Материал: Однородность вложенных многообразий. Афинная геометрия вещественных гиперповерхностей пространства C2. Лобода А.В

В этом случае вещественную часть параметра A определим равенством

(1 + 2")Re A = Re f101;

гарантирующим (в силу формулы (1.24)) выполнение условия Re f101 = 0 в новых координатах.

А Im A можно задать формулой

3Im A = Re f210;

при выполнении которой получим (в силу (1.27)) второе требуемое в предложении 1.3 условие.

Замечание. В случае " = 1=2 растяжением переменных

с подходящим вещественным t ненулевой чисто мнимый коэффициент f101 уравнения (1.19) можно превратить в мнимую единицу (при этом коэффициент f210 останется чисто мнимым).

Объединяя предложения 1.2 и 1.3, можно сформулировать основной результат данного параграфа.

ТЕОРЕМА 1.10. Уравнение невырожденной по Леви гиперповерхности можно привести аффинными преобразованиями к виду

Если при этом 0 " 6= 1=2, то можно считать, что = 0; если же " = 1=2, то в дополнение к ограничению (1.30) на можно еще утверждать, что

Уравнение (1.29) со всеми уточняющими моментами теоремы 1.10 будем в дальнейшем называть каноническим уравнением невырожденной по Леви вещественно-аналитической гиперповерхности. В этом уравнении уже выделяются некоторые аффинные инварианты поверхности, например, важная

26

в дальнейших обсуждениях пара ("; ). Для нее справедливо следующее утверждение.

Предложение 1.4. В фиксированной точке вещественно-аналити- ческой гиперповерхности M 2 C2 неотрицательный коэффициент " из ее канонического уравнения (1.29) является аффинным инвариантом. При " = 1=2 аффинным инвариантом M является также коэффициент 2 f0; 1g.

В самом деле, фиксация точки означает возможность рассматривать вместо произвольных аффинных лишь линейные преобразования

Потребуем сохранения вида уравнения (1.29) и, в частности, его весовой структуры при подстановке формул (1.32) в это уравнение. Для того, чтобы новое уравнение не содержало слагаемых веса 1 в своей правой части, необходимо, чтобы коэффициент B1 равнялся нулю. Коэффициент B2 должен быть вещественным ненулевым числом в силу отсутствия в весовой компоненте 2-го веса правой части уравнения (1.29) переменной u.

Теперь рассмотрим решение (относительно переменной v) неявного уравнения

B2v = (A1z+A2w)(A1z + A2w)+"((A1z+A2w)2 +(A1z + A2w)2 +:::: (1:33)

рассмотрим, по аналогии с доказательством предложения 1.2, отдельные весовые компоненты получающегося тождества.

Компонента веса 2 имеет здесь вид

Так как коэффициент при jzj2 в уравнении (1.29) равен 1, то

jA1j2 = 1: B2

27

Это означает, что преобразование (1.32) может быть представлено композицией двух более простых линейных преобразований '1 и '2 с матрицами

соответственно.

Остается заметить, что отображение '1 переводит пару коэффициентов (f200; f101) любого уравнения вида (1.17) в пару (f200e2i; f101 ei). Рассмотренное в предложении 1.2 отображение '2 превращает аналогичную пару

в

(f200; f101 + 2ReA):

Тем самым, нулевой коэффициент " сохраняется композицией любых отображений вида '1 и '2. Сохранить такой композицией свойство положительности коэффициента f200 можно только при условии e2i = 1, означающем неизменность самого значения f200. Первая часть предложения 1.4 доказана.

В случае " = 1=2 имеются два возможных значения для коэффициента f101 = i канонического уравнения: 0 и i. При отображении '2 к исходному мнимому значению коэффициента f101 = i может добавиться ненулевая вещественная часть 2Re A. Сохранить в такой ситуации отображением '1 значение f200 = 1=2 и привести к мнимой единице или к нулю выражение (f101 + 2ReA) ei невозможно. Тем самым, нормированное значение коэффициента f101 = i также является аффинным инвариантом канонического уравнения (1.29) при условии " = 1=2. Предложение 1.4 доказано полностью.

Замечание. Уточним, что за счет растяжения координат (1.28), сохраняющего вид уравнения (1.29) при = 0, возможны дополнительные ограничения на старшие коэффициенты этого уравнения.

