Материал: Однородность вложенных многообразий. Афинная геометрия вещественных гиперповерхностей пространства C2. Лобода А.В

Так, при f002 6= 0 из (0,0,2)-уравнения основной системы можно выразить через тройку p; p; q параметр B21. Это означает, что для однородных поверхностей с ненулевым коэффициентом f002 размерность алгебры g(M) не превышает 4.

Кроме того, имеет место следующий факт.

Предложение 2.2. В пространстве C2 cуществует единственная (с точностью до аффинных преобразований) аффинно-однородная невырожденная по Леви гиперповерхность, каноническое уравнение которой имеет нулевую квадратичную часть и нулевой коэффициент f002, а именно, поверхность (2.3).

Доказательство. Во-первых, напомним, что для поверхностей с нулевой квадратичной частью в каноническом уравнении мы получили следующие формулы:

Рассмотрим теперь (0,0,2)-уравнение, т.е.

Если для некоторой однородной поверхности (с нулевой квадратичной частью) выполняется равенство f002 = 0, то из (2.11) следует, что

Подставляя (2.12) в (2.10), получим равенства

B22 = 0; A2 = 0;

справедливые для слабо вырожденной аффинно-однородной поверхности с нулевым коэффициентом f002. Напомним, что эти же равенства под номером (1.71) обсуждались в первой главе. Теперь доказательство предложения 2.2 завершается ссылкой на предложение 1.9 из главы 1.

Вернемся к случаю f002 6= 0 для поверхностей с нулевой квадратичной частью.

Замечание. Растяжением переменных (1.28) ненулевой коэффициент f002 можно превратить в этом случае в 1.

Для описания однородных поверхностей с f002 = = 1 и 4-мерными алгебрами g(M) рассмотрим базис любой из таких алгебр. В силу (0,0,2)- компоненты основного тождества в этом случае

56

Поэтому свободным в 4-мерной алгебре помимо параметров p; q является вещественный параметр A12 = ImA1. Учитывая полученную выше информацию о коффициентах канонического уравнения M и вводя еще обо-

Эти условия, как несложно убедиться, оказываются также (независимо от значения = 1) достаточными для того, чтобы получаемый из (2.15)

был базисом 4-мерной алгебры. Коммутационные соотношения в этих двух алгебрах имеют вид:

[E1; E2] = 4E3 + 8 E4; [E1; E3] = 2 E2; [E1; E4] = E2;

57

[E2; E3] = 2 E1; [E2; E4] = E1; [E3; E4] = 0:

Предложение 2.3. Интегральные многообразия, отвечающие 4-мер- ным алгебрам (2.10), задаются (с точностью до аффинных преобразований) уравнениями:

В обсуждаемом случае " = 0 остается еще рассмотреть возможность существования однородных поверхностей с 3-мерными алгебрами.

В силу предыдущих обсуждений необходимым условием 3-мерности алгебры g(M) является неравенство = f002 6= 0. При этом коэффициент B21 любого векторного поля выражается через тройку свободных параметров (p; q) по известной уже формуле (2.13). А коэффициент A12, остававшийся не связанным в наших рассуждениях выше, должен в этом случае принимать некоторые фиксированные (вещественные) значения при каждой фиксации значений тройки (p; q).

Обозначим в связи с этим через значение коэффициента A12 при условии p = 1; q = 0, через - значение того же коэффициента A12 при условии p = i; q = 0, а через - значение A12 при условии p = 0; q = 1:

Тогда базис гипотетической 3-мерной алгебры, матричные элементы которого удовлетворяют выписанным выше условиям случая нулевой квадратичной части, имеет в соответствии с (2.15) вид:

ЛЕММА 3. Если матрицы (2.20) образуют базис 3-мерной алгебры, то входящие в них коэффициенты s; t; равны нулю. При этом набор ( ; ; ; ) остальных параметров, входящих в (2.20), имеет один из двух следующих видов:

а) = 0; = 0; = 2 ; = 1;

б) = 1; = 2; = 4 cos '; = 4 sin ' (' 2 [0; 2 )):

Предложение 2.4. Интегральными многообразиями для алгебр (2.13), удовлетворяющих условиям а) или б) леммы 2, являются (с точностью до аффинной эквивалентности) все те же поверхности (2.18) и (2.19).

58

Доказательство предложения 2.4 можно получить, заметив, что каждая из этих алгебр является подалгеброй одной из двух 4-мерных алгебр (2.12) при = 1 соответственно.

После этого остается сослаться на предложение 1.11 первой главы.

§2.3. Поверхности трубчатого типа

Полное описание аффинно-однородных поверхностей трубчатого типа приведено в теореме 2.2. Данный параграф посвящен ее доказательству.

Сначала мы обсудим некоторые простейшие утверждения, вытекающие из основной системы девяти уравнений в случае, соответствующем " = 1=2. Эти уравнения имеют вид:

Напомним еще предложение 1.8 из предыдущей главы, утверждающее, что при " 6= 0 справедливы (выводимые из (2,0,0)- и (1,1,0)-уравнений) следующие ограничения на коэффициенты канонических уравнений.

Учтем теперь, что при " = 12 коэффициент f210 канонического уравнения (1.29) обсуждаемой поверхности является чисто мнимым. Подставляя в обе выписанные формулы равенство " = 1=2, а также учитывая сопряженность друг другу чисто мнимых коэффициентов f210 и f120, получим первое утверждение о поверхностях трубчатого типа.

59

Предложение 2.5. Для коэффициентов однородной поверхности трубчатого типа выполнены равенства

Замечание. Многочлен третьей степени

F3(0)(z; z) = f300z3 + f210z2z + f120zz2 + f030z3

из канонического уравнения (1.29) обсуждаемой поверхности можно записать в этом случае в виде

F3(0)(z; z) = f210(z3 + z2z zz2 z3) = f210(z2(z + z) (z + z)z2) = = f210(2x)(4ixy) = 8if210x2y;

где x = Rez; y = Imz.

2.3.1. Коэффициентные запреты на однородность

Из выписанной системы девяти уравнений в некоторых случаях можно выразить все элементы матрицы e через параметры p; p; q. Такая ситуация означает, что размерность алгебры линейных векторных полей на изучаемой поверхности не превосходит 3. Например, справедливо следующее утверждение.

Предложение 2.6. При выполнении условия = 1 для афинно-одно- родной поверхности M трубчатого типа размерность алгебры g(M) не превышает 3.

Док-во следует из выписанной выше основной системы. Так, при " =

60