Материал: Методы интегрирования. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика». Пантелеев И.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Аналогично определяется несобственный интеграл с

				b			b
бесконечной нижней границей: ò f (x)dx = alim®-¥ ò f (x)dx.
				-¥			a
	Несобственный			интеграл		с	двумя		бесконечными
границами					определяется
+¥	c		+¥
ò	f (x)dx = ò	f (x)dx + ò		f (x)dx, где с — любая точка оси Ox .
-¥	-¥		c
				+¥
	Таким	образом,		ò f (x)dx	существует			только		тогда,
				-¥
						c		+¥
когда существует каждый из интегралов ò f (x)dx и ò									f (x)dx.
						-¥		c
	Определение 5. Пусть функция					f (x)	разрывна в точке
b	интервала [a, b]		и непрерывна		во	всех	внутренних			точках
этого интервала.			Если	c ® b - 0 éc Î(a,b )ù			и	определенный
				ë		û
	c
интеграл ò f (x)dx			стремится к конечному пределу,						то	этот
	a

предел называется несобственным интегралом от разрывной

функции и обозначается ò f (x)dx.

	a
		b		c
Таким	образом,	ò f (x)dx = clim®b-0 ò f (x)dx.			В этом
		a		a
случае говорят, что несобственный интеграл существует или
сходится. Если	указанный		предел	не	существует	или
бесконечен, то	говорят,	что	интеграл	не существует или
расходится.
Аналогично, если функция f (x)				разрывна в точке а
интервала [a, b] , то
	b		b
	ò f (x)dx = clim®a+0 ò f (x)dx.
	a		c

Наконец, если функция разрывна в точке d Î(a, b), то

			b								d											b
			ò f (x)dx = ò f (x)dx + ò f (x)dx.
			a									a										d
Примеры решения практических задач
																				1
Пример 1. Вычислить интеграл ò x2dx.
																				0
				1						x	3				1		(1)		3		(0)			3					1
				1							3				1				3					3
				ò x2dx =											=					-							=					.
				ò x2dx =											=					-							=					.
				0								3			0		3				3						3
				0								3			0					e
																				e
Пример 2. Вычислить интеграл òln x dx.
																				1
e					u = ln x, du =													dx															e		e
e																		dx																	e
òln x dx =																			x			= x ×ln x												-	òdx =
																						= x ×ln x											1	-
					dv = dx,										v = x																		1
1					dv = dx,										v = x																				1
1																																			1

				= e1 ×1-1×0 - x												1e = e - e +1 =1.


																				3		xdx
Пример 3. Вычислить интеграл ò																						xdx						.
Пример 3. Вычислить интеграл ò																												.
																				0		x +1
								x +1 = t2
								x +1 = t2
3		xdx						x = t2 -1													2		t	2		-1
ò		xdx				=		dx = 2tdt												= ò			t			-1				2t dt =
ò		x +1				=		dx = 2tdt												= ò										2t dt =
0		x +1						x = 0						Þ t = 1							1				t
								x = 0						Þ t = 1
								x = 3 Þ t = 2

æ	2		3			ö	2			2										2							14									8
æ	2		3			ö	2			2										2							14									8
= ç		t		- 2t ÷					=				×8 - 4 -								+ 2 =											- 2			=		.
= ç	3	t		- 2t ÷					=	3			×8 - 4 -							3	+ 2 =						3					- 2			=	3	.
è						ø	1
è						ø	1
																				1		x		2	dx
Пример 4. Вычислить интеграл ò																						x			dx						.
Пример 4. Вычислить интеграл ò																									2						.
																				0		4 - x

x = 2 sin t

x2dx

dx = 2 cos tdt

4 sin2 t ×2 cos t dt

6 sin2 t ×cos t dt

x = 0 Þ t = 0

= ò

= 8 ò

4 - x

4 - 4 sin

2 cos t

x =1 Þ t =

= 4 ò (1- cos 2t)dt = ç4t -

sin 2t ÷

Пример 5. Вычислить несобственный интеграл ò

¥ dx

= blim®¥

ç-

=limb®¥ ç

+1÷

Пример 6. Вычислить несобственный интеграл ò

1 + x

-¥

= lim (arctg x )

= lim (arctg b - arctg a) =

- ç

÷ = p.

1+ x2

b®¥

2 è

-¥

a®-¥

Пример 7. Вычислить интеграл ò

3 2

-1

J = ò

;

x = 0 — разрыв.

3 2

-1

-3

2 dx

= lim

= 3,

2 dx = lim 3x

a®0

-1

-3

lim

2 dx =lim 3x

= 3.

a ®0

a®0

J = 3 + 3 = 6.

Задания для самостоятельного решения

1. Вычислить определенные интегралы:

xdx

а) ò

; б) ò

; в)

ò x cos xdx; г) ò

2 - x

dx; д) òtg

xdx.

4 - x

cos

Ответы: а) 1; б)

; г)

p - 2

; д)

ln 2.

2. Вычислить несобственные интегралы:

arctg

ln( x +1)

а) ò

; б) ò

; в) ò

; г) ò

;

2x -1

+ 2x +1

1 1+ x

x +1

Ответы: а) ¥ ; б) 7 p 3 ; в)1; г) ¥ . 8

Приложения определенного интеграла

1. Вычисление площади в декартовых координатах

Если	на [a, b]	функция y = f (x)			непрерывна и
положительна,	то	площадь	криволинейной				трапеции,
ограниченной	линиями y = f (x) ;			y = 0;	x = a; x = b,
определяется формулой
		b	b
		S = ò ydx = ò f (x)dx.					(1)
		a	a
Пусть теперь f (x) < 0 на [a, b], тогда
		b	b
		S = -ò ydx = -ò f (x)dx.
		a	a
Если	фигура	ограничена		кривымиy = f (x)			и
					1	1

y2 = f2 (x) и прямыми (рис. 1), то ее площадь

)

S =

(x)dx -

ò(

( y

f (x)dx =

(x) - f

(x) dx =

- y )dx.

Если

фигура

ограничена

кривымиy = f (x)

y2 = f2 (x) и

прямыми x = a, x = b,

y = 0 ,

как

показано

рис. 2, то площадь такой фигуры

c	b	c	b
S = ò f1 (x)dx +ò f2 (x)dx = ò y1dx + ò y2dx.
a	c	a	c

на

			Рис. 1		Рис. 2
Площадь		фигуры, ограниченной				кривой,	заданной
параметрическими				ìx = x(t),
параметрическими			уравнениями í			вычисляется
следующим образом:				îy = y(t),
следующим образом:				t2
			b	t2
		S = ò y dx = ò y(t ) × x' (t)dt,					(2)
			a	t1
где a = x(t1 ), b = x(t2 ).
	2. Вычисление площади в полярных координатах
Определение 1.			Плоскую		фигуру, ограниченную
кривой	ρ=ρ(φ)		и	двумя		полярными		,	радиуса
составляющими с полярной осью углы α и β , будем называть
криволинейным сектором.
Теорема 1.			Пусть	кривая		задана	в		полярн
координатах		уравнением ρ=ρ(φ) ,			α £ φ £ β .		Площадь

криволинейного сектора вычисляется по формуле

Источник: https://studfile.net/preview/16564454/

Смотрите также:


ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Electronics Workbench' – алгоритм инструмента моделирования электронных схем
'Новая экономика': российская специфика
'Свадьба'. Керамика