Материал: Однородность вложенных многообразий. Афинная геометрия вещественных гиперповерхностей пространства C2. Лобода А.В

единственное) интегральное многообразие обсуждаемой алгебры размерности 3 (т.е. вещественно-аналитическая гиперповерхность), проходящее через обсуждаемую точку .

Подготовительная работа по описанию алгебр, отвечающих однородным поверхностям, на основании этой теоремы завершается построением списка требуемых поверхностей. Выскажем, тем не менее, одно замечание о предоставляемых теоремой Фробениуса возможностях. Это замечание относится к работам, в которых итоговые классификационные теоремы об однородных многообразиях формулируются в терминах алгебр Ли, соответствующих этим многообразиям (см., например, [2]).

Нисколько не умаляя значение таких работ, отметим, что в задаче описания однородных многообразий результаты такого рода не могут считаться окончательными. Для иллюстрации этого тезиса упомянем пример 3-параметрического семейства аффинно различных аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей пространства C2, рассматриваемый ниже (глава 3, §3.2). Алгебра Ли, отвечающая каждой поверхности из этого семейства, является 3-мерной диагональной (а следовательно, коммутативной) алгеброй.

С абстрактно-алгебраической точки зрения существует лишь одна коммутативная 3-мерная алгебра Ли. В то же время, повторим, все поверхности из упомянутого семейства аффинно-различны.

Возвращаясь к практическому использованию теоремы Фробениуса в нашей книге, напомним, что единственность восстанавливаемой по алгебре Ли поверхности обепечивается фиксацией точки (начала координат пространства C2), с которой мы связываем изучаемую алгебру. Сама эта алгебра имеет ранг 3 в начале координат в силу требования 3-мерности вещественной линейной оболочки последних столбцов матриц вида (1.44), составляющих обсуждаемую алгебру.

Отметим, что для 3-мерной алгебры этим же требованием обеспечивается сохранение максимального ранга в окрестности начала координат. Алгебры большей размерности, имеющие, тем не менее, в фиксированной точке ранг, равный 3, составляют меньшую часть всего списка алгебр. Их интегрирование сопряжено с меньшим количеством проблем.

В любом случае, независимо от размерностей обсуждаемых алгебр, можно предложить два способа их интегрирования. Оба этих способа достаточно трудоемки, и потому помимо конкретных обсуждений их для каждой из алгебр в соответствующих разделах монографии здесь мы дадим краткие общие комментарии по их применению.

46

Первый способ, используемый в книге в качестве основного, связан с решением систем уравнений в частных производных. Каждое уравнение такой системы представляет собой основное соотношение (1.43) для одного из базисных векторных полей изучаемой алгебры. Все эти уравнения являются, вообще говоря, квазилинейными (в силу рассмотрения аффинных векторных полей).

Любое такое уравнение в частных производных может быть решено за счет перехода к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и использования первых интегралов данной системы. Подстановка решения одного уравнения с частными производными в оставшиеся уравнения исходной системы уменьшает на единицу количество уравнений в ней с одновременным уменьшением числа (измененных) независимых переменных в системе.

На последнем шаге такой последовательной процедуры от исходной системы с частными производными остается одно ОДУ. Его решение определяется, как известно, с точностью до произвольной константы. Фиксация точки поверхности (как правило, начала координат) позволяет однозначно определить эту константу и, тем самым, восстановить единственную искомую поверхность в соответствии с теоремой Фробениуса.

При интегрировании различных алгебр часто оказываются полезными такие свойства связанных с этими алгебрами интегральных поверхностей, как жесткость и трубчатость, весьма популярные в современных исследованиях по комплексному анализу (см., например, [41], [97], [85]). Так, условие жесткости поверхности M, т.е независимость определяющего эту поверхность уравнения от переменной u = Rew, означает наличие в алгебре g(M) поля @=@w. Это свойство позволяет уменьшить на единицу число шагов в схеме последовательного интегрирования алгебры Ли.

Отметим, что любую голоморфно однородную вещественную гиперповерхность комплексного пространства любой размерности n можно перевести голоморфным преобразованием в жесткое состояние. Связано это с тем, что голоморфным преобразованием можно (локально) выпрямить любое ненулевое голоморфное векторное поле и привести его к виду @=@zn:

Наличие для обсуждаемой поверхности такого векторного поля, касательного к ней, равносильно жесткости этой поверхности в рассматриваемых кординатах.

В отличие от голоморфной геометрии не любое линейное поле в комплексном пространстве Cn выпрямляется линейным преобразованием. Бо-

47

лее того, ни одно линейное поле, касательное к аффинно-однородной сфере

S3 = fjzj2 + jwj2 = 1g C2;

не выпрямляется аффинными преобразованиями. Привести уравнение сферы такими преобразованиями к жесткому виду невозможно.

