Материал: Однородность вложенных многообразий. Афинная геометрия вещественных гиперповерхностей пространства C2. Лобода А.В

Это означает, что (с точностью до аффинных преобразований) мы получаем координатную запись обсуждаемой поверхности в требуемом виде (3.45).

Замечание 1. Поверхности (3.45) - это еще одно обобщение логарифмических спиралей, полученное путем нанизывания на произвольную спираль одномерных комплексных многообразий. В отличие от Билефельдских вееров здесь листы-многообразия являются не плоскими, а "параболически искривленными"(расплавленными от воронежской летней жары 2010 г.). Уравнение отдельного такого листа есть

w z2 = ; произвольная точка спирали fj j = eB arg g C:

Замечание 2. При 1 = Re = 0 мы получаем из (3.45) уравнение алгебраической поверхности 4-го порядка

Обсудим теперь 3-параметрическое семейство алгебр (3.36). Здесь наиболее важным моментом является наличие кратных собственных значений у матрицы E1 из базиса такой алгебры.

Для обсуждаемого базиса

(здесь мы используем упрощенные обозначения A = ( 3=2)e ; B = (r 2i ) 2 C) это возможно в двух случаях:

1)при B = 0 матрица E1 имеет два нулевых характеристических корня

иодно ненулевое собственное значение;

2)при условии A2 + 16iB = 0 (A 6= 0; B 6= 0) матрица E1 помимо простого нулевого собственного значения имеет еще 2-кратный ненулевой характеристический корень и лишь один соответствующий ему собственный вектор.

Впервом случае получаем из (3.36) семейство (коммутативных) алгебр

сбазисом

106

где A = ei; ( 2 ( =4; =4]) - комплексное число с единичным модулем.

Предложение 3.13. С точностью до аффинных преобразований интегральным многообразием любой из алгебр (3.51) является поверхность с уравнением (3.17), т.е.

Замечание. В 3-мерном комплексном пространстве имеется семейство голоморфно-однородных вещественных гиперповерхностей с 2-мерной группой изотропии, которое по сути "вырастает" из семейства (3.17). Его было

Для доказательства предложения 3.13 заметим, что в обсуждаемой алгебре присутствует поле E3, что означает жесткость искомого уравнения поверхности, т.е. представимость его в виде

v = F (z; z):

Далее заметим, что поля E1; E2 связаны соотношением

E2 = iE1:

Такое свойство изучаемой алгебры позволяет объединить два вещественных уравнения, отвечающие основному тождеству Re(Z( )) = 0 для полей E1

107

Его интегрирование приводит к формуле

С учетом вещественности функции F (z; z) это означает, что (3.54) можно записать в виде

где C 2 R:

С точностью до аффинного преобразования последняя формула совпадает с требуемым уравнением (3.17).

Замечание. Вырожденная по Леви поверхность (3.17) расслаивается

Теперь вернемся к рассмотрению второго случая, нарушающего общность положения матрицы E1 в (3.50), а именно к

Предложение 3.14. При условии (3.55) любое интегральное многообразие алгебры (3.50), аффинно эквивалентно одной из поверхностей семейства (3.18), т.е.

Для доказательства предложения 3.14 напомним, что в этом случае матрица E1 имеет 2-кратное собственное значение A=2 6= 0 и лишь один

0 1

iA

собственный вектор @ 8 A; отвечающий этому значению. Базис

0

108

Напомним, что согласно обсуждениям из §1.6 первой главы подобие алгебр с матрицей (3.57) означает аффинное преобразование координат (с той же матрицей) в пространстве C2. При этом интересующая нас точка пространства C2, а именно, начало координат, переходит в точку

(0; ); = 16A :

Наличие в каждой из матриц (3.58) нулевого "окаймления" для левых верхних 2x2-блоков позволяет при переходе в дальнейшем к экспонентам от этих матриц обсуждать именно левые блоки и использовать в пространстве C2 только их.

В целом экспоненты etE1 ; esE2 ; erE3 (t; s; r - вещественные параметры ) имеют для матриц (3.58) вид

Рассматривая орбиту точки Q(0; ) 2 C2 под действием 3-х однопараметрических групп (3.59), получаем параметрическое представление искомой поверхности в виде

Исключая из формул (3.60) параметры t; s за счет соотношения

t + is = wz ;

можно получить одно (комплексное) уравнение

w = e z=w+Br:

109

Принимая здесь z = и w= за новые переменные (с теми же обозначениями z и w соответственно), получим

w = ez=w+Br:

Выражая из этого уравнения вещественный параметр r, имеем r = B1 (ln w wz ):

Это означает, что уравнение искомой поверхности в координатной форме можно записать следующим образом

С учетом формул, связывающих B и A = e i 2 S1, последнее уравнение преобразуется к требуемому в (3.18) виду

Предложение 3.14 доказано.

Для лучшего понимания ситуации можно убедиться непосредственно в аффинной однородности поверхностей, задаваемых уравнениями (3.61).

Во-первых, такое уравнение сохраняется 2-параметрическим семейством аффинных преобразований

z = tz + (ei t ln t)w; w = tw

при комплексных t, свободно изменяющихся, например, вблизи точки 1.

Кроме того, имеется еще 1-параметрическая группа "растяжений"

пространства C2, также сохраняющих уравнение (3.61).

Это возможно, если комплексный коэффициент "растяжения" удо-

Несложно видеть, что при = 0 уравнение (3.63) задает дугу единичной окружности, а при 0 < j j < =4 - логарифмическую спираль

j j = eD arg ; D = tg(2 )

110