Материал: Однородность вложенных многообразий. Афинная геометрия вещественных гиперповерхностей пространства C2. Лобода А.В

ГЛАВА 2. ЛЕВИ-НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

2.1. Формулировки основных теорем

Пусть M - аффинно-однородная невырожденная по Леви гиперповерхность пространства C2. Будем считать, что она задана каноническим уравнением вида (1.29),т.е.

v = jzj2 + "(z2 + z2) + i (z z)u+

с ограничениями

"0; 2 f0; 1g

иуточнениями, сформулированными в §1.2 главы 1.

Задачу описания всех однородных поверхностей мы сводим к изучению основного тождества (1.43) для аффинных векторных полей. Напомним при этом, что все Леви-невырожденные гиперповерхности были разделены на три типа в соответствии со свойствами квадратичной части их канонических уравнений:

при " = 0 мы говорим о нулевой квадратичной части в уравнении поверхности;

поверхности с " = 1=2 называются поверхностями трубчатого типа;

наконец, в случае 0 < " 6= 1=2 мы говорим о поверхностях общего положения.

Описание однородных Леви-невырожденных поверхностей (Теорема 1.3 из §1.1) складывается из трех следующих теорем, соответствующих названным случаям.

ТЕОРЕМА 2.1. Существует три (с точностью до аффинной эквивалентности) аффинно-однородных аффинно-различных гиперповерхности с нулевой квадратичной частью в каноническом уравнении:

W1) "классическая сфера" jzj2 + jwj2 = 1;

W2) гиперболоид jzj2 jwj2 = 1;

W3) "сфера Мозера" v = jzj2.

ТЕОРЕМА 2.2. Всякая аффинно-однородная вещественная гиперповерхность трубчатого типа в C2 аффинно эквивалентна либо трубке над

51

аффинно-однородным вещественным основанием, либо одной из поверхностей двух следующих семейств

T 1) v = jzjeB arg z; B 2 R; z 6= 0;

T 2) Im(wz) = jzjeB arg z; B 2 R; z 6= 0:

ТЕОРЕМА 2.3. Всякая аффинно-однородная вещественная гиперповерхность общего положения в C2 является аффинным образом одной из поверхностей следующих трех семейств:

G1) v = jzj2 + "(z2 + z2); 0 < " 6= 12;

G2) v = jzjAeB arg z; A 2 R n f1g; B 2 R; z 6= 0:

G3) Im(zw) = jzjAeB arg z; A 2 R n f1g; B 2 R; z 6= 0:

Еще одно утверждение, которое мы сейчас сформулируем, будет доказано "попутно в процессе получения трех главных результатов этой главы. Однако оно, по мнению автора, естественно дополняет сводку классификационных теорем 2.1 - 2.3 и представляет общематематический интерес, а потому заслуживает отдельного упоминания.

ТЕОРЕМА 2.4. Размерность группы G аффинных преобразований, транзитивно действующей на невырожденной вещественно-аналитиче- ской гиперповерхности пространства C2, удовлетворяет двухсторонней оценке

Замечание. В этой теореме речь идет о размерности максимальной группы, транзитивно действующей на однородной поверхности. Как мы увидим ниже, имеются ситуации, в которых транзитивность действия сохраняется и у собственных подгрупп максимальных групп.

§2.2. Однородные поверхности с нулевой квадратичной

частью

Основной задачей этого параграфа является доказательство теоремы 2.1, сформулированной выше и содержащей описание аффинно-однородных

52

гиперповерхностей, канонические уравнения которых

X

v = jzj2 + (f300z3 + f210z2z + f120zz2 + f030z3) + Fk(z; z; u) (2:2)

k 4

свободны от квадратичной части.

Мы начнем обсуждение таких поверхностей с того, что перепишем основную систему девяти уравнений из предложения 1.7 с учетом упрощений

Первое содержательное утверждение об однородных поверхностях такого класса связано с оценкой размерности соответствующих этим поверхностям групп и алгебр Ли.

Предложение 2.1. В семействе аффинно-однородных гиперповерхностей, задаваемых каноническими уравнениями без квадратичной части, оценка (2.1), т.е.

dimR g(M) 5

является точной. В этом семействе имеется единственный представитель с 5-мерной алгеброй g(M), а именно поверхность

Для доказательства предложения 2.1 обратим внимание, прежде всего, на (2,0,0)-уравнение основной системы, имеющее в нашем случае вид

53

Для однородной поверхности параметры p; q алгебры g(M) являются свободными. Тогда из (2.4) следует равенство нулю всех трех коэффициентов, входящих в это уравнение:

Точно так же из (3,0,0)-уравнения (с учетом первого и третьего равенств (2.5)) теперь получаются условия

Далее нам потребуются еще 4 уравнения из основной системы. С учетом уже полученных упрощений они имеют вид:

(1,0,0): B1 = 2ip,

(1,1,0): A11 = (B21 + f111q)=2,

(0,0,1): B22 = 2f002q,

(1,0,1): A2 = 2if002p (f111p + 2f102q).

Простой вывод, получаемый из этих уравнений, состоит в том, что через параметры p и q векторного поля легко выражаются все элементы мат-

и B21 = Re B2. Это означает, что произвольное линейное векторное поле, касательное к однородной поверхности M, определяется не более чем пятью вещественными параметрами

p; q; A12; B21:

Теперь обсудим необходимые условия на рассматриваемые 5-мерные алгебры g(M) и коэффициенты канонических уравнений соответствующих гиперповерхностей.

Например, исключая из (2,1,0)- и (1,0,1)-уравнений основной системы

параметр A2, легко получить следующие ограничения на коэффициенты канонического уравнения однородной поверхности

а базис любой из обсуждаемых 5-мерных алгебр можно записать в виде:

54

Здесь и в дальнейших рассмотрениях после получения "грубых схем" для базисов обсуждаемых алгебр мы проверяем условие замкнутости этих "алгебр" относительно скобки. Во всех случаях такая проверка является чисто технической операцией, приводящей, тем не менее, к важным заключениям. В обсуждаемой ситуации так получается следующее утверждение.

ЛЕММА 2. Набор матриц (2.8) является базисом матричной алгебры лишь в случае f012 = f002 = 0. При этом базис алгебры имеет вид

Остается проинтегрировать эту алгебру. Для этого можно рассмотреть систему пяти уравнений в частных производных, соответствующих базисным полям (2.9):

Легко видеть, что единственным решением F (z; z; u) этой системы уравнений, удовлетворяющим условию F (0; 0; 0) = 0, является функция

F = jzj2 = x2 + y2:

Значит, искомая поверхность, действительно, задается уравнением (2.3).

Поверхность (2.3) является исключительно "симметричной и потому ее относительно легко обнаружить. Основная сложность при описании однородных поверхностей заключается в нахождении всех остальных, не являющихся исключительными, многообразий. В рамках нашего подхода к задаче в большинстве ее частных случаев важную роль играет обращение в ноль коэффициента f002 из канонического уравнения обсуждаемых поверхностей или его отличие от нуля.

55