Материал: Однородность вложенных многообразий. Афинная геометрия вещественных гиперповерхностей пространства C2. Лобода А.В

Предложение 2.9. Если вещественная аффинно-однородная гиперповерхность M имеет алгебру вида (2.29), то M аффинно-эквивалентна одной (и только одной) из поверхностей однопараметрического семейства

Процедура интегрирования семейства матричных алгебр (2.29), подробно описанная в статье [70], повторяет общую схему серии работ [67], [33], [31], [32], [37]:

1)сначала подбирается алгебра, подобная изучаемой, но имеющая "более удобный для интегрирования" базис;

2)затем строится вещественная система дифференциальных уравнений

вчастных производных, все уравнения которой являются расшифровками основного соотношения для базисных полей интегрируемой алгебры;

3)уравнения этой системы поочередно интегрируются с уменьшением на каждом шаге числа уравнений и числа независимых (возможно, измененных) переменных в системе;

4)на последнем шаге от системы уравнений в частных производных остается одно обыкновенное дифференциальное уравнение. Его общее решение зависит, как известно, от одного вещественного параметра. Однако, начальное условие, связанное с требованием принадлежности начала координат пространства C2 обсуждаемой однородной поверхности, позволяет восстановить ее по алгебре единственным образом.

Если при этом каноническое уравнение изучаемой поверхности из рассматриваемого класса обладает свойством единственности (например, за счет каких-либо ограничений на коэффициенты), то никакие однородные поверхности из других классов не могут быть аффинно эквивалентны именно этой поверхности, получаемой в результате интегрирования соответствующей конкретной алгебры.

Мы опускаем здесь технические детали, связанные с получением семейства поверхностей (2.38).

66

2.3.3. Аффинно-однородные жесткие поверхности,

не сводимые к трубкам

Рассмотрения предыдущего параграфа были связаны с ненулевым коэффициентом f002. Теперь мы допустим равенство нулю этого коэффициента. Тогда в каноническом уравнении обсуждаемой однородной поверхности возможны уточнения, связанные с другими коэффициентами. Например, вместо ограничения (2.26) за счет все тех же растяжений координат (1.28) можно получить более жесткое условие

Рассмотрим подслучаи, связанные с двумя возможностями (2.39).

Предложение 2.10. Если коэффициенты канонического аффинного уравнения аффинно-однородной гиперповерхности M C2 удовлетворяют ограничениям

" = 1=2; = 0; f002 = 0; f210 = i;

то M аффинно экивалентна одной из поверхностей семейства

v = jzjeB arg z; B 2 R:

Для доказательства из основной системы девяти уравнений выделим пять. С учетом условий доказываемого предложения (1,0,0)-, (2,0,0)-, (0,0,1)- , (1,0,1)-, (3,0,0)-уравнения имеют вид:

С учетом равенства f300 = f210 = i легко видеть, что из (2,0,0)- и (3,0,0)- уравнений выражаются через p; p; q параметры A22; B21 и A1 векторного поля. Так как B22; A21 и B1 определяются аналогично, но более прозрачным образом, это означает справедливость оценки

dim g(M) 3:

Параллельно с оценкой из этих же уравнений получается и "грубая

67

схема" для базиса изучаемой матричной алгебры

Здесь f111 = 2 R, а

f400 = x + iy; f310 = s + it; f301 = + i

- разложения на мнимые и вещественные части других вошедших в базисные матрицы коэффициентов канонического уравнения.

Рассмотрение (с использованием пакетов символьных вычислений) скобок для матриц из выписанного набора приводит к следующему техническому утверждению.

ЛЕММА 5. Набор матриц (2.40) образует базис алгебры Ли тогда и только тогда, когда

t = 0; y = 0; = 0; = 2 ; s = 2 14 2; x = 52 161 2:

При этом

а коммутационные соотношения для базисных матриц имеют вид

2

[E1; E2] = E2 4E3; [E1; E3] = 2 E2 2 E3; [E2; E3] = E2 + 4E3:

Далее полученное 1-параметрическое семейство алгебр необходимо проинтегрировать. Для удобства перейдем к подобным алгебрам. Например,

68

при 6= 0 подобие с матрицей

превращает алгебру с базисом (2.41) в новую алгебру, базисом которой являются матрицы

Замечание. Образами матриц (2.41) при подобии Ek ! S 1EkS являются линейные комбинации с вещественными коэффициентами матриц (2.42)

Утверждение об интегрировании алгебр несколько более общего вида, чем (2.42), сформулируем в виде следующей леммы.

ЛЕММА 6. Интегральным многообразием алгебры с базисом

(2:43)

вблизи произвольной точки (z0; w0) 2 C2 (z0 6= 0) является либо вещественная гиперплоскость v = 0 (если Imw0 = 0), либо (с точностью до аффинных преобразований) жесткая поверхность

Доказательство.

Наличие в обсуждаемой алгебре поля E3 = @=@w означает, как обычно, выполнение условия @F =@u = 0 для уравнения v = F (z; z; u) искомой интегральной поверхности или ее жесткость. Функцию F (z; z), определяющую эту поверхность, можно тогда определить из системы

Re(E1( ))M = 0; Re(E2( ))M = 0:

В вещественных координатах два этих уравнения имеют вид

69

Общее решение первого из этих уравнений имеет (при x > 0 ) вид

F = xC' xy ;

где ' - произвольная аналитическая функция одного переменного.

Подставляя эту формулу во второе уравнение системы (2.45), получим

или при t = y=x

(1 + t2)'0 = (D + Ct)':

Общим решением последнего ОДУ является функция

'(t) = R(1 + t2)C=2eDarctg(t)

с произвольным вещественным множителем R.

Возвращаясь к исходным комплексным обозначениям, получим уравнение искомой поверхности в виде

Внося минимальные изменения в проведенные рассуждения, можно прийти к аналогичной формуле и в случае x < 0, а также при x = 0, но y 6= 0.

Остается заметить, что нулевое значение множителя R в формуле (2.46) дает в качестве искомой интегральной поверхности вещественную гиперплоскость, а деление на ненулевой множитель R переменной w приводит к уравнению (2.44). Лемма 6 доказана.

Применяя ее основное утверждение о Леви-невырожденных поверхностях к алгебре (2.42), получаем требуемое в предложении 2.10 уравнение поверхности

v = jzje( 3 =4)argz

при 6= 0.

Случай = 0 сводится аналогичными рассмотрениями к уравнению поверхности

Случай предложения 2.10 разобран полностью.

70