Материал: Методы интегрирования. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика». Пантелеев И.Н

8. Понятие об интегрируемости в конечном виде

или о функциях, интегралы от которых не выражаются

через элементарные функции

Трудность интегрального исчисления по сравнению с

дифференциальным

исчислением

состоит

в,

чтом

неопределенный интеграл от элементарной функции может не

быть элементарной функцией.

f (x)

Определение 7.

Говорят,

что

функция

интегрируема в конечном виде (или интеграл ò f (x)dx

берется

в

конечном

виде), если

ее

первообразная

является

элементарной функцией.

Определение 8. Говорят, что элементарные функции,

интегралы от которых не выражаются никакими конечными

комбинациями

основных

элементарных

функций, не

интегрируемы

в

элементарных

функциях(или

не

интегрируемы в конечном виде).

sin x

cos x

Например, интегралы

òe-x2 dx; ò

dx;

ò

dx;

dx

x

x

ò

;

ò 1- k 2 sin2 x dx

нельзя

представить

никакими

ln x

элементарными

функциями.

То

есть

первообразные

от

элементарных

функций e-x2 ,

sin x

,

cos x

и т.д.

не являются

x

x

элементарными

функциями.

В

подобных

случаях

первообразная представляет собой, очевидно,

некоторую

новую

функцию,

которая

не

сводится

к

комбинации

конечного числа элементарных функций. Так, например, та из

первообразных

2

òe-x2 dx + C,

которая

обращается

в нуль

p

при

x = 0 , называется

функцией

Лапласа

и

обозначается

F(x). То есть,

F(x) =

2

òe- x2 dx + C,

если F(0) = 0.

p

Эта функция хорошо изучена. Составлены таблицы ее

значений

при

различных

значенияхx. График

подынтегральной функции y = e-x2

представлен на рис. 1.

Та

из

ò

2 sin2 xdx + C (k <1),

первообразных1- k

которая

обращается

в

нуль

x =при0 , называется

эллиптическим интегралом и обозначается E(x) :

E(x) = ò 1- k 2 sin2 xdx + C2 ,

если E(0) = 0.

Пример 1. Вычислить интеграл ò x

xdx .

Решение.

Так

как

подынтегральная

функция

представляет

собой

произведение

двух

функций

одинаковым основанием, но разными степенями, то

3

3

+1

5

x 2

x 2

2

ò x xdx = ò x

2

dx =

+ C =

+ C =

x5 + C. .

3

5

+1

5

2

2

Пример 2. Вычислить интеграл ò x

x -5dx .

Решение. Произведем в данном интеграле замену

переменной.

x - 5 = t

ò x x -5dx =

x - 5 = t2

= ò(t

2

+ 5) ×t ×2t dt

= 2ò

(t

4

+ 5t

2

)dt =

x = t

2

+ 5

dx = 2t dt

2t5

10t3

2

5

10

3

+ C =

(x - 5)2 +

(x - 5)2 + C.

=

+

5

3

5

3

Пример 3. Вычислить интеграл ò x ln xdx .

Решение.

Данный

интеграл

вычисляется

методом

интегрирования по частям

dx

ò x ln xdx =

u = ln x,

du =

=

x2 ln x

-

1

ò

x2

dx =

x2

x

dv = xdx, v =

x

2

2

2

=

x2 ln x

-

1

ò x dx =

x2 ln x

-

x2

+ C.

2

2

2

4

Пример 4. Вычислить интеграл

(x4

+1)

dx .

ò x3 - x2 + x -1

Решение.

1.

Так

как

подынтегральная

функция

представляет неправильную дробь, то сначала необходимо

выделить

целую

часть

рациональным

методом

деления

числителя на знаменатель.

-

x4 +1

x3 - x2 + x -1

x4 - x3 + x2 - x

x +1

Получим.

(x4 +1)

2

= x +1

+

.

x3 - x2 + x -1

x3 - x2 + x -1

2.

Разложим

знаменатель

полученной

правильной

рациональной дроби на элементарные множители:

x3 - x2 + x -1 = (x -1)(x2 +1) Þ

2

=

2

.

x3 - x2 + x -1

(x -1)(x2

+1)

3.

Методом

неопределенных

коэффициентов

2

=

A

+

Bx + C

=

A(x2 +1) + (Bx + C)(x -1)

.

(x -1)(x2 +1)

x2

+1

( x -1)(x2

+1)

x -1

Отсюда Ax2 + A + Bx2 - Bx + Cx -C = 2.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях

х слева и справа последнего равенства, получим

A + B = 0,ü

A = -B,

ü

C =1,

ü

C =1, ü

ï

Þ

C - B = 0,

ï

Þ A =

1,

ï

Þ

A =1,

ï

C - B = 0,ý

ý

ý

ý

A - C = 2

ï

ï

-2B = 2

ï

ï

þ

-B - C = 2þ

þ

B = -1;þ

2

=

1

+

-x +1

=

1

-

x -1

.

(x -1)( x2 +1)

x -1

x2 +1

x -1

x2 +1

Окончательно получаем.

(x4 +1)

= x +

1+

1

-

x -1

;

x

x3 - x2 + x -1

-1 x2 +1

(x4 +1)

æ

1

x -1 ö

dx

dx =

ç x

+1+

-

÷dx =

x dx +

dx +

-

ò x

3

- x

2

+ x

ò

2

+1

ò

ò

ò x -1

-1

è

x -1 x

ø

-

1

ò

2x dx

+ ò

dx

=

x2

+ x + ln

x -

1

-

1

ln

x

2

+1

+ arctg x + C.

x

2

+1

x

2

+

2

1

2

2

dx

Пример 5. Вычислить интеграл ò

.

(1+ 3

x ) x

ò

dx

x = t6

= ò

6t 5dt

=

dx = 6t 5dt

.

(1+ 3 x ) x

(1+ t2 )t3

t5dt

æ

1

ö

т.е 6

=

6

ç1

-

÷ dt =6t

- 6arctg t + C = 6 6

x -

ò (1

+ t

2

)t

3

ò

t

2

+1

è

ø

-6arctg 6

x + C.

Пример 6. Вычислить интеграл ò

dx

.

sin x

Решение. Данная подынтегральная функция является

тригонометрической,

причем sin x присутствует

в первой

степени,

поэтому

воспользуемся

следующей подстановкой:

sin x =

2t

; x = 2arctg t; dx =

2dx

и получим

1+ t 2

1+ t2

ò

dx

= ò

2dt

= ò

dt

x

= ln

t

+ C = ln

tg

+ C.

sin x

2t

t

(1+ t2 ) ×

2

1+ t 2

ò

sin 2 x

dx = ò

sin2 x(sin2 x + cos2 x)2

dx = òtg

2

x(tg

2

x +1)

2

dx =

cos

6

x

cos

6

x