Материал: Методы интегрирования. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика». Пантелеев И.Н

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

tg x=t,

= òt

+1)

dt =

+ C =

dx =

1+ t 2

+ t2

tg x5

tg x3

+ C.

Пример 8. Вычислить интеграл ò x

4 - x2 dx.

Решение. Вычислим интеграл методом замены.

	4 - x2 = t
ò x 4 - x2 d =	4 - x2 = t2				= -òt ×t dt = -	t3	+ C =

	-2x dx = 2t dt				3
	x dx = -t dt
	= -	1	( 4 - x	2	)3 + C.

3

Пример 9. Вычислить интеграл òsin 5x sin 3x dx.

Решение. Сначала представим подынтегральную функцию в виде сумм двух простых функций по формуле

sin mx sin nx = 12 [-cos(m + n)x + cos(m -n) x], а затем вычислим полученные два интеграла, т.е.

òsin 5x sin 3x dx =

ò[-cos 8x + cos 2x]dx = -

sin 8 x

sin 2 x

+C.

Задания для самостоятельного решения

Вычислить интегралы

ò(2sin x -3cos x)dx.

11. ò

dx.

(x +1)(x - 2)

ò2xe

12. ò

dx.

(x -1)2 (x - 2)

3.òcos 2xdx.

4.ò x2 3 4 - 3x3 dx.

5.ò arcsin 2x dx.

1- 4x2

6.ò xex dx.

7. ò x ln xdx.

8 òarctg xdx.

9.òex (x2 + 2)dx.

10.òtg3 xdx.

x3dx

13.ò (x -1)(x2 +1) .

14.ò (3x + 2)dx . x(x -1)3

15. ò		dx	.
	3	+ 5 cos x

16.òcos2 x dx.

17.òcos10x sin 4x dx.


18.	ò		x dx	.
		4	5
			x +1
19. ò			2 + 3x		dx.

			x -3
20.	ò x2 7 - 6x - x2 dx.

II.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1.Определенный интеграл и задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Некоторые

физические толкования определенного интеграла

Определение 1. Пусть на отрезке[a, b] задана функ-

ция f (x) .	Разделим [a, b]		на	части произвольными			точками
a = x0 < x1 < ... < xn		= b и на каждом частичном отрезке [xi , xi+1 ]
данного разбиения выберем				произвольную		точкуξi . Сумма
n-1
Sn = å f (ξi )Dxi		называется		интегральной		суммой	функции
i=0
f (x) .
Определение 2.			Предел (если		он	существует), к
которому	стремится		интегральная			суммаS ,	когда
						n

max Dxi ® 0 ,	называется		определенным				интегралом	от
функции f	на отрезке[a, b]		и	обозначается следующим
образом:	b
	b	f (x)dx =	lim	n-1	f (ξ	)Dx .
	ò	f (x)dx =	lim	å	f (ξ	)Dx .
	ò		max Dx ®0	å	i		i
	a		i	i =0
	a			i =0

Число а называется нижним пределом определенного интеграла, а число b — верхним его пределом.

Теорема 1. Если функция f (x) интегрируема на [a, b] ,

то она интегрируема на любом отрезке [c, d ], содержащемся в

[a, b] .

Теорема 2. (существования определенного интеграла).

Если функция f (x)		непрерывна		на[a, b] , то	она и
интегрируема на этом отрезке.
Теорема 3. Если функция f (x) имеет на отрезке [a, b]
конечное	число	точек	разрыва	первого ,	торода она

интегрируема на [a, b] .

Задача 1. (о массе неоднородного стержня). Пусть дан линейный неоднородный стержень, лежащий на оси Ох в

пределах отрезка [a, b] (рис. 3).

Требуется определить массу этого стержня. Пусть плотность распределения массы вдоль стержня есть некоторая непрерывная

	Рис. 3		функция от x : ρ(x) .
Разобьем		стержень	наn	произвольных		частей			точками
a = x	< x < ... < x = b.		В	пределах	каждой		частиx , x
0	1	n					[	i	i+1 ]
выберем		по произвольной		точкеξi . Так		как	в	пределах
[xi , xi+1 ]		функция ρ(x)	изменяется		мало,	то	массу		части

стержня, соответствующей отрезку [xi , xi+1 ] , можно считать приближенно равной mi = ρ(ξi )Dxi , где Dxi = xi+1 - xi . Составим сумму mn

n-1

mn = ρ(ξi )Dxi +... + ρ(ξn -1 )Dxn-1 = åρ(ξi )Dxi ,

i=0

которую называют интегральной суммой, по определению 1, и которая, очевидно, равна сумме mi .

Устремим все Dxi к нулю так, чтобы максимальный частичный отрезок разбиения стремился к нулю. Если при этом величина mn стремится к определенному пределуm, не зависящему от способов разбиения и выбора точекξi , то

естественно величину m называть массой данного стержня. Таким образом

m = lim	n-1	ρ(ξ	)Dx	î ï ðåä.2	b	ρ(x)dx.
m = lim	å	ρ(ξ	)Dx	=	ò	ρ(x)dx.
max Dx ®0	å	i	i		ò
i	i=0				a
	i=0				a

Задача 2. (о площади криволинейной трапеции). Пусть на [a, b] задана неотрицательная непрерывная функция f (x) .

Требуется определить площадь фигуры, ограниченной кривой y = f (x) , осью Ox , прямыми x = a и x = b (рис. 4).

		Рис. 4
Разобьем		[a, b]	на n	частей		точками
a = x0 < x1 < ... < xn		= b. Выберем	на	каждом из	полученных
частичных	отрезков [xi , xi+1 ]		по	произвольной	точкеξi	,
значение	функции f (x) в этих точках будет				f (ξi )	и,
		22

следовательно,				площадь				каждого		из	полученны
прямоугольников будет					f (ξi )Dxi .
								n-1
Составим				сумму Sn				= å f (ξi )Dxi ,		которую,	по
								i=0
определению 1,			называют интегральной суммой и которая,
очевидно, равна сумме площадей прямоугольников.
Пусть max Dxi					® 0 ,			тогда Sn	® S	при	любом
разбиении	и		выборе			точекξi . Таким			образом, величина
S = lim	n-1	f (ξ		î ï ðåä.2		b	f (x)dx.		является		площадью
S = lim	å	f (ξ		)Dx	=	ò	f (x)dx.		является		площадью
max Dx ®0	å		i	i		ò
i	i =0					a
	i =0					a

криволинейной трапеции.

Обе из рассмотренных задач привели нас к одной и той же математической операции над функциями различного

происхождения,			заданными			на [a, b] .		Эта	операция
называется операцией интегрирования функции на отрезке, а
ее	результат — число				— называется			определенным
интегралом от функции на отрезке.
	Некоторые физические толкования определенного
				интеграла
	1.	Если	f (x) —		это	скорость		прямолинейного
							b
движения		точки	в момент		времениx,		то ò f (x)dx		выражает
							a
путь, пройденный данной точкой от							момента времениx = a
до момента x = b .
	2. Если f (x)			— это	переменная сила, под				действием
									b
которой материальная точка движется по оси Ox , то ò f (x)dx
									a
выражает		работу,		произведенную			данной		силой	при
перемещении точки по отрезку [a, b] .

Источник: https://studfile.net/preview/16564454/

Смотрите также:


ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Electronics Workbench' – алгоритм инструмента моделирования электронных схем
'Новая экономика': российская специфика
'Свадьба'. Керамика