Материал: Однородность вложенных многообразий. Афинная геометрия вещественных гиперповерхностей пространства C2. Лобода А.В

с некоторыми (комплексными) коэффициентами D; E; r. Громоздкие точные выражения для них нам здесь не потребуются. Достаточно лишь заметить, что из вещественной и мнимой частей последнего уравнения коэффициенты A21 и B21 также выражаются линейным образом через параметры p; p; q.

С учетом третьего и пятого уравнений обсуждаемой системы все элементы матрицы e выражаются через те же параметры p; p; q. А это и означает требуемую оценку размерности для алгебры векторных полей.

Предложение 2.7. Не существует однородных поверхностей трубчатого типа (" = 1=2), удовлетворяющих условию = 1.

Предположим, что имеется некоторая вещественная аффинно-однород- ная гиперповерхность трубчатого типа, в каноническом уравнении которой коэффициент = 1. Тогда матричное представление алгебры линейных векторных полей на этой поверхности удовлетворяет ограничениям, полученным в предложении 2.6.

В частности, учитывая простейшие из уравнений системы (2.22), базис этой алгебры, отвечающий "стандартным" векторам (p; q), т.е. (1; 0), (i; 0), (0; 1), можно записать в виде

(2:23)

Здесь в силу (0,0,1)-уравнения системы (2.22) можно еще считать, что

ЛЕММА 4. Не существует матричной алгебры Ли с базисом (2.23).

Отметим, что доказательство этой леммы было получено при помощи пакета символьной математики MAPLE. Допуская существование такой алгебры, можно утверждать, что скобки [E1; E2]; [E1; E3]; [E2; E3] разлагаются по базису (2.23) с некоторыми вещественными коэффициентами. Однако большая система нелинейных уравнений относительно коэффициентов матриц (2.23) и гипотетических коэффициентов разложений трех скобок оказывается несоместной.

Детали рассмотрения этой системы, как и многих аналогичных систем, связанных с другими случаями однородности, мы здесь не приводим. Отметим лишь, что в 21 веке использование для таких вычислений компьютерных программ символьной математики явлется естественным. Впрочем, как в обсуждаемой в данной монографии задаче, так и во многих других

61

вопросах "чистой" математики, такое применение носит достаточно ограниченный характер.

2.3.2. Однородные поверхности, не допускающие жестких уравнений

Перейдем к рассмотрению случая = 0. Здесь, в отличие от случая= 1 выписанная система из пяти уравнений, аналогичная (2.22), имеет несколько измененный вид:

Напомним, что при " = 1=2 коэффициент f210 можно считать чисто мнимым. А в случае = 0 заменой z ! z его можно перевести в состояние

Этот коэффициент, а также f002 наиболее важны в обсуждаемом случае

" = 1=2, = 0.

Мы начнем с рассмотрения случая f002 6= 0. Ясно, что каноническое уравнение с таким свойством не является жестким. При этом условии можно разрешить (0,0,2)-уравнение системы (2.25) относительно коэффициента B21. Для удобства дальнейших выкладок отметим, что в этом случае растяжением координат

z ! sz; w ! s2w (s > 0)

коэффициент f002 можно превратить в 1, сохраняя условия " = 1=2, = 0, а также условие неотрицательности параметра t в формуле (2.26). Обозначим для краткости f002 через . Тогда (0,0,2)-уравнение можно записать в виде

B21 = (f102p + f012p + 3f003q):

62

Дополним систему (2.25) еще одним, (3,0,0)-уравнением, имеющим вид

Тогда, как легко видеть в этом случае, все коэффициенты произвольного векторного поля, касательного к поверхности M, выражаются из уравнений (2.25), (2.27) через параметры p; q этого поля. Это означает, что размерность алгебры g(M) для однородной поверхности M, удовлетворяющей ограничениям

может принимать только значение 3.

Предложение 2.8. Если коэффициенты канонического уравнения аф- финно-однородной поверхности M удовлетворяют ограничениям (2.28), то:

1)= 1,

2)алгебра g(M), соответствующая каноническому виду уравнения этой поверхности, имеет базис

p

где - вещественный параметр, t = 2.

Для доказательства первой части сформулированного утверждения нам потребуются некоторые конкретные формулы, получаемые указанным выше способом и связывающие коэффициенты векторных полей на изучаемых однородных гиперповерхностях. Например, из (2.25) получаем

B1 = 2i(p + p);

B2 = B21 + iB22 = (f102p + f012p) + ( 3f003 + 2i)q;

Чрезмерно громоздкое выражение для коэффициента A2 = A21 + iA22 мы здесь не будем выписывать. Вместо этого обратим внимание на формулу

63

получающуюся из (1,0,0)- и (1,0,1)-уравнений системы (2.25).

Из требования вещественности правой части этой формулы легко выводятся два условия:

B2 = r(p + p) + ( 3 + 2i)q:

Теперь мы рассмотрим базисные матрицы E1; E2; E3 гипотетической алгебры g(M), отвечающие "стандартным" векторам (p; q), т.е. (1; 0), (i; 0), (0; 1). В силу формул (2.33) эти матрицы имеют вид

Далее, используя предварительные сведения (2.34) о базисных матрицах изучаемой алгебры, можно уточнять полученную информацию. Воспользуемся для этого требованием замкнутости относительно матричной скобки для линейной оболочки < E1; E2; E3 >. Например, скобка

64

должна разлагаться по базису E1; E2; E3. Из расмотрения (1,3)- и (2,3)- элементов выписанной матрицы легко вычисляются коэффициенты такого разложения. Здесь

1 = 2t; 2 = r; 3 = 4

являются коэффициентами при E1; E2; E3 соответственно, т. что выполняется равенство

Рассматривая (1,1)- и (2,2)-элементы полученного матричного равенства, приходим к системе следующих двух уравнений:

3 1

4iN2 + 2t( r + 4it) + r 2t + 4( 2 2 + 2i ) = 0;

4iN2 2t( 2 r) + 4( 3 + 2i ) = 0:

Эта система позволяет легко получить новое соотношение на параметры, входящие в базисные матрицы, а именно

8 rt + 8it2 18 2 + 16i = 0:

Отделяя здесь вещественную и мнимую части, получим

= r(4tr 9 ); t2 + 2 = 0:

Последнее равенство возможно лишь при

p

= 1; t = 2:

Тем самым, первая часть предложения 2.8 доказана. Рассмотрение всех оставшихся элементов матричного уравнения (2.37), а также аналогичных уравнений, соответствующих разложениям скобок [E1; E3] и [E2; E3] позволяет завершить доказательство предложения 2.8. Ясно, однако, что объем таких вычислений достаточно велик, и потому все необходимые выкладки мы здесь не приводим.

Отметим лишь, что процедура решения большой системы (2.37) квадратичных уравнений относительно неизвестных коэффициентов матриц оказывается сводимой к последовательному разрешению отдельных уравнений, являющихся по сути линейными относительно искомых неизвестных величин.

Для получения явных уравнений однородных поверхностей, соответствующих алгебрам (2.35), остается проинтегрировать эти алгебры.

65