Материал: Однородность вложенных многообразий. Афинная геометрия вещественных гиперповерхностей пространства C2. Лобода А.В

2)затем из полученных ограничений выводятся (достаточно жесткие) оценки размерностей алгебр g(M) для поверхностей из рассматриваемого класса;

3)далее выписываются в "грубой" форме базисные матрицы гипотетических алгебр (требуемых размерностей), соответствующих однородным поверхностям; за счет проверки условий замкнутости относительно матричной скобки мы получаем точные формулы для базисов требуемых алгебр;

4)на завершающем этапе построенные матричные алгебры интегрируются, что приводит к получению искомых однородных многообразий.

При этом главная рабочая идея монографии заключается в рассмотрении младших весовых компонент основного тождества. Из этого рассмотрения получается практически полная информация об интересующих нас алгебрах Ли. После чего остается проинтегрировать полученные алгебры и сформировать список аффинно-однородных гиперповерхностей.

Взависимости от типа или веса рассматриваемых поверхностей обозначенная идея претерпевает некоторые изменения, но в целом остается общим стержнем монографии.

Всоответствии со сказанным рассмотрим для случая Леви-невырож- денных гиперповерхностей основное тождество в компонентах весов 0,1,2,3

и4. Выписанные в §1.3 тождества (1.49), (1.50) и (1.51) мы будем разбивать на отдельные уравнения по числу различных мономов от переменных z; z; u, имеющих требуемый вес.

Предложение 1.7. В случае Леви-невырожденных гиперповерхностей из системы соотношений (1.47) - (1.51) выводится следующая система девяти уравнений:

41

Вес 4: (0,0,2): f002B21 2 A22 + (f102p + f012p + 3f003q) = 0:

Мы не будем приводить здесь полное доказательство сформулированного утверждения, состоящего из 9 пунктов. Эти пункты обсуждаются единоообразно, и выписанные в них формулы можно получить компьютерным образом (автор использовал для этой цели, как и для многих других выкладок, пакет символьной математики MAPLE). Принцип же получения этих формул прокомментируем на примере начальных уравнений весов 0 и 1.

В компонентах этих весов основного тождества (1.43) ранее были выписаны уравнения (1.47) и (1.48), т.е.

вес 0 : Re 2i q = 0;

При этом (1.47) совпадает с первой формулой предложения 1.7.

В тождестве (1.48) необходимо учесть, что

Тогда в весе 1 мы получим уравнение

Учитывая равенство вещественных частей у комплексно сопряженных выражений, получаем далее

Последнее равенство должно выполняться тождественно по переменной z, что приводит к упрощению его до выписанного выше (1,0,0)-уравнения. Остальные семь из заявленных девяти уравнений получаются по аналогичным схемам.

Информации, содержащейся в выписанных уравнениях, достаточно для получения практически полного представления об изучаемых нами однородных поверхностях.

Замечание. Строго говоря, в одном из рассматриваемых далее случаев нам потребуется еще одно, десятое, уравнение в дополнение к уже выписанным в предложении 1.7 компонентам основного тождества. Речь идет

42

о (2,0,1)-компоненте, получаемой по описанной выше схеме и имеющей в самом общем случае вид

Впрочем, нам это уравнение потребуется лишь при рассмотрении однородных поверхностей общего положения, поэтому группу из 4-х слагаемых, входящих в это уравнение и содержащих множитель , можно было не упоминать.

Одним из самых простых содержательных результатов о коэффициентах канонических уравнений аффинно-однородных невырожденных поверхностей, справедливых при " 6= 0, является следующее утверждение.

Предложение 1.8. Если квадратичная часть канонического уравнения (1.29) аффинно-однородной поверхности M не равна нулю, то коэффициенты этого уравнения удовлетворяют следующим ограничениям:

Для доказательства выразим из (2,0,0)-компоненты основного тождества коэффициент A1:

Подставляя далее полученную формулу в (1,1,0)-компоненту, получим новое равенство

(4f210" 3f300 f120)p + ( f210 3f030 + 4f120")p + (2"f111 f201 f021)q = 0

(1:70)

Здесь и далее мы будем использовать следующее очевидное соображе-

ние.

