Материал: Методы интегрирования. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика». Пантелеев И.Н

4. Интегрирование простейших рациональных

Определение 6.

дробей

Правильные

рациональные дроби

следующих видов:

I.

A

; II.

A

, K ³ 2; III.

Ax + B

; IV

Ax + B

, k ³ 2

x - a

(x - a)k

x2 + px + q

(x2 + px + q)k

I. ò

A

dx = Aò

dx

= A ln

x - a

+ C.

x - a

x - a

(x - a)-k +1

II. ò

A

dx = Aò(x - a)

-k

dx = A

+ C =

(x - a)k

-k +1

=

A

+ C

(-k +1)(x - a)k -1

A

æ

Ap ö

Ax + B

(2x + p) +

ç B -

÷

2

2

III. ò

dx = ò

è

ø

dx

=

x2 + px + q

x2 + px + q

A

2x + p

æ

Ap ö

dx

=

dx + ç B -

÷

=

2 ò x

2

2

+ px

+ q

+ px + q

è

2 øò x

A

2

æ

Ap ö

dx

=

ln

x

+ px + q

+ ç B -

÷

.

2

è

2

ø ò éæ

p

ö2

æ

p2 öù

êç x

+

÷

± çq -

÷ú

2

4

êè

ø

è

øú

ë

û

Последний

интеграл

является

табличным

типа

ò

dx

p

p2

2

, где x +

= z , q -

= a

.

z2 ± a2

2

4

5. Разложение рациональной дроби на простейшие.

Интегрирование рациональных дробей

Теорема

9.5.

Пусть

дана

правильная

рациональная

дробь

Rr (x)

, r < n .

Qn (x)

Если Q(x) = A(x - a)k1 (x - b)k2 L(x2 + p1x + q1)t1 (x2 + p2 x + q2 )t2 ...,

то дробь

Rr

(x)

может быть представлена в виде

Qn (x)

Ak

R (x)

=

A

+

A

+ ...+

+

B

+

B

+ ...

+

r

1

2

1

1

2

Q (x)

(x - a)k1

(x - b)

(x -b)2

(x - a) (x - a)2

n

+

Bk

+ ... +

M

x + N

+

M

2

x + N

2

+ ...

+

2

1

1

(x - b)k2

x2 + p1x + q1

(x2 + p1 x + q1 )2

+

Mt

x + Nt

+ ... +

C x + D

+

C

x + D

+ ...

+

1

1

1

1

2

2

(x2 + p1 x + q1 )t1

x2 + p2 x + q2

(x2 + p2 x + q2 )2

+

Ct2 x + Dt2

+ ...

(3)

(x2 + p2 x + q2 )t2

Разложение (3) называется разложением рациональной

функции

на

элементарные(простейшие)

дроби.

Чтобы

определить

числа Ak

, Bk

, M t

i

, Nt

, Ct

, Dt

i

,

правую

часть

i

i

i

i

разложения

приводят

к

общему

знаменателю

и

числители

левой и

правой

дробей

приравнивают. Так как равенство

между

многочленом Rr (x)

и

многочленом, который

получится

в

правой

части, справедливо

для

всехх, то

дроби

R(x)

,

т.е. ò

R(x)

dx . Интеграл от рациональной дроби

Q(x)

Q(x)

правильной

рациональной

дроби

к

интегрировани

простейших дробей.

Вид интеграла

Замена переменной в

интеграле

ò

R

æ

m1

m2

ö

t

k

= x, тогда

ç x, x n1

, x n2 ,...÷dx,

dx = k ×t

k -1

dt, где

k

—

ç

÷

è

ø

общий

знаменатель

всех

где R — рациональная функция

дробных

показателей

у

своих аргументов

переменной

х.

В

результате

получаем

интеграл от рациональной

дроби

ò

æ

m1

m2

ö

ax + b = t

k

, тогда

R ç x, (ax + b) n1 , (ax + b) n2 ,...÷dx,

a ×dx = k ×t

k -1

dt, где

k

—

ç

÷

è

ø

общий

знаменатель

всех

дробных

показателей

у

переменной х

æ

m1

m2

ö

ax + b

k

ò

ç

æ ax + b ö

n1

æ ax + b ö

n2

÷

= t , где k — общий

R

ç

x, ç

÷

, ç

÷

,... dx,

cx + d

+ d

è cx

ø è cx + d ø

÷

знаменатель всех дробных

è

ø

показателей у переменной

х

òR (x,

a

2

- x

2

)dx

x = a sin t.

Полезно

знать

формулу sin

2

x

+ cos

2

x

=1

òR (x,

a2 + x2 )dx

x = a tg t.

Полезно

1

знать

формулу 1+ tg2 x =

cos2 x

òR (x,

x2 - a2 )dx

x = a sec t =

a

.

Полезно

знать

cos t

форму

1

tg2 x =

-1

cos2 x

7. Интегрирование тригонометрических функций

Вид интеграла

Способ

решения

òR(sin x, cos x)dx

Универсальные

тригонометрические

подстановки (общий случай):

t = tg

x

; sin x =

2t

; cos x =

1-t 2

;

2

+ t 2

1+ t2

1

2dx

x = 2 arctg t; dx =

.

1+ t2

В

результате

получится

интеграл

от

рациональной функции

òR(sin x) cos xdx

t = sin x, cos xdx = dt Þ òR(t)dt

òR(cos x) sin xdx

t = cos x, - sin xdx = dt Þ - òR(t)dt

ò R(tg x)dx

t = tg x, x = arctg t, dx =

dt

Þ òR(t)

dt

2

2

1+ t

1+ t

òR(sin x, cos x)dx

t = tg x, sin

2

x =

t 2

2

x

1

; dx =

dt

; cos

=

sin x, cos x

1+ t 2

1+ t2

1+ t2

входят

только в

четных степенях

òsinm x cosn xdx :

а) Пусть n = 2k +1

а) по

крайней

òsinm x cosk +1xdx = òsin m x cos2k x cos xdx =

мере, одна из m

= òsin

m

x(1

-sin

2

x)

k

cos xdx =

и n — нечетна;

б) m, n —

=

t = sin x

= òt

m

(1

- t

2

)

k

dt — интеграл от

четные,

больше

dt = cos xdx

нуля,

т.е.

рациональной функции.

m = 2 p, n = 2 p;

б) Воспользоваться формулами понижения

в) n, m —

степени

четные

и хотя