Материал: Однородность вложенных многообразий. Афинная геометрия вещественных гиперповерхностей пространства C2. Лобода А.В

При этом W4 и N4, равные, соответственно, значениям параметров B21 и A22 в матрице E4 - вещественные числа. Для упрощения обсуждений мы рассмотрим здесь два случая, связанные с парой чисел (W4; N4).

Прежде всего заметим, что пользуясь возможностью вещественного масштабирования ненулевой базисной матрицы E4, можно считать, что W4 равно либо нулю (и тогда N4 6= 0), либо любому конкретному ненулевому числу, например, 2. Той же процедурой масштабирования можно в первом случае упростить N4 и превратить этот коэффициент в единицу.

Таким образом, матрица E4 любой изучаемой гипотетической алгебры может быть приведена к одному из двух видов:

Пользуясь уточненной информацией о матрице E4, мы теперь можем внести изменения и в матрицы E1 E3. Учитывая сказанное выше, можно сформулировать следующее утверждение. Оно представляет собой сокупность необходимых условий на алгебру, удовлетворяющую обозначенным выше свойствам (4-мерная алгебра g(M) и вес поверхности, равный 3).

Предложение 3.17. 4-мерная алгебра, отвечающая однородной поверхности веса 3, может иметь базис лишь одного из двух видов (b1 ,b2, b3; N1, N2, N3, N4 - некоторые вещественные параметры):

116

Подчеркнем еще раз необходимый характер условий (3.76) и (3.77). Теперь предлагается рассмотреть все попарные скобки матриц (3.76) и, соответственно, (3.77) и выяснить: при каких значениях входящих в них параметров линейные оболочки наборов таких матриц образуют матричные алгебры Ли ?

Предложение 3.18. Если линейное пространство с базисом (3.76) или (3.77) является матричной алгеброй Ли, то базис такой алгебры можно представить в одном из двух следующих видов:

1 случай (базис (3.76), b = b1):

Следующий шаг состоит в выяснении вопроса о возможных подобиях друг другу полученных матричных алгебр и о виде таких матриц, более удобном для интегрирования.

Предложение 3.19. При любых значениях параметров ; N алгебра Ли с базисом (3.79) подобна алгебре g =< E1; E2; E3; E4 > с матрицами

Для доказательства предложения 3.19 используется приведение к жордановой нормальной форме матрицы E3 из (3.79), имеющей собственные значения

N + i ; N + i ; 0:

117

В связи с этим интерес представляют два случая:

1)N 6= 0 : спектр E3 - простой.

2)N = 0 : E3 имеет кратные собственные значения и только два собственных вектора.

Если N 6= 0, то преобразование подобия с матрицей

Легко видеть, что с точностью до линейных комбинаций такой базис совпадает с набором (3.80).

Во втором случае в качестве матрицы подобия можно использовать

0 1

=2 i=2 i=2

S = @ 1 0 0 A:

00 1

При этом матрицы E1; E2 диагонализируются, а E3 и E4 превращаются, соответственно, в

Алгебра с таким базисом также совпадает с линейной оболочкой матриц (3.80).

Предложение 3.19 доказано.

Предложение 3.20 Независимо от параметра любая алгебра Ли с базисом (3.78) подобна алгебре g =< E1; E2; E3; E4 > с матрицами

118

(с тем же значением параметра b).

Для доказательства отметим, что при = 0 диагонализация матрицы E2 сразу переводит обсуждаемую алгебру (3.78) в подобную ей алгебру (3.819).

При 6= 0 ситуация оказывается несколько сложнее предыдущего случая. Например, упомянутая выше диагонализация матрицы E2 не обеспечивает одновременного приведения всего набора (3.78) к удобному виду. Здесь вместо базиса (3.78), возникающего при изучении канонических уравнений однородных поверхностей, рассмотрим базис

превращает набор матриц (3.82) в базис (3.81).

Для завершения описания однородных поверхностй требуемого типа с 4-мерными алгебрами g(M) остается сослаться на следующий достаточно простой факт.

Предложение 3.21 Интегральной поверхностью, отвечающей любой из 4-мерных алгебр (3.80), (3.81), является (с точностью до аффинной эквивалентности) конус

Re(zw) = 0:

Для доказательства достаточно заметить, что любая из обсуждаемых алгебр подобна некоторой 4-мерной подалгебре алгебры конуса.

В самом деле, для матриц (3.80) (отмеченных звездочкой во избежание путаницы) имеем следующие выражения через пять базисных матриц алгебры конуса (3.69):

E1 = 12E1; E2 = E5; E3 = 12E2 E5; E4 = 12E3:

119

Аналогично, для алгебры (3.81)

E1 = E1 2bE2; E2 = 12E2 2E5; E3 = 12E3; E4 = E4:

В силу уже использовавшихся обсуждений это означает требуемое.

Замечание. Разумеется, утверждение предложения 3.21 можно получить как непосредственным интегрированием системы уравнений в частных производных, так и через рассмотрение одно-параметрических групп, отвечающих базисным матрицам полученных выше алгебр.

3.3.3. Однородные поверхности с 3-мерными алгебрами g(M)

В этом случае любое линейное векторное поле, касательное к обсуждаемой однородной поверхности M, имеет тот же вид (3.70). В качестве базисных матриц мы, как обычно, рассмотрим матрицы, отвечающие стандартным наборам (p; q): пара (1; 0) образует сдвиговый вектор поля (матрицы) E1, вектор (i; 0) отвечает матрице E2, и, наконец, вектор (0; 1) связан с матрицей E3.

При этом параметры B21, A22 таких полей принимают в трех базисных матрицах E1; E2; E3 обсуждаемой алгебры некоторые числовые значения. Пусть

1; 2; 3

- это значения параметра A22 в матрицах E1; E2; E3 соответственно, а

1; 2; 3

-значения параметра B21 в тех же матрицах.

Втакой ситуации предлагается выяснить вопрос о различных 3-мерных матричных алгебрах, состоящих из матриц вида (3.70). Как и ранее, предлагаемый вид базисных матриц оказывается весьма жестким ограничением на обсуждаемые алгебры.

Рассмотрение скобок "базисных" матриц, детали которого мы не приводим, позволяет получить здесь следующее утверждение.

Предложение 3.22. Если набор матриц (3.70) является базисом 3- мерной матричной алгебры Ли g, то с точностью до матричного подобия g совпадает с одной из алгебр g =< E1; E2; E3 > следующего списка:

120