Замечание. Пусть три (комплексных) константы A; B; C таковы, что равенство

Ap + Bp + Cq = 0

выполняется при произвольных p 2 C; q 2 R. Тогда все три эти константы равны нулю.

В силу этого соображения получаем из (1.70) справедливость соотношения (1.68) на коэффициенты канонического уравнения (1.29) рассматриваемой однородной поверхности.

43

Еще одной иллюстрацией возможностей коэффициентного подхода, опирающегося на использование векторных полей при описании однородных многообразий, является доказанное в §1.4 предложение 1.6. Оно характеризует вещественную гиперплоскость в терминах младших коэффициентов канонического уравнения вырожденной по Леви гиперповерхности.

Аналог этого утверждения имеет место и для Леви-невырожденных аффинно-однородных гиперповерхностей. В заключение этого раздела мы рассмотрим уравнение (1.46) при дополнительном ограничении, связанном с обращением в нуль коэффициентов A2 и B22 всех полей из обсуждаемой алгебры g(M). Ниже мы будем получать это ограничение именно за счет рассмотрения девяти основных уравнений предложения 1.7.

Легко видеть, что при условиях

уравнение (1.46) существенно упрощается и становится линейным относительно функции F (z; z; u) (независимо от значений параметра "). Это позволяет достаточно легко получить следующее утверждение.

Предложение 1.9. Если в каноническом уравнении (1.29) однородной поверхности M

^

F3 = 0; F4 = 0;

и для всех полей из алгебры g(M) выполняются равенства (1.71), то обсуждаемая поверхность - квадрика с уравнением

Для доказательства рассмотрим уравнение (1.46), упрощенное за счет (1.71):

Компонента произвольного веса k 3 этого упрощенного уравнения легко вычисляется и имеет вид

44

Теперь индуктивное применение леммы 1 из §1.4 приводит к утверждению о тождественно нулевых весовых компонентах Fk(k 3) канонического уравнения обсуждаемой однородной поверхности. Тем самым, эта поверхность, действительно, имеет уравнение (1.72).

Завершая этот раздел, отметим, что при изучении аффинной однородности в случае Леви-вырожденных поверхностей мы также активно используем основное тождество. Однако, вследствие заведомого обнуления многих коэффициентов канонических уравнений, играющих в этом тождестве важную роль, мы не будем здесь выписывать аналог основной системы девяти уравнений для Леви-вырожденных поверхностей самого общего случая. Вместо этого изучение каждой конкретной ситуации мы будем начинать со своих, специфических по форме, следствий основного тождества.

§1.6. Интегрирование матричных алгебр Ли

Согласно общей схеме построения списка однородных поверхностей, изложенной в предыдущем параграфе, нам придется проинтегрировать достаточно много матричных алгебр. Каждая из таких алгебр, появляющихся в нашей задаче, состоит из комплексных квадратных матриц 3-го порядка вида (1.44), т.е.

Напомним, что в изучаемой задаче такие матрицы соответствуют аф-

касательным к однородным поверхностям.

Завершающий этап решения нашей задачи в каждом частном случае состоит в построении по заданной алгебре векторных полей касающейся всех этих полей вещественной гиперповерхности. Отметим, что теоретической базой, гарантирующей существование искомой поверхности, является известная теорема Фробениуса (см., например, [12], [73]). Нам эта теорема потребуется в следующей формулировке, близкой к изложению [73].

Предложение 1.10 (Теорема Фробениуса). Для произвольной алгебры аффинных векторных полей, имеющей в окрестности фиксированной точки пространства C2 ранг, равный 3, существует (и притом

45