Материал: Методы интегрирования. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика». Пантелеев И.Н

1

β

S =

òρ2 (φ)dφ.

(3)

2

α

Доказательство.

Разобьем

произвольно

отрезок [α,β]

на

n частей

точками

α = φ0 < φ1 < ... < φn = β .

Выберем на каждом частич-

Рис. 3

ном отрезке

[φi ; φi +1 ],

i = 0, …, n – 1

произвольно точку ξi

и построим

круговые

секторы с

радиусами ρ(ξi ) (рис. 3).

которой

приближенно

равна

площади

криволинейного

1

n-1

сектора S »

åρ2 (ξi )Dφi .

2 i =0

Таким образом, получена интегральная сумма. Так как

функция ρ2 (φ) непрерывна на [α,β],

то предел этой суммы

существует

при max Dφi

® 0

и площадь

криволинейного

i

сектора численно равна

1

n -1

1

β

S =

lim

ρ2

(ξ

)Dφ

=

ò

ρ2 (φ)dφ.

2

max Dφi ®0 å

i

i

2

i=0

α

АВ. Разобьем

ее

точками

M1, M 2 ,..., M n на n частей (рис. 4).

Соединив

последовательно

точки

разбиения,

получим

ломаную,

вписанную

в

дугуАВ.

Эта

ломаная состоит из

Рис. 4

звеньев AM1, M1M 2 ,..., M n-1B .

l = lim

n-1

DL .

å

max DL ®0

i

i

i=0

Нетрудно показать, что DLi

= 1+

é

'

ù

2

×Dxi

. Тогда

ë f

(ci )û

Теорема 2.

Пусть

криваяАВ

задана

уравнением

y = f (x) ,

где

f (x)

—

непрерывная

функция,

имеющая

непрерывную

первую

производную

во всех точках[a, b] .

Тогда длина дуги АВ определяется формулой

b

2

b

2

l = ò

1+

é

'

ù

é '

ù

(4)

ë f

(x)û

dx = ò

1+ ë y

û

dx.

a

a

2.

Длина

дуги

кривой,

заданной параметрическими

ìx = x(t),

t1 £ t £ t2 .

í

îy = y(t),

функции x(t) и y(t)

При

этом предположим,

что

непрерывны

вместе со своими

производными x'и(t) > 0 .

Тогда

b

é ' ù2

l = ò

1+

dx.

ë y û

a

Произведем в этом интеграле замену

переменной,

положив x = x(t) .

Так как при этом y = y(t) ,

то,

по

правилу

дифференцирования

функции, заданной

параметрически,

найдем y' =

y' (t)

и, замечая, что dx = x' (t) dt , получим

t

x' (t)

x

'

æ y' (t) ö2

'

é

'

ù

2

é

'

ù

2

1+ yx dx = 1 + ç

÷ x (t)dt =

+

dt.

'

ëx (t)û

ëy (t) û

è

x

(t) ø

Следовательно,

t2

b

é

ù

2

l = ò

'

(x

'

(t))

2

+ ( y

'

(t))

2

dt,

(5)

1+ ë y

û

dx = ò

a

t1

где a = x(t1 ), b = x(t2 ).

3. Длина дуги кривой, заданной уравнениями в полярных

координатах ρ=ρ(φ) , α £ φ £ β .

Предположим,

что

ρ

и ρ'

непрерывны

на [α,β] .

Эту

кривую

можно

задать

параметрически, принимая за параметр полярный угол. φ

Действительно,

между

декартовыми

и

полярными

координатами существует зависимость

x = ρ cos φ, y = ρ sin φ.

Найдем

x ' = ρ'cos φ -ρ sin φ;

y ' = ρ'sin φ+ρ cos φ.

b

b

l = ò

(x ')2 + ( y ')2 dφ = ò (ρ'cosφ + ρ'sin φ)2 + (ρ'sinφ + ρ'cosφ)2 dφ =

a

a

β

= ò

ρ'2 cos2 φ - 2ρ'ρsinφ+ρ2 sin2 φ+ρ '2 sin2 φ + 2ρ'ρ sin φ cos φ + ρ2 cos2 φdφ=

α

β

= ò (ρ '2 + ρ2 ) cos2 φ + (ρ '2 + ρ2 ) sin2 φ dφ

α

β

Таким образом, l = ò

ρ'2 + ρ2 dφ.

α

4. Вычисление объема тела вращения

Теорема 3. Пусть тело образовано вращением вокруг

оси

Ox

криволинейной

трапеции, заданной

непрерывной

функцией y = f (x)

на [a, b] , объем

тела вращения (рис. 5)

вычисляется по формуле

b

V = p ò y2dx.

(7)

a

Рис. 5

Замечание.

Если

криволинейная

трапеция,

ограниченная

линиями0 £ x £ φ(y),a £ y £ b,

вращается

вокруг

осиOy , то

объем

тела

вращения

вычисляется по

формуле

b

Vy = p ò x2dy.

(8)

a

ìx = 2 cos t,

y =1 ( y >1).

í

îy = 2sin t,

(рис. 6). Фигура,

заданная параметрическими уравнениями,

представляет собой окружность радиуса

2 с центром в начале координат. Прямая

y =1 ( y >1) параллельна оси Ox

и

отсекает

от

окружности

круговой

сегмент

(на

рис. 6

заштрихованная

область).

Так

как

полученная

фигура

симметрична относительно оси Оу, то ее

площадь

S удобно искать следующим

Рис. 6

образом:

S = 2SABC . Из рисунка видно, что SABC = SOABCD - SOACD . (*)

Найдем SOABCD .

Для

этого

определим

значение

параметра t1 и t2

в

точках

О и

D

соответственно.

Для

нахождения

параметра t1 в точке O(0; 0)

решим для x = 0

уравнение x = 2 cos t :

2 cos t = 0 Þ cos t = 0 Þ t

=

p

.

1

2

Для

нахождения

параметра t2

в точке D

решим

для

y =1 уравнение y = 2sin t :

2 sin t =1 Þ sin t =

1

Þ t2 =

p

.

2

6

Пользуясь

формулой (2),

найдем

площадь

криволинейной трапеции ОАВСD:

t2

p

p

6

6

SOABCD = ò y(t)x '(t )dt = ò2sin t(-2sin t)dt = -4òsin 2 tdt =

t1

p

p

2

2

p

p

2

æ

1

ö

æ p

1

p

1

p

ö

2

2ò(1- cos 2t)dt = 2 çt -

sin 2t ÷

= 2 ç

-

sin p -

+

sin

÷ =

p

è

2

ø

p

è 2 2

6 2

3

ø

6

6

æ p

3 ö

4p + 3 3

=

2 ç

+

÷

=

.

ç

3

÷

6

è

4 ø