Материал: Методы интегрирования. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика». Пантелеев И.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

3. Если f (x) — это теплоемкость материала тела при

	b
температуре x,	то ò f (x)dx	выражает	количество тепла,
	a
приобретенного	телом при	нагревании	его от температуры

x = a до температуры x = b .

4. Масса, распределенная на линии, равна интегралу от

			S
плотности, взятому по длине линии m = ò f (S )dS.
				0
2. Основные свойства определенного интеграла
	a
Свойство 1.	ò f (x)dx = 0 .
	a
Доказательство.		Соответствующая			криволинейная
трапеция вырождается		в	отрезок	прямой(ее		основание
b - a = 0 ). Площадь такой «трапеции» равна нулю.
	b	a
Свойство 2.	ò f (x)dx = -ò f (x)dx
	a	b
Свойство 3.	Постоянный		множитель можно			выносить
			b		b
за знак определенного интеграла, т.е. òkf (x)dx = k ò f (x)dx.
			a		a
Свойство 4. Определенный интеграл от алгебраической
суммы функций равен алгебраической				сумме	их	интегралов,
т.е.
b			b	b
ò[ f (x) ± q(x)]dx = ò f (x)dx ± òq(x)dx .
a			a	a
Свойство 5. (аддитивность)
	b	c		b
	ò f (x)dx = ò f (x)dx + ò f (x)dx.
	a	a		c

Геометрически это свойство выражает тот факт, что площадь криволинейной трапеции с основанием[a, b] равна

сумме площадей криволинейных трапеций с основаниями[a, c] и

[c, b] (рис. 5).

					b	Рис.5
					b
Свойство 6. Если f (x) ³ 0				на[a, b] , то ò f (x)dx ³ 0.
Свойство 7. Если на [a, b]					a
Свойство 7. Если на [a, b]				f (x) ³ q (x) , то
	b		b
	ò f (x)dx ³ òq(x)dx
	a		a
Иными	словами,		неравенство		можно		почленно
интегрировать.							f (x)
Теорема 4.		(о	среднем		значении). Если		f (x)
непрерывна на [a, b] , то существует такая точка c Î[a,b] , что
			b
			ò f (x)dx = f (c)(b - a).
			a
			Теорема		о среднем		значении
		допускает		наглядное		геометрическое
		толкование		(рис.6):		площадь
		криволинейной трапеции, ограничен-
Рис. 6		ной	кривой		y = f (x) ³ 0		и
прямыми y = 0 ,	x = a и x = b , равна площади прямоугольника
с тем же основанием и с высотойf (c) , равной ординате
кривой в некоторой промежуточной точке с основания.
3. Производная интеграла по переменной верхней
		границе
Замечание.		От		обозначения			переменно
интегрирования		значение		определенного		интеграла		не
зависит.

			x
Определение 3.	Пусть	дан	ò	с
Определение 3.	Пусть	дан	интегралf (t)dt	с
			a

постоянным нижним пределома и переменным верхним

пределом		х.	Тогда	величина		этого	интеграла	является
функцией		верхнего		предела.	Обозначим эту		функцию F(x) ,
т.е.					x
					x
				F(x) = ò f (t)dt,
					a
и	назовем			ее	интегралом		с
переменным верхним пределом.
	Исходя		из	геометрического
смысла		интеграла,		функция F(x)
представляет			собой		переменную
площадь криволинейной трапеции с							Рис. 7
основанием			[a, x] ,	ограниченной		y = f (x), y = 0,t = a		и

t = x (рис. 7).

Теорема 5. (о связи между производной и интегралом). Производная интеграла от непрерывной функции п переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу,

æ x	ö'
т.е. F' (x) = ç ò	f (t)dt ÷ = f (x).
è a	øx

Замечание. Функция F(x) является первообразной для непрерывной подынтегральной функции f (x) . Как известно, всякая другая первообразная для f (x) отличается от F(x) на

постоянную. Таким образом, связь между определенным и неопределенным интегралами заключается в следующем:

ò f (x)dx = ò f (t )dt +C.

Теорема 6.	(основная	теорема	интегрального
исчисления). Пусть функция f (x)		непрерывна на [a, b] . Тогда

если функция F (x) является некоторой ее первообразной на этом отрезке, то справедлива формула

ò f (x)dx = F (b) - F (a) = F (x)|ba.

Эта формула называется формулой Ньютона — Лейбница.

Доказательство. Пусть F(x) = ò f (t)dt, тогда, по

теореме о связи между производной и интегралом, функция F(x) является первообразной дляf (x) на [a, b] . Таким образом F (x) и F(x) — две первообразные функции f (x) на

[a, b] . Так как первообразные отличаются на постоянную, т.е.

F(x) = F (x) + C,	a £ x £ b,
то имеет место равенство,
x
ò f (t)dt = F (x) + C,	a £ x £ b.
a

Подставляя в это равенство значение x = a и используя свойство 1 определенного интеграла, имеем

ò f (t)dt = F (a) + C; 0 = F (a) + C Þ C = -F (a),

т.е. " Î			x		=		-
т.е. " Î		[a, b ,]ò f (t)dt			=		-
x		[a, b ,]ò f (t)dt				F (x)		F (a).
			a
							b
Полагая x = b , имеем ò f (t)dt = F (b) - F (a).
							a
	4. Замена переменной в определенном интеграле
Теорема 7.				Если выполняются условия: 1) f (x)
непрерывна на [a, b] ; 2)						[a, b] является множеством значений
функции			x = φ(t) ,	определенной					на отрезкеt Î[α,β] и
имеющей			на нем		непрерывную				производную; 3) φ(α) = a ,

φ(β) = b ,— то справедлива формула замены переменной под знаком определенного интеграла

b β

ò f (t)dt = ò f (φ(t))φ' (t )dt.

aα

5.Интегрирование по частям в определенном

			интеграле
	Теорема 8.	Если	функции u(x) и v(x)			непрерывны
вместе	со своими	производнымиu '(x) и v '(x)				на [a, b] , то
		b		b
справедлива формула òu dv = u ×v\|ba - òv du.
		a		a
		6. Несобственные интегралы
					b
	Определение 4. Если интеграл ò f (x)dx					стремится к
					a
конечному пределу при неограниченном возрастанииb, то
этот	предел	называется		несобственным			интегралом	с
бесконечной верхней			границей		отf (x) и	обозначается
	+¥
символом ò f (x)dx.
	a
		+¥			b
	Таким образом, ò		f (x)dx = blim®+¥ ò f (x)dx. В этом случае
		a			a
			говорят, что данный несобственный
			интеграл	существует		или	сходится
			(рис. 8). Если указанный предел не
			существует		или	бесконечен, то
			говорят, что интеграл не существует

или расходится.

Рис. 8

Источник: https://studfile.net/preview/16564454/

Смотрите также:


ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Electronics Workbench' – алгоритм инструмента моделирования электронных схем
'Новая экономика': российская специфика
'Свадьба'. Керамика