Материал: Методы интегрирования. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика». Пантелеев И.Н

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»

Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

125-2017

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика»

для студентов направления 20.01.03 «Техносферная безопасность»

(направленности «Защита в чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», «Защита окружающей среды»)

очной формы обучения

Воронеж 2017

Составитель канд. физ.-мат. наук И.Н. Пантелеев
УДК 517.2 (07)
ББК 22.1я7
Методы		интегрирования:			методические		указания		для
организации самостоятельной работы по курсу«Высшая
математика»		для	студентов			направления20.01.03
«Техносферная		безопасность» (направленности					«Защита		в
чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности
в техносфере», «Защита окружающей среды») очной формы
обучения /	ФГБОУ ВО			«Воронежский		государственный
технический	университет»;			сост. И.Н. Пантелеев.				Воронеж,
2017. 43 с.
Методические			указания		предназначены			в	качестве
руководства		для	организации		самостоятельной			работы по
курсу "Высшая			математика"		по разделу «Интегральное
исчисление»		для	студентов			направления20.01.03
«Техносферная безопасность» во 2 семестре. В работе приведен
теоретический		материал,		необходимый		для		выполнения
заданий и решение типовых примеров.
Методические			указания		подготовлены		в	электронном
виде и содержатся в файле Vmfmm_MetInt_17.pdf.

Ил. 11. Библиогр.: 8 назв.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, проф. Г.Е. Шунин Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов

Издается по решению учебно-методического совета Воронежского государственного технического университета

ÓФГБОУ ВО «Воронежский государственный

технический университет», 2017

I. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1. Первообразная функции

Основные понятия и определения

Основной		задачей	дифференциального	исчисления
является	нахождение производной f ' (x) или df			= f ' (x)dx
функции	f (x) .

В интегральном исчислении решается обратная задача.

По заданной функции f (x)				требуется найти такую функцию
F (x) , что F ' (x) = f (x) или dF (x) = F ' (x)dx = f (x)dx .
Таким	образом,		основной		задачей			интегрального
исчисления является			восстановление				функцииF (x)		по
известной производной (дифференциалу) этой функции.
Определение 1.			Функция F (x)			называется			перво-
образной для функции f (x) на некотором множестве, если она
дифференцируема на этом множестве и
F ' (x) = f (x) или. dF(x) = f (x)dx .
Теорема 1.		Любая		непрерывная		на[a;b]		функция
f (x) имеет на этом отрезке первообразную F (x) .
Теорема	2.	Если F1(x) и			F2 (x)	—	две	различные
первообразные одной и той же функции f (x)							на множестве х,
то они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т.е.
F2 (x) = F1(x) + C , где С — постоянная.
Доказательство. Пусть F1(x) и F2 (x) — первообразные
функции f (x) . Их разность F (x) = F2 (x) - F1 (x) является диф-
ференцируемой функцией. Следовательно,
F ' (x) = F ' (x) - F ' (x) = f (x) - f (x) = 0 Þ F (x) = C,
2		1

т.е. F2 (x) - F1 (x) = C .

Следствие. Если F (x) — некоторая первообразная

функции f (x) ,		то	все	первообразные		этой		функции
определяются выражением F (x) + C , где С — произвольная
постоянная.
	Определение 2.		Операция		отыскания	первообразной
F (x)	функции f (x) называется интегрированием.
	Определение 3.		Совокупность F (x) + C					всех
первообразных		функции f (x)		называется неопределенным
интегралом и обозначается
	f (x)dx —	ò f (x)dx = F (x) + C,					f (x) —
где		подынтегральное			выражение,

подынтегральная функция, х — переменная интегрирования, С — постоянная интегрирования.

Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой любую функцию, дифференциал которой равен подынтегральному выражению, а производная — подынтегральной функции.

Основные свойства неопределенного интеграла

1. (ò f (x)dx)' = f (x) и d (ò f (x)dx) = f (x)dx.

Доказательство. Пусть

ò f (x)dx = F (x) + C Þ (ò f (x)dx )' = (F (x) + C )' = F ' (x) = f (x).

d(ò f (x)dx)= d (F (x) + C) = (F (x) + C )' dx = F ' (x)dx = f (x)dx.

2.òdF (x) = F (x) + C.

Доказательство. Так как

dF (x) = F ' (x)dx, F ' (x) = f (x) , то òF ' (x)dx = F ( x) + C.

3. òaf (x)dx = aòF (x)dx.

Доказательство. Пусть F (x) — первообразная функции.

Тогда aF (x) — первообразная функции	af (x) :
(aF (x))' = aF ' (x) = af (x) .
Следовательно,
aò f (x)dx = a(F (x) +C) = aF (x) +C1 = òaf (x)dx, C1 = aC.
4. ò( f1 ± f2 ± f3 ±...)dx = ò( f1 )dx ± ò( f2 )dx ± ò( f3 )dx ±...
Доказательство. Проведем для	двух	функций. Пусть
F ' (x) = f1(x), F' (x) = f2 (x) . Тогда F (x) ± F(x)		является перво-
образными функций. Следовательно

ò f1 (x)dx ± ò f2 (x)dx = (F (x) + C1 ) ± (F(x) + C2 ) =

= F (x) ± F(x) + C1 ± C2 = ò( f1 (x) ± f2 (x))dx

Замечание. Данное свойство справедливо для любого конечного числа функций.

5.Если F (x) первообразная функции f (x) , то

òf (ax + b)dx = 1 F (ax + b) + C.

Доказательство. Действительно

æ	1		ö'	1		'
ç		F (ax + b) + C ÷ =			F		(ax +b) ×a = f (ax +b).
ç		F (ax + b) + C ÷ =		a	F		(ax +b) ×a = f (ax +b).
è a			ø	a
6. (Инвариантность формул интегрирования.) Любая формула
интегрирования			сохраняет				свой , видесли	переменную
интегрирования			заменить				любой	дифференцируемой

функцией этой переменной:

ò f (x)dx = F (x) + C Þ ò f (u)du = F (u) +C,


где u — дифференцируемая функция.
Доказательство.	Воспользуемся		свойством
инвариантности формы дифференциала первого порядка.
Если dF (x) = F ' (x)dx , то		dF (u) = F ' (u)du ,	где
u = u(x) . Пусть ò f (x)dx = F (x) + C ,		тогда F ' (x) = f (x) .	Так

Источник: https://studfile.net/preview/16564454/

Смотрите также:


ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Electronics Workbench' – алгоритм инструмента моделирования электронных схем
'Новая экономика': российская специфика
'Свадьба'. Керамика