Материал: Однородность вложенных многообразий. Афинная геометрия вещественных гиперповерхностей пространства C2. Лобода А.В

касательным к гиперповерхности M пространства R3.

Здесь через Aij обозначены производные (в точке t, отвечающей тождественному преобразованию) матричных элементов aij из формулы (1.38). Производные сдвиговой компоненты преобразования (1.38) образуют вектор, координаты которого обозначены через p; s; q.

Факт касания аффинным векторным полем Z обсуждаемой однородной поверхности

M = f (x1; x2; x3) = 0g

записывается, как известно, в виде

fZ( )gjM = 0:

Для дальнейшей работы с алгебрами аффинных полей удобно перейти к их матричным представлениям. При этом полю (1.39) ставится в соответствие квадратная матрица 4-го порядка

имеющая нулевую последнюю строку.

При построенном представлении скобке векторных полей соответствует скобка (коммутатор) матриц

[Z1; Z2] = Z1Z2 Z2Z1;

а размерность алгебры векторных полей равна размерности соответствующей матричной алгебры.

Опишем здесь группы аффинных преобразований однородных плоских кривых из теоремы 1.1. и соответствующие им алгебры Ли.

Пример 4. Рассмотрим, прежде всего, степенную кривую y = x (с произвольным показателем ) вблизи точки (1; 1) плоскости R2x;y. Имеется группа линейных преобразований

сохраняющих эту кривую. Дифференцирование такого группового преобразования по параметру t (в точке t = 1) приводит в этом случае к инфинитезимальному преобразованию, имеющему в матричной форме вид линейного

31

Пример 5. Для логарифмической (или, с точностью до замены переменных, экспоненциальной) кривой y = ln x однопараметрическая группа сохраняющих ее аффинных (но не линейных !) преобразований описывается формулами

Пример 6. Кривой y = x ln x соответствует группа линейных преоб-

разований

x = tx; y = (t ln t)x + ty (t > 0)

Пример 7. Каждая логарифмическая спираль из семейства r = eB', B 0 сохраняется комплексным умножением на произвольную точку, лежащую на ней самой. В вещественных координатах такое преобразование

Конструкции, аналогичные описанным выше, возможно реализовать и в расссматриваемом нами случае аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей многомерных комплексных пространств. Рассмотрим случай комплексного пространства C2, основной для настоящей монографии.

Аффинные (комплекснозначные) векторные поля в этом пространстве, касательные к какой-либо аффинно-однородной вещественной гиперповерхности M, также образуют алгебру Ли. Эту алгебру можно рассматривать (как и ранее) как совокупность инфинитезимальных преобразований, соответствующих транзитивному действию (локальной) группы Ли G(M) на обсуждаемом однородном многообразии.

32

Факт касания таким полем обсуждаемой однородной поверхности M записывается (c одним изменением по сравнению с вещественным случаем) в виде основного соотношения

где = (z1; z1; z2; z2; z3; z3) - вещественнозначная определяющая функция обсуждаемой поверхности.

Алгебры аффинных векторных полей удобно представлять в матричной форме, сопоставляя векторному полю (1.42) матрицу

Подчеркнем, что элементы введенных матриц (коэффициенты векторных полей) являются, вообще говоря, комплексными числами, тогда как алгебра таких полей рассматривается над полем вещественных чисел R.

Пример 8. Алгебра Ли, соответствующая трубчатой поверхности в пространстве C2 над аффинно-однородной кривой y = x , получается за счет модификации одномерной алгебры из примера 4.

Соблюдая общность обозначений, зададим обсуждаемую трубку уравнением

Тогда помимо растяжений

z = tz; w = t z (t > 0);

по сути повторяющих формулы (1.41), поверхность (1.45) сохраняют однопараметрические группы сдвигов по переменным y = Imz и u = Rew:

z = z + ir; w = w + s; r; s 2 R:

В итоге алгебра Ли, отвечающая вблизи любой точки (x0 + iy0; u0 + ix0 ) 2 C2; x0 > 0 поверхности (1.45), имеет (в матричной форме) базис

Основой для получения значительной части излагаемых в монографии результатов, послужило изучение алгебр Ли, состоящих из матриц вида

33

(1.44) и удовлетворяющих основному соотношению (1.43). При этом использование уравнений, аналогичных введенным в §1.2, позволяет получать конструктивные выводы как об изучаемых алгебрах, так и о соответствующих этим алгебрам однородных поверхностях.

Пусть, например, однородная поверхность M задана каноническим уравнением вида (1.29), разрешенным относительно вещественной переменной v:

X

v = Fk(z; z; u) = F2 + F3 + ::::

Левая часть уравнения (1.46) является аналитической функцией от переменных z; z; u. Тождественное равенство нулю такой функции означает выполнение (бесконечно) большого количества ограничений на обсуждаемую поверхность и векторные поля на ней.

Именно изучение этой информации позволило получить практически все классификационные результаты, излагаемые ниже. Тождество (1.43) (в соответствии с его названием), а также его следствия являются базой наших рассмотрений на протяжении всей книги.

Например, отделяя компоненты младших весов в тождестве (1.46), получим систему нескольких уравнений:

34

Замечание. В уравнениях (1.47) - (1.51) производные @Fn=@u можно

^

заменить на @Fn@u:

Отметим, что в этих уравнениях связаны элементы матрицы (1.44), отвечающей векторному полю (1.42), и слагаемые канонического уравнения (1.29) изучаемой поверхности. Рассмотрение именно этих уравнений позволяет получать интересующие нас выводы об однородности.

Для удобства дальнейших обсуждений выделим в матрице (1.44) ее левый верхний (2x2)-блок, обозначая его через

У элементов матрицы e будем при необходимости выделять вещественные и мнимые части, полагая

ReA1 = A11; ImA1 = A12; ReA2 = A21; ImA2 = A22;

ReB2 = B21; ImB2 = B22:

При исследовании однородных поверхностей одним из важнейших является вопрос о размерности соответствующих этим поверхностям алгебр (и групп) Ли. Эта размерность равна количеству остающихся "свободными" в уравнениях типа (1.47) - (1.51) параметров - элементов матриц (1.44), а точнее, их вещественных и мнимых частей, вводимых предыдущими обозначениями.

Отметим, что возможны ситуации (соответствующие примеры обсуждаются ниже), в которых одна и та же однородная поверхность допускает разные (в т.ч., по размерности) аффинные подгруппы, каждая из которых действует транзитивно на этой поверхности. Все такие случаи будут ниже специально прокомментированы. При этом, говоря о размерности алгебры векторных полей на однородной поверхности, мы по умолчанию будем иметь в виду максимальную размерность аффинных подгрупп (и соответствующих им алгебр), транзитивно действующих на обсуждаемой поверхности.

35