Материал: Методы интегрирования. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика». Пантелеев И.Н

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Для того чтобы найти площадь прямоугольника ОАСD,

надо определить абсциссу точки D, подставив значение t2 = p

в равенство x = 2 cos t . Получим x = 2 cos

3. Тогда

SOACD =

=1× 3 = 3.

Вернувшись

формуле

(*),

вычислим

SABC

4p + 3 3

3 =

4p -3

Окончательно

находим площадь заданной фигуры S = 2SABC

4p - 3

(ед.2 )

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной

окружностями ρ=2 cos φ, ρ = 3cos φ.

Решение.

Построим

данную

фигуру

полярной

системе координат (рис. 7). Так как

она

симметрична

относительно

полярной

оси,

то

достаточно

вычислить

площадь

половины

данной фигуры при изменении угла

от 0 до 90º, а затем полученный

результат удвоить.

Для вычисления

искомой площади воспользуемся

Рис. 7

формулой (3):

S = 2 ×

ò(3cos2 φ - 4cos2 φ)dφ=

= òcos2 φdφ =

ò(1+ cos 2φ)dφ =

æ p

φ +

sin 2φ ÷

+ 0

- 0

(ед. ).

Пример 3. Определить длину окружности x2 + y2 = 4 .

Решение.

Построим

кривую,

длину

которой необходимо найти(рис. 8). Так

как

график

функции

симметричен

относительно осей координат, то сначала

вычислим 4 1 часть длины дуги, а затем

домножим полученное значение на

Рис. 8

четыре.

-2

Здесь x Î[0, 2] ,

y =

4 - x2

, y ' =

Теперь

2 4 - x2

подставим найденные значения в формулу(11.4) нахождения

длины дуги

æ p

l = 4ò

dx = 4ò

dx = 8arcsin

= 8

- 0

÷ = 4p

- x

4 - x

Пример 4. Определить длину кривой

- 2) sin t + 2t cos t,

ïx = (t

0 £ t £ p.

-t2 ) cos t + 2t sin t,

ïy = (2

Решение. Найдем производные первого порядка от

функций x(t) и y(t) :

x ' = 2t sin t + (t 2 - 2) cos t + 2 cos t - 2t sin t = t 2 cos t,

y ' =1- 2t cos t - (2 -t 2 ) sin t + 2 sin t + 2t cos t = t 2 sin t.

Теперь подставим найденные значения в формулу(5)

нахождения длины дуги и получим

p 3

l = ò

t4 cos2 t + t 4 sin2 t dt = òt 2dt =

Пример 5. Определить длину кардиоиды.

ρ = 2(1- cos φ),

0 £ φ £ π .

Решение. Построим данную кривую в

полярной системе координат (рис. 9).

Найдем

производную

первого

Рис. 9

порядка от функции и подставим в

формулу (6) нахождения длины дуги.

2(1- cos φ) ' = 2sin φ.

p	p
l = 2ò 4(1- cosj)2 + 4 sin 2 jdj =2ò		4 -8cosj + 4 cosj2 + 4 sin 2 j dj =
0	0
p	p		j	p
p	p			p
= 2ò 8(1- cosj)dj = 8òsin					= -16(0 -1) =16.
= 2ò 8(1- cosj)dj = 8òsin					= -16(0 -1) =16.
0	0	2		0
0	0	2		0
Пример 6. Вычислить		объем тела,				образованного
вращением	вокруг осиOx и		Oy		фигуры,	ограниченной

линиями y2 = (x + 4)3 , x = 0.

Решение. Рассмотрим вращение вокруг оси Ox (рис 10).

Так как фигура образована вращением вокруг осиOx , то (x + 4)3 £ y £ 0, а х изменяется от –4 до 0. Тогда по формуле (7)

0	(x + 4)	4	0	4	4	- 0 = 64p (ед. 2 ).

V = p ò (x + 4)3 dx = p			= p
	4			4
-4			-4

Рассмотрим вращение вокруг оси Oy (рис. 11).

Рис. 10

Рис. 11

Так как фигура образована вращением вокруг осиOy ,

то y2 3 + 4 £ x £ 0 , а у изменяется от 8 до 0. Тогда по формуле

(8)

			8		8						8	(y		43 +8y 2 3 +16)dy =
	V = p òx2dy =p ò(y						23 + 4)2 dy =p ò					(y		43 +8y 2 3 +16)dy =
			0		0						0
æ	7		24 y	5	ö	8	æ 3				24				ö				92
						8

	3y 3			3					7				5				2			2
= p ç		+			+16 y ÷		= p ç	2		+		2		+16 ×8	÷	= 32		×p ×		(ед. ).
= p ç		+			+16 y ÷		= p ç	2		+		2		+16 ×8	÷	= 32		×p ×		(ед. ).
ç	7		5		÷		è 7				5				ø				35
è	7		5		ø	0	è 7				5				ø				35
è					ø	0

Задания для самостоятельного решения

1. Найти площадь фигуры, ограниченной: а) кривыми y =1- x2 и y = x2 - 7;

ìx = 3cos3 φ,

б) астроидой í

ïîy = 3sin3 φ;

в) одной аркой циклоиды	ìx = 2(t -sin t),	− и осью Ox ,
	í
0 £ t £ 4p.	îy = 2(t - cos t)

Ответы: а) 63 ; б) 27 p ; в)12p .

2.Вычислить длину дуги:

а)	полукубической параболы y = x				32 от точки			O(0; 0)	до
точки A(4; 8) ;
б) кардиоиды r = 5(1- cos φ) .
Ответы: а)		8		(10 10 -1); б) 40 .
Ответы: а)		27		(10 10 -1); б) 40 .
3. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры:
а) вокруг оси Oy , ограниченной кривыми y =						2		и y = x2	;
а) вокруг оси Oy , ограниченной кривыми y =								и y = x2	;
					1+ x2
б)	вокруг			оси Ox , ограниченной			одной		аркой
	ìx = 3(t -sin t),
циклоиды í			= 3(t - cos t).
	îy		= 3(t - cos t).

Ответы: а) 2 ln 2 - 1 ; б) 243p (8p 2 +1). 2

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Бугров Я.С. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. М.: Наука, 2009.

2.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов / Н.С. Пискунов. М.: Наука, 2005. Т.2.

3.Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов: учеб пособие для студентов высш. техн. завед.; под ред. Б.П. Демидовича – М.: Астрель, 2001.

4.Виноградова И.А. Задачи и упражнения по математическому анализу/И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - М., Высш. шк., 2000. – Кн. 1.

5.Сборник задач по высшей математике/К.Н. Лунгу [и

др.]- М.: Айртс-пресс, 2003.
6. Пантелеев	И.Н.	Высшая	математика.
Дифференциальные	уравнения.	Ряды:	практикум: учеб.

пособие / И.Н. Пантелеев. Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университнт», 2009.-215 с.

7.	Пантелеев И.Н.	Спецглавы высшей математики:
уравнения	матфизики: учеб. пособие		/ И.Н. Пантелеев.
Воронеж:	ГОУВПО	«Воронежский	государственный

технический университет», 2008.- 253 с.

8. Пантелеев И.Н. Высшая математика. Интегральное исчисление: практикум: учеб. пособие / И.Н. Пантелеев. Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2009.- 231 с.

Источник: https://studfile.net/preview/16564454/

Смотрите также:


ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Electronics Workbench' – алгоритм инструмента моделирования электронных схем
'Новая экономика': российская специфика
'Свадьба'. Керамика