаях алгебрам из 3-параметрического семейства (3.36) соответствуют поверхности
jzjA1 jwjA2 = earg(zB1 wB2 ); (A1; A2; B1; B2) 2 RP3:
1.2.2. 2-параметрическое ( 3; 2 R ) семейство алгебр с базисом
0 |
4i |
0 |
0 |
1 |
; |
0 |
4 |
0 |
0 |
1 |
; |
0 |
3 |
0 |
( 3 |
+ 2i ) |
1 |
1 |
; (3:40) |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
0 |
i |
|
|
|
( + 2i )=2 |
|
0 |
0 |
|
|
|
@ 0 |
0 |
0 A @ 0 |
0 |
0 A @ |
|
0 |
|
0 |
0 A |
|
|||||||||
соответствует 1-параметрическому семейству поверхностей
2 |
|
3 |
|
|
jw z2j = eB arg(w z |
); B = |
|
2 R: |
(3:45) |
2 |
2. Поверхности веса 3. ( 3 dimR g(M) 5)
2.1.dimR g(M) = 5 (алгебра конуса jzj2 jwj2 = 0)
E1 = |
0 |
0 |
2i |
0 |
1 |
; |
E2 = |
0 |
0 |
2 |
0 |
1 |
; |
(3:69) |
|
@ |
2i |
0 |
1 |
A |
|
|
@ |
2 |
0 |
I |
A |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
140