Трубчатость (или цилиндричность по двум вещественным переменным, например, y = Imz; u = Rew) гиперповерхности пространства C2 также легко проиллюстрировать в терминах касательных к такой поверхности полей. Трубчатые поверхности и обобщающие их поверхности трубчатого типа занимают в нашей работе важное место.

Отметим, что для облегчения интегрирования отдельных уравнений системы бывает удобно перейти от исходной алгебры g(M), связанной с каноническим видом уравнения, к подобной ей алгебре g = C 1g(M)C с некоторой невырожденной матрицей C.

Уточним здесь еще один момент. Обсуждаемые алгебры состоят из комплексных квадратных матриц 3-го порядка, отвечающих аффинным векторным полям в пространстве C2. В то же время, аффинные преобразования этого пространства можно рассматривать как линейные преобразования проективного пространства CP2, сохраняющие его конечную часть.

Соответственно, подобие двух квадратных матриц 3-го порядка (а значит, и алгебр, состоящих из таких матриц) может быть реализовано матрицей C 2 GL(3; C), имеющей полновесную проективную, а не аффинную структуру.

Во избежание этого во всех преобразованиях подобия 'C : A ! C 1AC алгебр g(M), рассматриваемых с целью "улучшения" этих алгебр, будут использоваться лишь матрицы C специального вида

Подобие алгебр с такой матрицей соответствуют аффинному преобразованию координат пространства C2 с матрицей C, имеющей, разумеется, обратимый 2 2-блок

При этом начало координат, с которым связаны обсуждения канониче-

48

ских уравнений, переходит в точку с координатами

Матрицы выписанного выше типа (1.77), отвечающие аффинным преобразованиям, мы будем использовать при обсуждении следующей ситуации.

Определение 7. Пусть g - алгебра Ли, состоящая из матриц вида (1.44). Будем называть эту алгебру аффинно диагонализируемой, если подобие 'C : A ! C 1AC с некоторой матрицей C вида (1.77) переводит g в диагональную алгебру.

Уже упоминавшийся выше пример 3-параметрического семейства аф- финно-однородных поверхностей включается в общие обсуждения монографии через аффинно-диагонализируемые алгебры, играющие роль связующего звена.

При обсуждении диагональных алгебр удобнее вместо описанного выше непосредственного их интегрирования использовать второй подход, связанный с экспоненциальным отображением (см. [36]). Ниже мы используем этот подход в различных ситуациях, но здесь проиллюстрируем его лишь на простом примере диагональных алгебр.

Так как экспонента диагональной матрицы сама является диагональной, то группа G(M), соответствующая диагональной алгебре g(M), содержит только диагональные матрицы. При этом g(M) является линейной группой, вложенной в GL(2; C). Ее элементы в случае dimR g(M) = 3 могут быть представлены в параметрической форме в виде

где E1; E2; E3 - базис 3-мерной диагональной алгебры g(M).

Соответственно, в параметрической форме в этом случае представляются и линейно-однородные поверхности. Они являются орбитами группы, образованной матрицами вида (1.78).

Отметим, что все поверхности, отвечающие диагональным алгебрам g(M), являются Леви-плоскими; они рассматриваются в 3 главе монографии. Во второй главе экспоненциальное отображение применяется для интегрирования некоторых недиагональных алгебр.

Еще один технический момент можно считать общим при практическом интегрировании различных матричных алгебр. Мы обсудим его, чтобы облегчить процедуру интегрирования еще в некоторых случаях. Напомним,

49

что интересующие нас матричные алгебры имеют некоторые особенности в строении, а их размерности удовлетворяют оценке снизу 3 dimR g: При этом имеются и относительно легко строятся содержательные примеры алгебр больших размерностей.

Предложение 1.11. Пусть g h - две алгебры Ли аффинных векторных полей в пространстве C2, т. что:

а) вблизи фиксированной точки этого пространства меньшая из алгебр, т.е. g, является регулярным распределением ранга 3;

б) "большая" алгебра, т.е. h, имеет в качестве интегрального многообразия некоторую вещественно-аналитическую гиперповерхность M, проходящую через точку ;

в) точка является регулярной (неособой) точкой поверхности M.

Тогда эта же поверхность M является интегральной и для меньшей алгебры g.

Геометрический смысл этого утверждения достаточно прозрачен. Интегральное многообразие алгебры g, проходящее через точку (существующее по теореме Фробениуса), является в силу аналитичности аффинных полей 3-мерной вещественно-аналитической гиперповерхностью. Эта поверхность определяется однозначно, что следует как из самой теоремы Фробениуса, так и из аналитичности определяющей многообразие системы уравнений. Имеющаяся интегральная поверхность M для большей алгебры h касается всех полей из меньшей алгебры. В силу отмеченного свойства единственности M является интегральным многобразием для g.

50