Дальнейшие рассмотрения невырожденых по Леви гиперповерхностей естественно распадаются на три случая в зависимости от значений параметра ": при " = 0 мы говорим о нулевой квадратичной части в уравнении поверхности (или о слабом вырождении такого многообразия); поверхности с " = 1=2 мы называем поверхностями трубчатого типа; наконец, в случае 0 < " 6= 1=2 мы говорим о поверхностях общего положения.

Общая идея приведения к каноническому виду, применяемая к классу каких-либо математических объектов часто подразумевает единственность такого канонического представления.

Построенная нами каноническая форма, как следует из приведенных

28

описаний, такой единственностью, вообще говоря, не обладает. Кроме того, в зависимости от значений некоторых коэффициентов промежуточных уравнений вид канонического уравнения невырожденной по Леви гиперповерхности в C2 может существенно изменяться.

Еще более сложными оказываются аналогичные построения в случае Леви-плоских поверхностей. Тем не менее, понятие канонического уравнения и в этом случае играет существенную роль в изучаемой задаче. По этой причине ситуация с вырожденными поверхностями будет рассмотрена ниже со "смешаной" точки зрения в отличие от "рафинированного" подхода к однородности невырожденных по Леви гиперповерхностей.

Точнее говоря, мы построим ниже канонические уравнения не для всех Леви-плоских поверхностей, а лишь для некоторых их классов. При этом нужные нам классы определяются на основе частичного использования информации об однородности изучаемых поверхностей. Для этого нам потребуется обсудить алгебры аффинных векторных полей на однородных поверхностях.

§1.3. Алгебра Ли, соответствующая однородной

гиперповерхности

Как известно, для произвольного гладкого (аналитического) многообразия совокупность гладких векторных полей на нем, рассматриваемых с операцией коммутатора полей, образует (бесконечномерную) алгебру Ли.

Взадаче описания вложенных подмногообразий, однородных относительно заданного семейства A преобразований объемлющего пространства, естественно рассматривать на таких многообразиях не произвольные векторные поля, а лишь связанные c семейством A.

Внашем исследовании основной является ситуация, в которой в объемлющем (вещественном или комплексном) пространстве действует группа аффинных преобразований. При этом некоторая ее подгруппа Ли G(M) сохраняет обсуждаемое (не обязательно однородное) многообразие. Нас интересуют в этой ситуации инфинитезимальные преобразования, соответствующие действиям однопараметрических подгрупп группы G(M). Согласно общеизвестным утверждениям (см. [17], [36]) эти преобразования образуют алгебру Ли, соответствующую группе G(M). Обозначается эта алгебра через g(M), а ее элементы естественно трактовать как аффинные векторные поля, касательные к поверхности (многобразию) M.

29

Если поверхность M предполагается локально-однородной (в фиксированной точке), то инфинитезимальные преобразования, соответствующие транзитивно действующей на M (локальной) группе G(M), позволяют смещаться вдоль поверхности M в любом касательном направлении. Отсюда следует, что значениями полей из алгебры g(M) в обсуждаемой точке накрывается вся касательная плоскость к поверхности M. Из совпадения размерностей алгебры g(M) и группы G(M) вытекает естественный вывод о том, что для аффинно-однородной гиперповерхности M n-мерного вещественного пространства справедлива оценка

Далее нам потребуется формализация обсуждаемой ситуации. Пусть в несколько большей общности рассматривается вещественная гиперповерхность вещественного же пространства Rn(n 2), однородная относительно некоторой подгруппы аффинной группы Aff(n; R).

Всякое аффинное преобразование пространства Rn записывается в виде

где A - квадратная невырожденная матрица порядка n с постоянными коэффициентами,

B - постоянный вектор-столбец,

X и X - векторы-столбцы старых и новых координат точки пространства Rn.

При обсуждении группы G(M), транзитивно действующей на гиперповерхности M пространства Rn, матрицу A из формулы (1.37) необходимо рассматривать не как константу, а как матричную функцию, зависящую от k-мерного вещественного параметра t = (t1; :::; tk); k (n 1).

Тогда, например, в случае вещественных гиперповерхностей M2 R3 развернутую запись (1.37) можно представить в виде

Дифференцирование преобразования (1.38) по одномерному параметру, входящему в t, приводит к аффинным векторным полям вида

30