Материал: Однородность вложенных многообразий. Афинная геометрия вещественных гиперповерхностей пространства C2. Лобода А.В

д) частным случаем семейства (3.12) является (при B1 = B2 = 0) конус

jzj2 jwj2 = 0 или w = 1( при (z; w) 6= (0; 0)): (3:13)

z

Замечание 2. Семейство (3.2) содержит однородные поверхности всех весов, введенных в главе 1. В самом деле, единственная однородная поверхность бесконечного веса { v = 0 } является элементом этого семейства в силу представления (3.9). Элементами семейства являются также поверхности (3.11), имеющие вес 4. Вес 3 имеют, например, билефельдские вееры (3.12) и, в частности, конус fjzj2 jwj2 = 0g. Поверхности

из этого семейства имеют, как несложно проверить, вес 2.

§3.2. Однородные поверхности веса 2

Основным результатом данного параграфа является следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 3.1 Любая аффинно-однородная вырожденная по Леви гиперповерхность веса 2 пространства C2 аффинно-эквивалентна одной из поверхностей следующего списка:

1) 3-параметрическое семейство поверхностей (3.2)

Доказательство сформулированной теоремы мы начнем, в соответствии с общей схемой, с обсуждения размерности алгебры векторных полей на однородной поверхности рассматриваемого класса.

96

3.2.1. Оценка размерности алгебры g(M) для поверхностей веса 2

Рассмотрим уравнение Леви-плоской поверхности M, имеющей вес 2,

т.е.

на коэффициенты этого уравнения.

Для доказательства предложения 1 сделаем в уравнении (3.19) замену переменных

Замечание. Согласованным растяжением координат z ! tz; w ! t2w (t > 0) любой ненулевой коэффициент из суммы

F3(0)(z; z) + XFk(z; z; u)

k 4

в (3.2.1) можно перевести на единичную окружность S1.

Далее рассмотрим основное тождество (1.43) для произвольного аффинного векторного поля Z на однородной поверхности M вида (3.21). Из компонент (1.47) и (1.48) этого тождества, выписанных в §1.3, легко получить следующие ограничения на параметры поля Z:

Предложение 3.5 Из компонент весов 2 и 3 основного тождества для аффинно-однородной поверхности M вида (3.21) вытекают следующие

97

ограничения на коэффициенты уравнения этой поверхности и на параметры любого касательного к M поля:

Доказательство предложения 2 является простым упражнением на тож-

для алгебры g(M) линейных векторных полей на однородной поверхности

M.

В самом деле, с учетом (3.22) - (3.24) все параметры матрицы (1.44), представляющей поле Z, выражаются в этом случае через ее последний столбец (параметры p; q) и, возможно, через еще один вещественный параметр B21.

В силу (3.25) для описания всех однородных Леви-вырожденных поверхностей веса 2 остается разобрать два случая возможных размерностей алгебры g(M): 3 и 4.

3.2.2. 4-мерные алгебры g(M) для поверхностей веса 2

В случае свободного параметра B21 базис изучаемой алгебры g(M)

с некоторыми коэффициентами M1; M2; N1; N2; M3; N3; = f002. Рассмотрение шести попарных матричных скобок [Ek; El] при 1 k <

l 4 и учет требования их принадлежности к (вещественной) линейной оболочке < E1; E2; E3; E4 > приводит к следующему утверждению.

98

Предложение 3.6. Существует единственная алгебра с базисом ви-

Предложение 3.7. Проходящее через начало координат пространства C2 интегральное многообразие, соответствующее алгебре (3.27), яв-

Для доказательства заметим, что наличие поля E3 в обсуждаемой алгебре означает, что соответствующая интегральная поверхность является жесткой, т.е. имеет (в рассматриваемых координатах) уравнение вида v = F (z; z), не зависящее от переменной u = Rew.

Два первых поля отличаются друг от друга множителем i. Это означает, что они порождают комплексную плоскость (одномерную комплексную прямую) в касательном пространстве к поверхности в каждой ее точке. Из двух вещественных уравнений

Re (Ek( ))jM = 0 (k = 1; 2)

отвечающих этим полям, строится одно комплексное уравнение

и мы получаем тогда однозначно определенное уравнение (3.28) искомой поверхности. Касание этой поверхности четвертым полем

99

очевидно, имеет место, т.к. этому полю соответствует однопараметрическая группа согласованных растяжений

z ! tz; w ! t2w; t > 0

пространства C2, сохраняющая поверхность (3.28).

Замечание. В теоремах 1.4 и 3.1 эта поверхность представлена в фор-

ме

Im(w z2) = 0:

Ясно, что заменяя в этом уравнении мнимую часть вещественной, мы получим поверхность Re(w z2) = 0; аффинно эквивалентную (3.28).

3.2.3. Поверхности веса 2 с 3-мерными алгебрами g(M)

При изучении 3-мерных алгебр, отвечающих этому же случаю, отметим, что их имеется достаточно много.

Здесь основой является допущение о том, что параметр B21 тоже выражается через основную тройку (p; p; q), а не является свободным. Положим

B21 = 1p + 2p + 3q;

где 1 = m + in; 2 = m in, а m; n; 3 - некоторые вещественные числа.

Тогда надо обсуждать 3-мерные алгебры с базисами вида

Как и ранее, предлагается рассмотреть три скобки выписанных "базисных" матриц и проверить условия замкнутости линейной оболочки

< E1; E2; E3 > относительно скобки. Вводя еще обозначения

100